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1、数学物理方法 Section 2,第三章 分离变量法,有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论,3.4 非齐次方程的解法,不失普遍性，仍以弦的受迫振动为例，所用方法对其它同类型方程的解法一样适用，抛砖引玉。,问题：,一根细弦，两端固定，在强迫力 作用下振动，,受迫振动定解问题:,受迫振动物理状态分析:,弦的振动,初始状态的自由振动,由强迫力引起的振动,视为两种振动的合成 (运动之叠加),弦的振动,初始状态的自由振动,视为两种振动的合成 (运动之叠加),由强迫力引起的振动,由此得到启发，我们可以
2、假设其解为,其中 表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足,而 表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足,从物理学的观点来看，叫运动的叠加,原非齐次方程定解问题,泛定方程为非齐次，但边界条件和初始条件化为简单的形式。,泛定方程化为齐次，但边界条件和初始条件没有变化的定解问题。这样的问题前面已经解决了：齐次偏微分方程边值问题，用分离变量法解决。,通过前面的分析，我们已经认识到：对于齐次问题，可以用分离变量法求解；而对于下面已经简化了的非齐次问题，通常采用： 基于本征函数法的参数变易法。,参数变易法的思路：,非齐次定解问题的解,分解为无穷多个驻波的叠加,其驻波的波形，由齐次方程经分离变量后，所得到之
3、本征值与本征函数确定。,1. 设（试探性）上述非齐次定解问题的解，具有如下形式,其中 ，为待定函数！,将强迫项 也按照本征函数展开,其中，展开系数为,将上面两个黄色背景的假设和结果代入泛定方程中，得到,对 t 求偏导 2 次,对 x 求偏导 2 次,由此得到,这样一来，确定函数 ，只需要解下列定解问题：,相应的初始条件变化为（将 带入初始条件）,确定函数 ，只需要解下面的定解问题,解法一：,在上面的泛定方程两端，取关于 的 Laplace 变换，得,解出：,由于 的逆 Laplace 变换为 ，利用Laplace变,换的卷积定理，即得到,解法二：,将上面的结果，代入最初假设 ，于是得到,将这个
4、解，与下面齐次方程所解出的,按照 相叠加，就得到原定解问题的解。,齐次方程、齐次边界条件，可行分离变量法解决。,将强迫项 也按照本征函数族展开,其中，展开系数为,也可直接用分离变量法解,将上述分离了变量的级数展开式，分别代入定解问题的泛定方程和初始条件,对 t 求偏导 2 次,对 x 求偏导 2 次,也即,这恰是一个二阶常微分方程，解的结果是,回顾：,对于非齐次偏微分方程,按照本征函数系展开,联立初始（边界）条件,尽管方程与边界条件千变万化，但总是把非齐次方程的解，按照相应的本征函数展开。所以这种方法也称为本征函数法。,对于非齐次项的,待定函数,例 在圆环域 内，求下面定解问题：,解 因为求解
5、区域为圆环，选用平面极坐标较为方便。利用关系,可将上述定解问题用极坐标的变量 表示。,非齐次方程,齐次边界条件,运用本征函数法 这是一个非齐次方程，附加有齐次边界条件的定解问题。 参考圆域内 Laplace 方程所对应的本征函数,令上面定解问题具有分离变量形式的解（试探）,将这个形式解，代入泛定方程，并经整理后得,比较上式两端关于 的系数，得,再由边界条件 ， 得,这两个结果，以下将多次引用！,上面两个方程，都是齐次 Euler 方程，它们的通解分别为,其中， ，都是任意常数，考虑到之前确定边界条件的结果,显然，这是一个非齐次的 Euler 方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解,显然，这
6、是一个非齐次的 Euler 方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解,（特解，且有特别的系数）,因此，它的解为,再由边界条件，所得的结果，确定上式的,因此,故原定解问题的解为,（原求和符号自动消失。）,3.5 非齐次边界条件的处理, 非齐次边界条件的齐次化,回顾以前：,无论泛定方程是,齐次非齐次,新问题？,将其转化为齐次,以适当的未知函数代换,设定解问题:,为了将边界条件转成齐次，为此令：,由（2）与（4）可知，要使（5）式成立，只要选取 W ，使其满足,就能合乎要求。可是，满足（6）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如,因为仅要求 满足右列边界条件，所以有相当大的选择余地。如果把 看成
7、是参数，这就只要求在 平面上的曲线 ，通过给定的两点 和 即可。,例如上图， 等等，都能满足（6）的要求。,如，可取直线,代入边界条件，即可定出：,如，也可取抛物线,代入边界条件，即可定出：,或，,代入边界条件，即可定出：,适当选取,由右列边界条件确定,由：,理所当然，函数,必定满足边界条件。,因此，只要作代换,就能使新的未知函数 ，满足齐次的边界条件.,那么，究竟选取哪一个？为了使以后的计算简便，选取 W 为 x 的一次式，即取直线,再来解决关于新的函数 的定解问题（齐次）.,由此解出,其中,即由上一节非齐次方程的解法，将非齐次边界的矛盾，转换到泛定方程和初始条件为非齐次的定解问题中。,讨论
