常微分方程的初等解法_毕业论文

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1、常微分方程的初等解法11常微分方程的基本概况 1.1.定义：自变量未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理化学生物工程航空航天医学经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力能量守恒人口发展规律生态总群竞争疾病传染遗传基因变异股票的涨伏趋势利率的浮动市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广

2、泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。1.3.特点：常 微 分 方 程 的 概 念 、 解 法 、 和 其 它 理 论 很 多 ， 比 如 ， 方 程 和 方 程 组 的 种 类 及 解法 、 解 的 存 在 性 和 唯 一 性 、 奇 解 、 定 性 理 论 等 等 。 下 面 就 方 程 解 的 有 关 几 点 简 述 一下 ， 以 了 解 常 微 分 方 程 的 特 点 。 求 通 解 在 历 史 上 曾 作 为 微 分 方 程 的 主 要 目 标 ， 一 旦求 出 通 解 的 表 达 式 ， 就 容 易 从 中 得 到 问 题 所 需 要 的 特 解 。 也 可 以

3、由 通 解 的 表 达 式 ，了 解 对 某 些 参 数 的 依 赖 情 况 ， 便 于 参 数 取 值 适 宜 ， 使 它 对 应 的 解 具 有 所 需 要 的 性 能 ，还 有 助 于 进 行 关 于 解 的 其 他 研 究 。 1.4.应用：现 在 ， 常 微 分 方 程 在 很 多 学 科 领 域 内 有 着 重 要 的 应 用 ， 自 动 控 制 、 各 种 电子 学 装 置 的 设 计 、 弹 道 的 计 算 、 飞 机 和 导 弹 飞 行 的 稳 定 性 的 研 究 、 化 学 反 应 过 程 稳定 性 的 研 究 等 。 这 些 问 题 都 可 以 化 为 求 常 微 分 方

4、 程 的 解 ， 或 者 化 为 研 究 解 的 性 质 的问 题 。 应 该 说 ， 应 用 常 微 分 方 程 理 论 已 经 取 得 了 很 大 的 成 就 ， 但 是 ， 它 的 现 有 理 论也 还 远 远 不 能 满 足 需 要 ， 还 有 待 于 进 一 步 的 发 展 ， 使 这 门 学 科 的 理 论 更 加 完 善 。2.一阶的常微分方程的初等解法常微分方程的初等解法2一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换可以化为变量分离方程的类型线性微分方程与常数变易法恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。2.1、变量分离方程法形如 ， （2.1）的

5、方程，称为变量分离方程，这里的 ， 分别)(yxfd )(xfy是 x，y 的连续函数。如果 ，我们可将（2.1）改写成 ，这样变量0 dfy)(就“分离”开来了。两边积分得到 ， （2.2） 。cdxfy)(例 1：方程 就可以用变量分离法求解方程yxd解： 变量分离，得到 ，xd两边积分，即得 ，22cy因而，通解为 ， （c 为任意常数）yx22.2、可化为变量分离方程的类型(1) 形如 ， （2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里 是 u 的连续函数。)(xygd )(g作变量变换 ， （2.4）即 ，于是 ， （2.5）.将（2.4） ， （2.5）代uuxyudxy入（2.3） ，

6、则原方程变为 ，整理后，得到 ,(2.6).方程)(gdx)(（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。例 2 方程 就是一个可以化为变量分离的方程。xydxytan常微分方程的初等解法3解 这是齐次微分方程，以 及 代入，则原方程变为uxyudxy。即 。udxutandxtan将上式分离变量，既有 ，xducot两边积分，得到 ， （ 为任意常数）lnsilc整理，得到 ，xeucin令 ，得到 cesi将 代入上式，得到方程的通解为 xyu cxysin(2)形如 ,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，2211cybad， ， ， ， ， 均为常数。1

