《弧长的公式、扇形面积公式及其应用(20170823212031)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《弧长的公式、扇形面积公式及其应用(20170823212031)(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、【 本讲教育信息 】一 . 教学内容:弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二 . 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。三 . 重点及难点重点:1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。难点:1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点 1、弧长公式因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C 2 R,所以 1的圆心角所对的弧长是, 于是可得半径为 R 的圆中, n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式: ,说明:( 1)在弧长公式中, n
2、 表示 1的圆心角的倍数, n 和 180 都不带单位“度”,例如, 圆的半径 R 10, 计算 20的圆心角所对的弧长 l 时, 不要错写成 。( 2)在弧长公式中,已知 l, n, R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示,阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为 n的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积 ,所以圆心角为 1的扇形面积是 ,由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是 。又因为扇形的弧长 , 扇形面积 , 所以又得到扇形面积的另一个计算公式: 。知识点 3、弓形的面积( 1)弓形的定义:由弦及其所
3、对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。( 2)弓形的周长弦长弧长( 3)弓形的面积如图所示, 每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积, 从图中可以看出, 只要把扇形 OAmB 的面积和 AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时,如图 1 所示,当弓形所含的弧是优弧时,如图 2 所示,当弓形所含的弧是半圆时,如图 3 所示,例:如图所示, O 的半径为 2, ABC 45,则图中阴影部分的面积是 ( )(结果用 表示)分析:由图可知 由圆周角定理可知 ABC AOC,所以 AOC 2 ABC 90,所以 OAC 是直角三角形,所以,所以注意:
4、( 1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长 弧长 圆面积 扇形面积公式( 2)扇形与弓形的联系与区别( 2)扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为 l,底面圆的半径为 r,那么这个扇形的半径为 l,扇形的弧长为 2 ,圆锥的侧面积 ,圆锥的全面积说明:( 1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。( 2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形, 如图所示, 其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周
5、长,若 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r , 高 为 h , 则 圆 柱 的 侧 面 积 , 圆 柱 的 全 面 积知识小结:圆锥与圆柱的比较名称 圆锥 圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的,如 Rt SOA 绕直线 SO旋转一周。由 一 个 矩 形 旋 转 得 到 的 , 如 矩 形ABCD 绕直线 AB 旋转一周。图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面侧面展开图的特征 扇形 矩形面积计算方法【 典型例题 】例 1. ( 2003.辽宁)如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为 2, 1, AOB 120,则阴影部分的面积是( )A. B. C. D. 分析: 阴影部
6、分所在的两个扇形的圆心角为 ,所以故答案为: B. 例 2. ( 2004陕西)如图所示,点 C 在以 AB 为直径的半圆上,连接 AC, BC, AB 10厘米, tan BAC ,求阴影部分的面积。分析: 本题考查的知识点有:( 1)直径所对圆周角为 90,( 2)解直角三角形的知识( 3)组合图形面积的计算。解: 因为 AB 为直径,所以 ACB 90,在 Rt ABC 中, AB 10, tan BAC ,而 tan BAC 设 BC 3k, AC 4k,( k 不为 0,且为正数)由勾股定理得所以 BC 6, AC 8, ,而所以例 3. ( 2003.福州)如图所示,已知扇形 AO
7、B 的圆心角为直角,正方形 OCDE 内接于扇形 AOB, 点 C, E, D 分别在 OA, OB 及 AB 弧上, 过点 A 作 AF ED 交 ED 的延长线于 F,垂足为 F,如果正方形的边长为 1,那么阴影部分的面积为( )分析: 连接 OD ,由正方形性质可知 EOD DOC 45,在 Rt OED 中, OD ,因为正方形的边长为 1,所以 OE DE 1,所以 ,设两部分阴影的面积中的一部分为 M ,另一部分为 N,则 ,阴影部分面积可求,但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一部分空白面积为 P,因为 BOD DOC,所以所以 M P,所以答案: 。例 4. 如图所示,
