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1、激光原理,第三章 光学谐振腔,激光原理,光学谐振腔的模式理论,1、几何理论2、波动光学理论3、菲涅尔-基尔霍夫衍射积分方程,光学谐振腔的作用,一 、稳定性条件,3.1共轴球面腔的稳定性条件,双周期透镜波导,共轴球面腔,令,二、共轴球面腔的构成与分类,当 时，共轴球面谐振腔为稳定腔,当 时，共轴球面谐振腔为非稳腔,当 时，共轴球面谐振腔为临界腔,（1）稳定腔构成的方式, 双凹腔, 凹凸腔, 平凹腔,（2）非稳腔构成的方式, 双凸腔, 平凸腔, 平凹腔, 双凹腔, 凹凸腔,（3）临界腔构成的方式, 对称共焦腔, 平行平面腔, 共心腔,二、稳定图,图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标
2、原点。图中画有斜线的阴影区为不稳定区，在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。,3.2 光学谐振腔的模式,一、平平腔中的驻波,1.自由空间的驻波,向+z传播,向-z传播,(a) 振幅沿纵向z的分布,(b) 驻波频率等于原平面波的频率，都是 ，可以连续取值,2.平平腔中的驻波,镜面为驻波节点，其面上有一个相位的突变,当,驻波频率,对于一个q值，在腔内对应某种稳定的驻波结构，含有q+1个节点，这种稳定的驻波分布称为腔内的一个纵模。,q纵模序数,二、腔中光波模的谐振频率,谐振：在腔中某点A，光波每经一次往返，在该处的相位相同（或为其 的整数
3、倍），光场会产生相干加强，称为谐振。,腔内所有激光振荡都要满足谐振条件，才能形成稳定的强的相干光场。,在均匀平面波近似下：,腔内的稳定驻波频率条件与谐振频率条件是等效的,三、腔内的多纵模振荡及单纵模选取,1. 纵模的频率间隔,各纵模振荡频率是等间距排列在频率坐标轴上,举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模）,举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）,2. 多纵模振荡,条件？, 满足腔内谐振频率条件；, 满足腔的谐振的频率必须落在激活介质发光的原子光谱范围内；, 满足增益的阈值条件；, 不考虑模之间的竞争。,振荡纵模最多为,3. 单纵模
4、选取,当 时，可单纵模输出,减小,增大,4. 激光纵模的频率漂移问题,频率漂移：振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象,3.3 平行平面腔模的迭代法,衍射对开腔场分布的影响在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用。衍射效应是决定开腔模式形成的主要因素。,开腔模的一般物理概念在经过足够多次的渡越以后，能形成这样一种稳态场：其分布不再受衍射的影响，它在腔内往返一次后能够再现出发时的场分布。,将在开腔镜面上的，经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。其特点是：场的形状再现（一次渡越后分布状态相同）振幅相差一固定因子有一固定的相位差,一、开腔衍射理论的分析方法,1、菲
5、涅尔-基尔霍夫衍射积分方程,2、自再现模,当q足够 大时，除了一个表示幅度衰减和相位移动的常数因子 外， 应能将 再现出来。,以 表示开腔中这一不受衍射影响的稳态场的分布函数,如果满足,3、复常数 的意义,量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减,量度每经单程渡越时自再现模的相位滞后,自再现模在腔内单程渡越所经受的相对功率损失，称为模的单程损耗,越大，模的单程损耗越大,自再现模在腔内单程渡越的总相移,表示几何相移,表示单程附加相移,4、分离变量,设2a*2b的一对矩形平面镜腔,令,满足方程的 可能不止一个，可以用 分别表示它的第m个和第n个解,当 取一系列不连续的特定值时，方程才能成立，这些能够使
6、方程成立的 称为方程的本征值， 为相应的本征函数。,二、平平腔模的迭代解法,平平腔的特点：方向性好，模体积大，易单模振荡难调整，损耗大，故增益小的器件不能用平平腔模无解析解,1、迭代法,是否满足 ？,平行平面腔模的迭代解法,迭代流程,初始值,带入积分方程求解U2(x)，然后将其归一化,再将U2代入积分方程，求出U3,U4,U5.,画出曲线，确定相对振幅分布和相对相位分布,建立稳态场：以归一化的振幅曲线和相位曲线不再发生变化为原则,讨论1、菲涅尔数的选取 N2、达到稳态场的渡越次数,3、迭代法的意义在于(1)第一次证明了开腔模式的存在性；(2)加深了我们对模的各种特征的认识；(3)具有普遍的适用
7、性。,掌握,自再现模复常数 的意义单程损耗和单程相移平平腔的特点平平腔迭代法腔的菲涅耳数,2、平平腔镜面上场的振幅分布,(1) 基模振幅分布特性, 偶对称性, N决定场的振幅的具体分布，与单独的a或者L无关, N越大，镜边缘处的相对振幅越小，衍射损耗越小, N为偶数，在镜面中心的振幅不为最大，只有N为基数时，镜面中心的振幅才为最大,(2) 一阶模振幅分布特性, 奇对称性, N越大，镜边缘处的相对振幅越小, 光强将出现节线（暗区）, 与基模比较，镜边缘处的一阶模的振幅基模,3、平平腔镜面上场的相位分布, 平面镜上，不是等相位面，光场不是均匀的平面波, 相位的起伏变化与N有关, 节线两边相位差相差
