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1、最优化方法,南京邮电大学理学院,2,前言一、什么是最优化 最优化是一门应用性相当广泛的学科，它讨论决策问题的最佳选择之特性，寻找最佳的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及其实际计算表现。应用范围：信息工程及设计、经济规划、生产管理、交通运输、国防工业以及科学研究等诸多领域。,3,二、包含的内容按照优化思想分为经典方法与现代方法。经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。我们学习的内容主要是经典的最优化方法。内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、约束最优化方法等主要内容。,4,三
2、、学习方法1、认真听讲，课后及时复习巩固，并主动完成课后习题。2、多看参考书，通过不同学者的讲述，全方位理解最优化方法的思想方法和应用，特别是计算方法。3、学以致用，通过最优化方法的学习，培养研究生数学建模的能力和解决实际问题的能力。大家可以尝试对于一些实际问题，先建立数学模型，转化为数学问题，通过一些算法解决。,5,四、主要参考书教材：解可新 、韩健、林友联：最优化方法（修订版），天津大学出版社，2004年8月。其它参考书：1.蒋金山，何春雄，潘少华：最优化计算方法，广州：华南理工大学出版社，2007年10月。2.谢政，李建平，汤泽滢：非线性最优化。长沙：国防科技大学出版社，2003年9月。
3、3.李董辉等 ：数值最优化。北京：科学出版社，2005年。4.谢政，李建平，陈挚：非线性最优化理论与方法。北京：高等教育出版社，2010年1月。,6,目录,第一章 最优化问题概述第二章 线性规划第三章 无约束最优化方法第四章 约束最优化方法,第一章最优化问题概述,8,1.1 最优化问题的数学模型与基本概念,9,例 1.1.1 运输问题,设有m个水泥厂A1,A2, , Am,年产量各为a1, a2, ,am吨.有k个城市B1,B2, Bk用这些水泥厂生产的水泥,年需求量b1,b2, ,bk吨.再设由Ai到Bj每吨水泥的运价为cij元.假设产销是平衡的,即:,试设计一个调运方案,在满足需要的同时使
4、总运费最省.,10,A1,由题意可画出如下的运输费用图:,B2,Am,B1,A2,Bk,产量,需求量,设AiBj的水泥量为xij,已知AiBj单价为cij,单位为元,则总运费为:,11,数学模型:,注:平衡条件 作为已知条件并不出现在约束条件中.,12,例1.1.2 生产计划问题,设某工厂有m种资源B1,B2, ,Bm,数量分别为: b1,b2, , bm,用这些资源产n种产品A1,A2, , An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj.再设Aj的单价为cj.问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该厂总收入最多?,13,假设产品Aj的计划
5、产量为xj.由题意可画出如下的生产与消耗的关系图:,B1,B2,Bm,An,A2,A1,消耗,14,数学模型,15,例 1.1.3 指派问题,设有四项任务B1,B2,B3,B4派四个人A1,A2, A3,A4去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何一项,但所消耗的资金不同.设Ai完成Bj所需资金为cij.如何分配任务,使总支出最少?设变量,指派Ai完成bj,不指派Ai完成bj,16,则总支出可表示为:,数学模型:,17,例 1.1.4 数据拟合问题,在实验数据处理或统计资料分析中常遇到如下问题.设两个变量x和y,已知存在函数关系,但其解析表达式或者是未知的或者虽然为已知的但过于复杂.设已取得一
6、组数据: (xi,yi) i=1,2,m.根据这一组数据导出函数y=f(x)的一个简单而近似的解析表式.,18,最小二乘法,解这种问题常用的方法是最小二乘法,以一个简单的函数序列j1(x), j2(x), jn(x)为基本函数.一般选取1,x,x2,xn为基本函数,即以,作为近似表达式.,19,最小二乘法,系数的选取要使得下面得平方和最小:,因此,数据拟合问题得数学模型为,其中xi,yi(i=1,2,m)及jj(x)(j=0,1,n)为已知.,20,最优化问题,最优化问题的一般形式为:,(1.1)(目标函数),(1.3)(不等式约束),(1.2)(等式约束),其中x是n维向量.在实际应用中,可
