《弧长的公式、扇形面积公式及其应用(20170823212031)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弧长的公式、扇形面积公式及其应用(20170823212031)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【 本讲教育信息 】一 . 教学内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二 . 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三 . 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点 1、弧长公式因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C 2 R，所以 1的圆心角所对的弧长是， 于是可得半径为 R 的圆中， n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式： ，说明：（ 1）在弧长公式中， n
2、 表示 1的圆心角的倍数， n 和 180 都不带单位“度”，例如， 圆的半径 R 10， 计算 20的圆心角所对的弧长 l 时， 不要错写成 。（ 2）在弧长公式中，已知 l， n， R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角为 1的扇形面积是 ，由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是 。又因为扇形的弧长 ， 扇形面积 ， 所以又得到扇形面积的另一个计算公式： 。知识点 3、弓形的面积（ 1）弓形的定义：由弦及其所
3、对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（ 2）弓形的周长弦长弧长（ 3）弓形的面积如图所示， 每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积， 从图中可以看出， 只要把扇形 OAmB 的面积和 AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，例：如图所示， O 的半径为 2， ABC 45，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用 表示）分析：由图可知 由圆周角定理可知 ABC AOC，所以 AOC 2 ABC 90，所以 OAC 是直角三角形，所以，所以注意：
4、（ 1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长 弧长 圆面积 扇形面积公式（ 2）扇形与弓形的联系与区别（ 2）扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的全面积说明：（ 1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（ 2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形， 如图所示， 其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周
5、长，若 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r ， 高 为 h ， 则 圆 柱 的 侧 面 积 ， 圆 柱 的 全 面 积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称 圆锥 圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的，如 Rt SOA 绕直线 SO旋转一周。由 一 个 矩 形 旋 转 得 到 的 ， 如 矩 形ABCD 绕直线 AB 旋转一周。图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面侧面展开图的特征 扇形 矩形面积计算方法【 典型例题 】例 1. （ 2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 2， 1， AOB 120，则阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 分析： 阴影部
6、分所在的两个扇形的圆心角为 ，所以故答案为： B. 例 2. （ 2004陕西）如图所示，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，连接 AC， BC， AB 10厘米， tan BAC ，求阴影部分的面积。分析： 本题考查的知识点有：（ 1）直径所对圆周角为 90，（ 2）解直角三角形的知识（ 3）组合图形面积的计算。解： 因为 AB 为直径，所以 ACB 90，在 Rt ABC 中， AB 10， tan BAC ，而 tan BAC 设 BC 3k， AC 4k，（ k 不为 0，且为正数）由勾股定理得所以 BC 6， AC 8， ，而所以例 3. （ 2003.福州）如图所示，已知扇形 AO
7、B 的圆心角为直角，正方形 OCDE 内接于扇形 AOB， 点 C， E， D 分别在 OA， OB 及 AB 弧上， 过点 A 作 AF ED 交 ED 的延长线于 F，垂足为 F，如果正方形的边长为 1，那么阴影部分的面积为（ ）分析： 连接 OD ，由正方形性质可知 EOD DOC 45，在 Rt OED 中， OD ，因为正方形的边长为 1，所以 OE DE 1，所以 ，设两部分阴影的面积中的一部分为 M ，另一部分为 N，则 ，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为 P，因为 BOD DOC，所以所以 M P，所以答案： 。例 4. 如图所示，
8、直角梯形 ABCD 中， B 90， AD BC， AB 2， BC 7， AD 3，以 BC 为轴把直角梯形 ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。分析： 将直角梯形 ABCD 绕 BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解： 作 DH BC 于 H，所以 DH AB 2 CH BC BH BC AD 7 3 4 在 CDH 中，所以例 5. （ 2003.宁波）已知扇形的圆心角为 120，面积为 300 平方厘米（ 1）求扇形的弧长。（ 2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？分析： （
9、 1）由扇形面积公式 ，可得扇形半径 R，扇形的弧长可由弧长公式 求得。（ 2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ，（ 1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为 C 2 r，底面圆半径 r 即 CD 的长可求， 圆锥的高 AD 可在 Rt ADC 中求得， 所以 可求。解： （ 1）设扇形的半径为 R，由 ，得 ，解得 R 30. 所以扇形的弧长 （厘米）。（ 2）如图所示，在等腰三角形 ABC 中， AB AC R 30， BC 2r，底面圆周长 C2 r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以在 Rt ADC 中，高 AD所以轴截面面积 （平方厘米
10、）。【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是 45，面积为 2 ，则这个扇形的半径是（ ）A. 4 B. 2 C. 47 D. 2 2. 扇形的圆心角是 60，则扇形的面积是所在图面积的（ ）A. B. C. D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）A. 90 B. C. D.180 4. 两同心圆的圆心是 O，大圆的半径是以 OA， OB 分别交小圆于点 M， N已知大圆半径是小圆半径的 3 倍，则扇形 OAB 的面积是扇形 OMN 的面积的（ ）A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍5. 半圆 O 的直径为 6cm，
11、 BAC 30，则阴影部分的面积是（ ）A. B.C. D.6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 3 ： 2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）A. 30 B. 60 C. 90 D. 1208. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆， 且它们的侧面积之比为 12，则它们的高之比为（ ）A. 2： 1 B. 3： 2 C. 2 ： D. 5：9. 如图，在 ABC 中， C Rt， AC BC ，若以 AC 为底面圆半径， BC 为高的圆锥的侧面积为 S
12、1，以 BC 为底面圆半径， AC 为高的圆锥的侧面积为 S2，则（ ）A. S1 S2 B. S1 S2 C. S1 S2 D. S 1、 S2 的大小关系不确定二、填空题1. 扇形的弧长是 12 cm，其圆心角是 90，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的 3 倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是 12cm2，半径为 8cm，则扇形周长为 . 4 在 ABC 中， AB 3， AC 4， A 90，把 Rt ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为 S1；把 Rt ABC 绕 AB 旋转一周得到另一个
13、圆锥，其全面积为 S2，则S1： S2 。5. 一个圆柱形容器的底面直径为 2cm， 要用一块圆心角为 240的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。6. 如图，扇形 AOB 的圆心角为 60，半径为 6cm ， C， D 分别是 的三等分点，则阴影部分的面积是 。7. 如图正方形的边长为 2， 分别以正方形的两个对角顶点为圆心， 以 2 为半径画弧， 则阴影部分面积为 。三、计算题1. 如图，在 Rt ABC 中， AC BC ，以 A 为圆心画弧 ，交 AB 于点 D，交 AC 延长线于点 F，交 BC 于点 E，若图中两个阴影部分的面积相
14、等，求 AC 与 AF 的长度之比（ 取 3）。2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是 S1，另一个圆锥的侧面积是 S2，如果圆锥和圆柱等底等高，求 3. 圆锥的底面半径是 R，母线长是 3R， M 是底面圆周上一点，从点 M 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到 M 点，求这根绳子的最短长度【试题答案】一、选择题1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B 二、填空题1、 24 1442、 403、 19cm 4、 3： 4 5、 3 6、 27、 2 4 三、计算题1、连接 AE，则 ，所以2、3、连接展开图的两个端点 MM ，即是最短长度。利用等量关系得出 MAM 120， AMD 30， AD ，