8、直角梯形 ABCD 中, B 90, AD BC, AB 2, BC 7, AD 3,以 BC 为轴把直角梯形 ABCD 旋转一周,求所得几何体的表面积。分析: 将直角梯形 ABCD 绕 BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的,所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解: 作 DH BC 于 H,所以 DH AB 2 CH BC BH BC AD 7 3 4 在 CDH 中,所以例 5. ( 2003.宁波)已知扇形的圆心角为 120,面积为 300 平方厘米( 1)求扇形的弧长。( 2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少?分析: (
9、 1)由扇形面积公式 ,可得扇形半径 R,扇形的弧长可由弧长公式 求得。( 2)由此扇形卷成的圆锥如图所示,这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ,( 1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长,而圆周长公式为 C 2 r,底面圆半径 r 即 CD 的长可求, 圆锥的高 AD 可在 Rt ADC 中求得, 所以 可求。解: ( 1)设扇形的半径为 R,由 ,得 ,解得 R 30. 所以扇形的弧长 (厘米)。( 2)如图所示,在等腰三角形 ABC 中, AB AC R 30, BC 2r,底面圆周长 C2 r,因为底面圆周长即为扇形的弧长,所以在 Rt ADC 中,高 AD所以轴截面面积 (平方厘米
10、)。【模拟试题】 (答题时间: 40 分钟)一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是 45,面积为 2 ,则这个扇形的半径是( )A. 4 B. 2 C. 47 D. 2 2. 扇形的圆心角是 60,则扇形的面积是所在图面积的( )A. B. C. D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆心角是( )A. 90 B. C. D.180 4. 两同心圆的圆心是 O,大圆的半径是以 OA, OB 分别交小圆于点 M, N已知大圆半径是小圆半径的 3 倍,则扇形 OAB 的面积是扇形 OMN 的面积的( )A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍5. 半圆 O 的直径为 6cm,
11、 BAC 30,则阴影部分的面积是( )A. B.C. D.6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( )A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 3 : 2,这个圆锥的轴截面的顶角是( )A. 30 B. 60 C. 90 D. 1208. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆, 且它们的侧面积之比为 12,则它们的高之比为( )A. 2: 1 B. 3: 2 C. 2 : D. 5:9. 如图,在 ABC 中, C Rt, AC BC ,若以 AC 为底面圆半径, BC 为高的圆锥的侧面积为 S
12、1,以 BC 为底面圆半径, AC 为高的圆锥的侧面积为 S2,则( )A. S1 S2 B. S1 S2 C. S1 S2 D. S 1、 S2 的大小关系不确定二、填空题1. 扇形的弧长是 12 cm,其圆心角是 90,则扇形的半径是 cm ,扇形的面积是 cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的 3 倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是 12cm2,半径为 8cm,则扇形周长为 . 4 在 ABC 中, AB 3, AC 4, A 90,把 Rt ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥,其全面积为 S1;把 Rt ABC 绕 AB 旋转一周得到另一个
13、圆锥,其全面积为 S2,则S1: S2 。5. 一个圆柱形容器的底面直径为 2cm, 要用一块圆心角为 240的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有 cm。6. 如图,扇形 AOB 的圆心角为 60,半径为 6cm , C, D 分别是 的三等分点,则阴影部分的面积是 。7. 如图正方形的边长为 2, 分别以正方形的两个对角顶点为圆心, 以 2 为半径画弧, 则阴影部分面积为 。三、计算题1. 如图,在 Rt ABC 中, AC BC ,以 A 为圆心画弧 ,交 AB 于点 D,交 AC 延长线于点 F,交 BC 于点 E,若图中两个阴影部分的面积相
14、等,求 AC 与 AF 的长度之比( 取 3)。2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是 S1,另一个圆锥的侧面积是 S2,如果圆锥和圆柱等底等高,求 3. 圆锥的底面半径是 R,母线长是 3R, M 是底面圆周上一点,从点 M 拉一根绳子绕圆锥一圈,再回到 M 点,求这根绳子的最短长度【试题答案】一、选择题1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B 二、填空题1、 24 1442、 403、 19cm 4、 3: 4 5、 3 6、 27、 2 4 三、计算题1、连接 AE,则 ,所以2、3、连接展开图的两个端点 MM ,即是最短长度。利用等量关系得出 MAM 120, AMD 30, AD ,