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1、.深圳人口与医疗需求摘要针对深圳市人口与医疗需求，我们利用 1979-2010 年人口数据以及相关资料，建立微分方程模型，并建立一元线性回归方法，用最小二乘法对微分方程的参数进行估计，由此预测深圳市未来十年常住人口、非常住人口数量。运用 matlab 编程、Excel 软件绘出人口数量变化曲线，采取二次多项式和三系多项式拟合方法预测深圳市 2011-2020 年人口结构。之后我们研究了全市医院的医疗床位需求问题的预测，用拟合预测的方法研究。最后我们针对小儿肺炎病、子宫平滑肌瘤两种疾病预测深圳市未来十年的床位需求，为医院下一步的床位优化工作提供了的很好的帮助，从而为更多的患者提供较好的医疗服务。
2、关键词微分方程模型 一元回归方程 最小二乘法 多项式拟合 Matlab 编程问题描述深圳是我国经济发展最快的城市之一，30 多年来，卫生事业取得了长足发展，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老.年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使
3、医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，我们根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1. 分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；2. 根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、
4、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。目标任务一、根据深圳市 19792010 年人口数据统计，分析深圳市非常住人口的变化规律及其发展趋势，并预测近十年的非常住人口数量。二、根据深圳市 19792010 年人口数据统计，分析深圳市常住人口的变化规律和发展趋势，并预测近十年的常住人口数量。结合问题一，进而预测深圳市未来十年的总人口数量。.三、选取深圳市 2000 年、2005 年、2010 年三个年份的年龄结构的统计，以 2010 年的统计数据为人口预测基数，分析预测深圳市2015 年、2020 年的人口结构。五、根据已有数据，结合问题一、二、三关于常住
5、人口、非常住人口变化特征以及对深圳市未来十年的人口数量、结构的发展趋势分析，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。四、 根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择 预测小儿肺炎、在不同类型的医疗机构就医的床位需求。模型假设1、 不考虑重大疾病和战争对人口的影响，各种病发病率保持不变，人口增长率恒定；2、 假设未来一段时间内深圳市经济水平保持稳定的发展，外来人口数稳定发展；3、 假设未来一段时间内人口政策和医疗制度不发生变化； 4、 假设各区域的患病者不相互交换，即各区域是相互独立的.；5、 题中所给出的统计数据准确可靠；问题分析对于问题一：为了简化，我们选取非户籍人口的统计数据
6、代替非常住人口的统计结果，用多项式拟合的方法进行预测。对于问题二：.主要选取 1979-2010 年深圳市年末常住人口的统计数据进行分析。利用附表 1 所给的数据利用 Matlab 制作散点图，观察年末常住人口的发展趋势，建立一元线性回归方程，并用最小二乘法确定参数，由次分析常住人口的变化，进而预测深圳市近十年的常住人口数量。对于问题三：在上面工作，我们分析了深圳市未来年末常住人口和流动人口的大致变化，并对深圳市人口结构方面进行分析和预测。由附表整理出 2000,2005,2010 年各年龄段结构表，并进一步制作成散点图，预测 2020 年的结构数据。并在预测的时采用最小二乘法中的一次线性拟合
7、。对于问题四：由近年深圳全市医院数的情况变化图、全市近年的床位数发展情况图和年末常住人口变化图，分析选取人口变化图进行数据拟合，得到未来全市医疗床位需求，同理得到各市未来医疗床位需求。对于问题五：要想预测在不同医疗机构就医的床位需求，我们首先预测未来的患病人数，然后再进一步预测在不同医疗机构的床位需求。在预测患病人数（即预测发病率）时，我们也要考虑到：随着人们的生活水平以及对健康的关注程度的提高，发病率有所下降。同时，我们在预测医疗床位的需求的时候；也要考虑到，随着医疗水平的提高，治疗周期也会变短，这都对预测的结果有着很大的影响。.模型分析与建立一、非常住人口预测深圳经济发展日益增长，由此带来
8、了随年增长的流动人口，包括外来务工人员，商人，学生和游客等。为了简化，我们选取非户籍人口的统计数据代替非常住人口的统计结果，用拟合的方法进行预测。（一）多项式拟合的原理 假设给定数据点 (i=0,1,m)， 为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一 ,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。显然为 的多元函数，因此上述问题即为求 的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得(2)即 (3).（3）是关于 的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组