8、：,若边界条件不全是第一类（边界 上给出了未知函数 的数值，即 ，这种形式的边界条件。），本节的方法仍然适用，只是函数 的形式不同而已。,例： 将下列定解问题的第二类边界条件齐次化,因此，只要作代换,解: 令,选取,使,不妨设，,可得,于是，,则原定解问题化为如下的齐次边界定解问题,其中，,回顾与总结: 非齐次边界条件的齐次化,可见，除了在稳定问题中需要有一部分边界条件用于确定叠加系数、因此允许是非其次之外，原则上我们总是要求边界条件是齐次的。,为什么总是要求边界条件是其次的呢？,其一、非齐次边界条件不能分离变量；,其二、只有满足齐次方程和齐次边界条件的特解叠加起来，才能满足齐次 方程和齐次边
9、界条件；,其三、最根本的原因，涉及到本征函数的完备性。,选择不同的齐次化函数 ，导出的 所对应的定解,问题当然也不同，求出的 也就不同。但是，定解问题的解存在的,唯一性，保证了最后给出的 一定是相同的，尽管表达的形式可能,有所不同。,讨论：,能否使上面三个表达式再简单一些？,若 f , u1 , u2 都与 t 无关，所选取的 W(x,t) 当然也与 t 无关 W(x)。这时，可使 V(x,t) 与边界皆为齐次，这将使求解将更为简洁。,例1 求下列定解问题的形式解，其中 均为常数。,代入泛定方程，得,解 这个定解问题的特点是：方程与边界条件都是非齐次的。依据前述原则， 首先应将边界条件齐次化。
10、由于泛定方程的强迫项（外力引起）以及边界 条件都与 无关，所以有可能通过一次代换，将泛定方程和边界条件都 变成齐次的，具体做法如下：令,为了使这个泛定方程与边界条件都化成齐次，选择 满足,上面的方程组，是一个二阶常系数线性齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得,由假设 ，并代入原定解问题，得到下面,采用分离变量法，可得泛定方程和齐次边界条件的解,利用初始条件中的 可得,于是，关于 定解问题的解为,由初始条件中的 得到,即,其中，系数 ，可由傅立叶级数展开系数公式确定，即,因此，原定解问题的解为,其中，Cn由左列展开系数直接代入,实施分离变量法应该注意的几个问题：,一、根据边界条件的形状
11、，选取适当的坐标系。选取的原则是：使用对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域极坐标系； 圆柱形区域柱坐标系； 球形区域球坐标系。,二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数， 则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为 齐次边界条件问题，方可进行求解。,三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定 要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。,例 2 解下列定解问题,其中， 均为常数。,这里所遇到的泛定方程，与 ”有限长杆上的热传导” 中所讨论的泛定方程相比较，多了一项 ，但它仍然是线性齐次方程，故还能用分
12、离变量法求解。而且，在以下求解过程中可以看到，泛定方程里尽管多出了一项 ，然而它不会带来本质上的困难。,解 首先，将边界条件化为齐次， 为此令,代入原定解问题得到,显然，上述定解问题，可以分为如下两个定解问题：,.,.,对（I）式：,二种情况：,关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论,1. 常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数,（1） 有界弦的自由振动,（2） 有限长杆上的热传导,（3） 圆形域内 Laplace 方程的定解问题,（n 为正整数）,2. 分离变量法的实质,将时间变量 ，视为参变量；,将空间变量 ，按本征函数展成 Fourier 级数。,适用范围：,（1） 泛定方程与边
13、界条件为线性；,（2） 边界条件为齐次（圆域、圆环域例外）；,（3） 区域为有界的、规则的（区域边界易于以简单方程表示）。,特别考虑如下方程：,不难看出，以下三个方程，正是上面方程的特例：,分别取：,通常称之为 Sturm-Liouville （斯特姆-刘维尔）型方程。有关的本征值问题的一些结论，相应地称为：斯特姆-刘维尔理论。,与之对应的边界条件：,3. 按照本征函数系展开的依据,对于上述问题的本征值，有结论如下：,（1） 存在无穷多个实的本征值，并经适当调换，可以构成一个非递减,数列,对应有无穷多个本征函数。,（2） 所有的本征值均不为负，即,（3） 对应于不同本征值的本征函数在 上互相正交。即,为任意两个不同的本征值,对应的两个本征函数,则有：,（4 ） 本征函数系 在 上构成完备系。,即：对于一个任意函数 ，在区间 上，只要满足,具有一阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足,其中,附加说明：,上述本征值问题的结论是相当广泛的，数学物理方程中所涉及的本征,
