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1、, 多元微积分学,大 学 数 学（二）,第二讲 常数项级数的审敛法,本章学习要求：,一.正项级数的审敛法,二.任意项级数的敛散性,第九章 无穷级数,第二节 常数项级数的审敛法,一.正项级数的审敛法,1.正项级数的定义,若级数,则称之为正项级数.,定义,实质上应是非负项级数,2.正项级数收敛的充要条件,正项级数,Sn 有界.,定理,正项级数的部分和数列是单调增加的,单调有界的数列必有极限,理由,在某极限过程中有极限的量必界,级数,是否收敛？,该级数为正项级数, 又有,(n =1, 2, ),故 当n 1 时, 有,即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数,解,3. 正项级数敛散性的比较判别法,
2、且 0 un vn ( n = 1, 2, ),大收小收, 小发大发.,记, 0 un vn (n = 1, 2, ), 0 Sn Gn,证 (1),证 (2),判断级数,的敛散性. ( 0 x 0 ) 的敛散性.,当 p1时, P 级数为调和级数:,它是发散的.,当 0 p 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项,而,对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：,故当 p 1 时, P 级数收敛.,综上所述:,当 p 1 时, P 级数收敛.,当 p 1 时, P 级数发散.,4.比较判别法的极限形式,由于,( 0 0, N 0, 当 n N 时,不妨取,运用比较判别法可知,具有
3、相同的敛散性.,证(1),当 0 0, 当 n N 时,故由比较判别法, 当 = 0 时,证(2),由于,( = ), M 0 (不妨取 M 1) ,即,由比较判别法,证(3),故, N 0, 当 n N 时,当 = 时,0 vn 0 为常数).,因为,( 即 = 1 为常数 ),又,是调和级数, 它是发散的,发散.,解,原级数,故,解,由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：,5.达朗贝尔比值判别法,利用级数本身来进行判别.,即 = x2 , 由达朗贝尔判别法：,解,需要讨论 x 的取值范围,综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.,解,这是一个正项级数:,单调增加有上界,以 e 为极限.,
4、由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.,由级数收敛的必要条件得,利用级数知识求某些数列得极限.,解,达朗贝尔( DAiember Jean Le Rond )是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。 达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。,达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。,达朗贝尔在力学、
5、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。 达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。,6. 柯西根值判别法,解,记,解,即,当 x a 时,当 0 x 0 为与 n 无关的常数,单调递减趋于零,部分和有界,其中, x 2k , kZ .,解,单调递减趋于零,又,而 x 2k , kZ ,于是,且,故,
