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1、第四章 频域分析,4-1 线性系统的频率响应,设线性定常系统的传递函数为,其输入信号为,则输入信号的拉氏变换是,系统的传递函数通常可以写成,由此得到输出信号的拉氏变换,对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为,对稳定系统,s1,s2,.sn都具有负实部，当时间t趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为,其中待定系数b和 可按下式计算,G(j)是一个复数，用模和幅角可表示为,同样，G(-j)可以表示为,则系统稳态响应可化为,系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。,称为系统的幅频特性，反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅
2、值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。,系统的频率特性：,其中：,称为系统的相频特性，反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。,系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。,二、实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入正弦信号X(t)= Xsint，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移，便可得到它的幅频特性和相频特性。,获取系统频率特性的途径:一、解析法 当已知系统的传递函数时，用s=j代入传递函数可得到系统的频率特性G(j)。, 4-2 频率特性的图形表示,幅相频率特性曲线 对数频率特性曲线,4.2.1 幅相频率特性曲线,幅相频
3、率特性曲线：简称幅相曲线，又称极坐标图，是以角频率作自变量，把幅频特性和相频特性用一条曲线同时表示在复平面上。,注意： 幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数，因此，角频率从0变化到无穷大时的幅相曲线与从负无穷大变化到0的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出从0变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大的方向。 只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅相频率特性曲线。,（一） 放大环节（比例环节) 放大环节的传递函数为,（K为常数）,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,一、典型环节幅相曲线,（二） 积分环节 积分环节的传递函数为,对应的
4、频率特性是,幅频特性,相频特性,（三） 惯性环节 惯性环节的传递函数为,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,当 时， ， ；,当 时， ， ；,当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周，,当 时， ， ；,证明：,则有,推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 时，其频率特性是圆心为 ，半径为 的实轴下方半个圆周。,（四） 振荡环节 振荡环节的传递函数为,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,当 时， ， ；,当 时， ， ；,当 时， ， ；,振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关。,当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值Mr(Mr0)和谐振频率r由幅频
5、特性的极值方程解出。,其中 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。,谐振峰值,谐振相移,振荡环节的幅值特性曲线当 时，随着的增加，幅值缓慢增大；当 时，幅值达到最大值 ；当 时，幅值迅速减小， 时的频率 称为截止频率；频率大于 后，输出幅值衰减更快。,推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时，即 ，其对应频率特性 的起点 为 。,（五） 一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,当 时， ， ；,当 时， ， ；,当 时， ， ；,（六） 二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,当
6、时， ， ；,当 时， ， ；,当 时， ， ；,（七） 不稳定惯性环节 不稳定惯性环节的传递函数为,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,当 时， ， ；,当 时， ， ；,当 时， ， ；,（八） 滞后环节 滞后环节的传递函数为,对应的频率特性是,幅频特性,相频特性,二、系统的开环幅相曲线 线性系统的开环频率特性通常可写成如下形式：,解 系统开环频率特性为,相频特性,幅频特性,起点,终点,与负虚轴交点,解 系统开环频率特性为,相频特性,幅频特性,起点,终点,若在例41系统中增加一个积分环节，则系统为1型系统其开环传函为,起点或终点存在无穷大，求渐近线,起点,起点存在无穷大，求渐近线,将频率
7、特性写成实部与虚部的形式,实频特性,与实轴交点 令,与实轴交点 令,得,解 系统开环频率特性为,相频特性,幅频特性,起点,终点,若在例41系统中再增加一个积分环节，则系统为2型系统,其开环传函为,起点或终点存在无穷大，求渐近线,与实轴交点 令,例4-2 系统的开环传递函数为,试绘制概略的开环幅相曲线。解 系统开环频率特性,起点存在无穷大，求渐近线,，,起始于负虚轴左侧无穷远处,，,起始于负虚轴右侧无穷远处,，,起始于负虚轴上侧无穷远处,，,求曲线与负实轴的交点，令,无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点，开环幅相曲线如图4-15所示。,当,曲线与负实轴有交点,由于不
8、等式方程组,无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点。,，,无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点，开环幅相曲线如图4-15所示。,，,对于开环传递函数只含有左半平面的零点和极点的系统，其幅相曲线的起点和终点具有如下规律：,起点： 系统不含有积分环节，曲线起始于正实轴上某点，该点距原点的距离值为开环增益 K；,系统含有v个积分环节，曲线起始于无穷远处，相角为,终点：系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子的阶次,终点在原点，且以角度,进入原点；,曲线终止于正实轴上某点，该点距原点的距离与各环节的时间常数及开环增益等参数有关。,注：若系统
9、开环传递函数含有右半平面极点或零点（不稳定环节），则幅相曲线的起点和终点不具有以上规律。对于这样的系统，尤其应注意其相频特性。在作图时，应根据相频特性的表达式分析曲线的起点、终点位置以及相角的变化范围等。,对数相频特性：对数相频特性曲线：横坐标：表示频率，按对数分度，单位rad/s；纵坐标：表示相频特性函数值，按线性分度，单位是度。,4.2.2 对数频率特性曲线 一、伯德图伯德（Bode）图：又称对数频率特性曲线，包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线。,对数幅频特性：对数幅频特性曲线：横坐标：表示频率，按对数分度，单位rad/s；纵坐标：表示对数幅频特性函数值，按线性分度，单位dB。,伯德图
10、优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；（2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，简化了计算； （3）可以采用渐近线的方法，用直线段画出近似的对数幅频特性曲线，使作图更为简单方便；（4）横轴（轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。（5）对于最小相位系统，可以有对数幅频特性曲线得到系统的传递函数。,二、典型环节的伯德图（一）放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性：幅频特性： 对数幅频特性：,当K1时，20lgK0，位于横轴上方；当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；当K1时，20
11、lgK0，位于横轴下方。,当n个放大环节串联时，有则对数幅频特性,相频特性：,（二）积分环节 积分环节的频率特性：幅频特性： 对数幅频特性：,直线的斜率为,相频特性：,当有n个积分环节串联时，有 则对数幅频特性 相频特性,（三）惯性环节 惯性环节的频率特性：幅频特性： 对数幅频特性：,低频段,高频段,渐近线：由近似直线组成的折线称为对数幅频特性的渐近线。交接频率：渐近线各近似线段相交的交点频率称为交接频率。,交接频率时，误差最大，最大误差为,误差曲线对称于交接频率； 惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率上下十倍频程范围内，交接频率十倍频以上的误差极小，可忽略。,时的误差是 时的误差是,相频特性：,（四）一阶微分环节 频率特性：幅频特性： 对数幅频特性：,低频段,高频段,交接频率时，误差最大，最大误差为,误差曲线对称于交接频率； 惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率上下十倍频程范围内，交接频率十倍频以上的误差极小，可忽略。,相频特性：,（五）振荡环节 频率特性：幅频特性： 对数幅频特性：,低频段,高频段,渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析：当 时，,当=1时为-6dB；当=0.5时为0dB；当=0.25时为+6dB。,