9、（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式（5）中的 满足式（1），即 为所求的拟合多项式。我们把 称为最小二乘拟合多项式 的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数 n；列表计算 和 ；写出正规方程组，求出 ； 写出拟合多项式 。.（二）多项式拟合的次数选择通过利用不同次数的多项式拟合和已知数据的差异比较，达到利用最佳多项式拟合曲线是我们要达到的最终目的，而计算多项式的平方误差 的大小则是判定这一标准的重要参数。下面我们还
10、是针2R对 1979-2010 年深圳市年末常住人口分别利用二次多项式和三次多项式分别进行拟合估计，在观察曲线变化差异的同时，计算两者值的不同。2R二次多项式拟合模型： 2()=(1)2+(2)+ (3)三次多项式拟合模型：3()=(1)3+(2)2+(3)+(4)（三）预测非常住人口由已有数据我们得到 1979-2010 年深圳市非户籍人口数，如下（表2.1）表 2.1 深圳市非户籍人口数利用数学软件 MATLAB 对数据进行处理，得到 1979-2010 年非户籍人口数散点图，如下：（图 2.1）.图 2.1 1979-2010 年非户籍人口数通过现有数据对散点图进行分析，我们发现：非户籍
11、人口数随时间的推移呈现递增的趋势，且各段人口增长率大致保持不变，人口发展整体较为平稳，故采用多项式拟合方法。用 MATLAB 软件对已知数据进行二次拟合和三次拟合，通过编程（见附录 1、2）得到图形，如下：（图 2.2）图 2.2 二次拟合和三次拟合图通过将二次多项式拟合和三次多项式拟合 .得到的曲线与原实际数据相比较，我们发现，图像结果大致吻合。通过利用 Matlab 软件拟合出 2001-2010 年深圳市非常住人口的拟合曲线，并得出相应年份的拟合点，绘表如下：（表 2.2）表 2.2 深圳市年末常住人口二次多项式拟合表（2001-2010 年）表 2.2 深圳市年末常住人口二次多项式拟合
12、表（2001-2010 年）对比二次拟合结果与三次拟合结果，我们发现三次拟合结果与实际值相差较小，故采用三次拟合曲线进行预测，不再需要进行拟合精度分析。对此我们利用图像分别作出 2011-2020 年非常住人口的预测，如下：（表 2.2）表 2.2 2011-2020 年非常住人口的预测表二、常住人口预测（一）模型分析1、符号假设x(t)- 第 t 年末常住人口总数年份人口（万人） 2001 2002 2003 2004 2005原始数据 592.53 607.17 627.34 635.67 645.82拟合数据 594.502 606.8 620.597 620.597 654.03年份人
13、口（万人）2006 2007 2008 2009 2010原始数据 674.27 699.99 726.21 753.56 786.17拟合数据 674.336 697.482 723.804 753.636 787.314.x1(t)- 第 t 年末户籍人口数x2（t）-第 t 年末非户籍人口数r11 -户籍人口的自然增长率r12 -非户籍人口的自然增长率2、建立模型常住人口的增长包括两个方面：第一部分，户籍人口的自然增长；第二部分，非户籍人口向户籍人口的转化，即有：x(t) = x1(t) + x2（t）120,()drt假设历年人口自然增长率恒定，可设：r 11=c1历年非户籍人口向户籍
14、人口的转换率在一定时期内保持不变，可设r12=c2对于年末常住人口，有： 112dxcxt3、下面确定 c1、c 2与问题一类似，我们首先，matlab 描绘出 20012010 年户籍人口与非户籍人口变化曲线，如下：（图 2.1）.图 2.1 20012010 年户籍人口与非户籍人口变化曲线由图像我们可以看出，户籍人口与非户籍人口曲线增长平稳，增长幅度基本保持不变，我们可以利用一元线性回归的方法建立模型。（二）建立一元回归方程假设 ， ，其中 a, b, 2都是未知bxayE)( ),(2bxaNy参数，并且不依赖于 x。即可设：, 其中 ，为随机误差，a, b, 2 都是y ),0(2未知
15、参数。在式中，系数 a、b ，需要由观察值 来进行估计。如果由),(iyx样本得到了 a，b 的估计值为 ，则对于给定的 x，a+bx 的估计b,为 ，记作 ， 为 y 对 x 的线性回归方程。xya5、应用最小二乘法确定回归系数我们用 表示 y 的样本观察值， 表示根据回归方程所得到的i iy.y 的估计值，则估计值与实际观察值之间的误差为， iiiii xbaye其总的误差，可以表示为误差的平方和的形式， 222 )()(),( iiiii xbayyebaQ现在要使上式取得极小值，只需令 Q 对 a，b 的一阶偏导等于 0，因此：22 2()()0iiiiyabxynxaQxabb由此可解得如下结果： 222 )( 1 xynxybxbna其中 就是参数 a， b 的无偏估计。a,(三)对于本题，建立一元回归方程t -时间变量y -人口数-随机误差a,b-参数建立一元回归方程： y=f(t,b,a)，不妨假设 yatb其中 y表示根据模型预测的 y 值，n=10.根据实际数据（2001,132.04),(2002,139.45),(2003,150.93),(2004,165.13),.(2005,181.93),(2006,196.83),(2007,212.38)