7、以将求最大值的目标函数取相反数后统一成公式中求最小值的形式.我们总是讨论,P:,21,相关定义,定义1.1.1 (可行解) 满足约束条件(1.2)和(1.3)的x称为可行解,也称为可行点或容许点.,定义1.1.2 (可行域)全体可行解构成的集合称为可行域,也称为容许集,记为D,即:D=x|hi(x)=0,i=1,m,gj(x)0, j=1,p,xRn.若hi(x), gj(x)为连续函数,则D为闭集.,22,相关定义,定义1.1.3 (整体最优解) 若x*D,对于一切xD恒有f(x*)f(x),则称x*为最优化问题(P)的整体最优解.若x*D,xx*, 恒有f(x*) 0)上求一点:xk+1=
8、xk+akpk使得f(xk+1)f(xk).其中ak称为步长.定义1.2.1(下降方向) 在点xk处,对于方向pk0,若存在实数b 0,使得任意的a(0,b ),有:f(xk+apk)f(xk),则称pk为函数f(x)在点xk处的一个下降方向.,32,下降方向,若f(x)具有连续的一阶偏导数,令由Taylor公式:,当gkTpk0时, f(xk+apk)f(xk),所以pk是f(x)在xk处的一个下降方向.反之,当pk是f(x)在xk处的一个下降方向时,有gkTpk0.通常称满足gkTpk0, 使得对任意的a(0,b ),有:xk+apkD,则称pk为点xk处关于区域D的可行方向.对于D的内点
9、(存在邻域包含于D),任意方向可行,对于边界点(任意邻域既有D的点也有不在D中的点),则有些方向可行,有些方向不可行.若下降方向关于域D可行,则称为可行下降方向.,34,最优化问题的算法的一般迭代格式,给定初始点x0,令k=0.(1) 确定xk处的可行下降方向pk;(2) 确定步长ak,使得f(xk+akpk)f(xk),(3) 令xk+1=xk+akpk; (4) 若xk+1满足某种终止准则,则停止迭代,以xk+1为近似最优解;或者已经达到最大迭代步数,也可终止迭代.否则令k:=k+1, 转(1),35,收敛性,如果一个算法只有当初始点x0充分接近x*时,产生的点列才收敛于x*,则称该算法为
10、具有局部收敛的算法.如果对任意的x0D,由算法产生的点列都收敛x*,则称该算法为具有全局收敛的算法.由于一般情况下最优解x*是未知的,所以只有具有全局收敛性的算法才有实用意义.但算法的局部收敛性分析,在理论上是重要的,因为它是全局收敛性分析的基础。,36,收敛速度,定义1.2.3 设序列xk收敛于x*,而且,若0b0是预先给定的.,38,1.3 二维最优化问题的几何解释,39,理论分析,二维最优化问题的目标函数z=f(x1,x2)表示三维空间R3中的曲面.在空间直角坐标系O-x1x2z中,平面z=c与曲面z=f(x1,x2) 的交线在0-x1x2平面上的投影曲线为:,取不同的c值得到不同的投影
11、曲线,每一条投影曲线对应一个c值,称投影曲线为目标函数的等值线或等高线.,40,41,理论分析,求目标函数z=f(x1,x2) 在可行域D上的极小点,是在与可行域D有交集的等值线中找出具有最小值的等值线.也就是在可行域D上沿着f(x1,x2)的负梯度方向或某种下降方向上找取得最小值c的点.,42,例1.3.1,解 首先画出可行域D,目标函数的等值线是以点(1,2)为圆心的一族圆. f(x1,x2)的梯度为,43,例1.3.1,负梯度方向（下降方向）指向等值线圆心,所以等值线与可行域D的边界相切的点x*=(1/2,3/2)T 是此问题的最优解,目标函数的最优值为1/2.,44,例1.3.2,解 首先画出可行域D的图形.D为凸多边形 ODEFGO.再以c为参数画出目标函数的等值线2x1+3x2=c.,45,例1.3.2,目标函数c的值由小到大逐渐增加,等值线沿着目标函数的梯度方向平行移动.当移动到点E时,再移动就与可行域D不相交了,所以顶点E就是最优点,最优值为14.,46,例1.3.3,解 如图所示,可行域只能是圆弧ABE,其中点A和点E是等值线x1x2+1=0和圆x12+x22-9=0的交点.注意到等值线是平行的抛物线,图中画出了几条目标函数的等值线.容易看出B点是最优点,所以最优解是(0,-3)T,最优值为-3.,