8、180度, N较大时，镜面上的TEM00近似平面波，镜面中心部分更趋于平面波,4、单程相移和谐振频率,(1) 单程相移, 计算方法：在镜面上取一点，计算往返一次后，在该点的相位之变化, 总的相移不等于几何相移，存在一个附加相位超前,与腔的N有关，而且与m,n有关, N相同，基模 小，高阶模 大； 对于同一横模，N越大， 越小,(2) 谐振频率, 满足谐振条件, 谐振频率,5、单程功率损耗,计算方法：由镜子上某一点往返一次后振幅值的变化计算功率损耗,基模衍射损耗最小 衍射损耗由N而定，N越大，损耗越小 圆形镜腔基模损耗的近似公式,3.4 稳定球面腔,当N比较大时，可以用厄米-高斯函数近似,当N比
9、较大时，可以用达盖尔-高斯函数近似,一、方形镜对称共焦腔的模式,1、衍射积分方程,令,方形镜共焦腔自再现模的问题就等价于求解这两个积分方程的本征值问题。,2、衍射积分方程的解,（1）博伊德-戈登的精确解,相应的本征值为,对于任意给定的c值，即对应光腔的菲涅尔数，当m，n取一系列正整数时，可求得一系列本征值及相应的本征函数。进而可以讨论光腔内模式的全部特征：分布特征和传输特征。,（2）厄米-高斯近似解,在 的区域内，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式和高斯分布函数的乘积。,厄米-高斯函数即为方程的本征函数,厄米-高斯函数能很好的近似,在镜子中心区域，厄米-高斯函数能很好的近似,3、厄米-高斯近似
10、解下的讨论,（1）镜面上场的振幅和相位分布,基模,基模在镜面上的分布是高斯型的,光斑半径,半功率点的定义：,高阶横模,厄米多项式的零点决定场的节线，厄米多项式的正负交替变化与高斯函数的特性决定场分布的外形轮廓。,在x方向上有m条节线，在y方向上有n条节线,相位分布,由于长椭球函数是实函数，说明镜面上各点场的相位相同，及共焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面。（这一点与平平腔不同）,掌握（1）平平腔迭代法数值计算结果：镜面上的振幅分布；镜面上的相位分布；单程相移（几何相移，附加相移及其特点）；谐振频率；单程损耗的特点；,掌握（1）方形镜对称共焦腔的自再现模：精确解；厄米-高斯近似解；镜面上的振幅分
11、布，基模光斑尺寸，半功率点光斑尺寸，高阶模分布特点，强度花样图，高阶模光斑尺寸镜面本身为等相位面,（2）单程损耗,共焦腔自再现模, 均匀平面波的夫琅和费衍射 平平腔自再 现模的衍射 共焦腔, 随着菲涅耳数N的增加，单程损耗下降,（2）单程相移和谐振频率,单程相移,附加相移,与N无关,谐振频率,q的改变和m，n的改变引起的谐振频率的变化具有相同的数量级。（这一点与平平腔不同）,模式简并,不同的m，n，q处于同一频率,q+(m+n+1)相同的各种m，n，q的组合,不同模式的简并对激光有不利影响,多模振荡；竞争效应和烧孔效应,共焦腔是模式高度简并的,4、方形镜对称共焦腔的行波场,（1）如果已知镜面上
12、的场分布，可以采用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分方程求出共焦腔中任一点的场,其中,表示 模在腔内任一点的场强,如果输出镜的输出对光束无变换作用，可以把这一结果推广到腔外,（2）振幅分布,共焦场的振幅分布如下：,基模,其中,镜面上,Z=0处,（3）模体积,某一模式的模体积描述该模式在腔内所扩展的空间,模体积大：对该模式提供的 越多，可能输出大的功率模体积小：对该模式提供的 越少，可能输出小的功率,基模,高阶模,应用举例：,CO2激光谐振腔，L=1m，2a=2cm，,（4）等相位面分布,（5）远场发散角,二、圆形镜对称共焦腔的模式,1、衍射积分方程的解,精确解：超椭球函数数值解：给出曲线近似解：拉盖尔-
13、高斯近似解,2、圆形镜对称共焦腔的数值解讨论, 振幅分布与方形镜类似 圆形镜本身为等相位面 各模的相移不同, 损耗,3、拉盖尔-高斯近似解,圆形镜共焦腔的自再现模为拉盖尔-高斯函数,本征值,(1) 振幅分布,基模的场分布为,定义在基模振幅的 处的光斑半径为,模沿辅角方向的节线数目为m，沿径向方向的节线数目为n,(2) 相位分布,镜面为其等相位面,(3) 单程相移,(4) 谐振频率,圆形镜对称共焦腔中，模式是高度简并的,(5) 单程衍射损耗,在计算衍射损耗时，不能采用近似解,4、圆形镜对称共焦腔的行波场,圆形镜对称共焦腔的行波场与方形镜对称共焦腔的行波场类似，两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。,三、对称共焦腔的特点,具有确定的腔内光场分布形式，并可推广到一般稳定球面腔；由行波场可确定其空间分布特性；对称共焦腔衍射损耗低，模式鉴别能力高，易调整；基模体积小，易生成多模振荡（模式高度简并）；要求R和L加工精确,对称共焦腔小结,1.共焦腔的自再现模2.分布特征： 振幅分布（基模与高阶模） 相位分布 光斑尺寸 模体积 单程相移和谐振频率 模的单程衍射损耗 基模光束的远场发散角,共焦腔光束的基本特性如光斑尺寸、模体积、发散角、等相面的曲率半径等，它们都唯一的由焦距f决定，与横向尺寸无关f：作为表征共焦腔高斯光束的特征参数,