7、a211我们分三种情况来讨论： (常数)情形。这时方程化为 ，有通解 ，其中 c kcba2121 kdxykxy为任意常数。 情形。令 ，这时有2121ckbaybxau2是变量分离方程。2122dxyxu 情形。如果方程(2.7)中 ， 不全为零，方程右端分子分母都是21ba1c2x，y 的一次多项式，因此 （2.8）.代表 Oxy 平面上两条相交的直线，02211ybxa常微分方程的初等解法4设交点为 。若令 （2.9） 。则（2.8）化为 从而（2.7）)(yYxX021YbXa变为 ， （2.10） 。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变)(21gbadXY量即可得原方程（2.7

8、）的解。如果方程（2.7）中 ，可不必求解（2.8） ，直021c接取变换 即可。xyu上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型。)(2211cybxafdy例 3 方程 就可以用上述方法来求解。3yx解 解方程组 01yx得 x=1，y=2.令 2YyX代入原方程，则有 ,d再令 ,即 ,则上式化为 ，XYuuduXd21两边积分，得 ，cu2lnl2因此 ，ceuX)1(2记 ，并代回原变量，得 ，1ce 122cXY把 代入上式 得2yYxX 122 )()()( xyxy常微分方程的初等解法5整理，得 (c 为任意常数)cxyxy2622.3、线性微分方程与常数变易

9、法一阶线性微分方程 ， （2.9） 。其中 P（x） ，Q（x）在考虑的区间)(xQyPdx上是 x 的连续函数。若 Q（x）=0， （2.9）变为 ， （2.10） ，(2.10)称为一阶其yd)(次线性微分方程。若 ， （2.9）称为一阶非其次线性微分方程。 （2.10）是变量分0)(离方程它的解为 ， （2.11）这里的 c 为任意常数。cey)(现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。不难看出， （2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数 c 变易为 x的待定函数 c(x).令 ， （2.12）微分之，得到ecy)(， （2.13）.将（2.12）,(2.

10、13)代入（2.9） ，得到ecdxy)()(。)()( )()()( xQexcPedpx 即 ，积分后得到 ，这里的 是任意常Qdxc)()( cdexp)()( c数。将上式代入（2.12） ，得到方程（2.9）的通解 ，)()( dxeyp（2.14） 。这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。若方程不能化为（2.9）形式，可将 x 看作 y 的函数，再看是否为（2.9）形式。例 4 方程 （n 为常数）就可以用常数变易法求解。1)()1(xenydx解 将方程改写为 ，nxe

11、yx)(常微分方程的初等解法6首先，求齐次线性微分方程 的通解01yxnd从 ，得到齐次线性微分方程的通解dxny1 nxcy)1(其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把 c 看成为 x 的待定函数 c（x）,即 ，nxcy)1(微分之，得到 ，)()(1xcdnn把，代入，得到 ，xec积分之，求得 x)(因此，以所求的 c（x）代入，即得原方程的通解， （ 为任意常数）)()1exyxn2.4、恰当微分方程与积分因子2.4.1 恰当微分方程如果方程 ，的左端恰好是某个二元函数 的0y)d(y)dx(NMy)(xu全微分，即 + = 则称原式为恰当微分dyuxxu)

12、(方程。容易验证恰当微分方程的通解就是 ,这里的 c 为任意常数。y如果方程是恰当微分方程时，函数 应该具有以下性质。)N(x)(M和 分别对 y，x 求偏导，得到 ， ，由MxuNy yu2xMu2常微分方程的初等解法7得连续性，可得 ，故 ,这就是恰当微分方程的必要条xNyMyxu2xNM件。如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。利用公式（2.15）)(ln21arctxdy-)(lnxdy-)(22yx例 5 方程 就可以用“分项组合” 方法来求解。0)46()3( 32dydx解 把方程重新“分项组合”得到 062232 ydxx即 032243 dyydx或者写成

13、)(243于是，方程的通解为 ， （c 为任意）yx2432.4.2、积分因子如果存在连续可微的函数 ，使得 x+0y)(xy)M(xd=0 为一恰当微分方程，即存在函数 ，使 ，则y)dN(x, Ny称 为方程 的积分因子，而积分因子不是唯一的。)d()(NxyM这时 是方程 的通解，因而也就是cyx)(常微分方程的初等解法8的通解。0)()(dyxNdyxM由（2.15）看到，同一方程 可以有不同的积分因子 ， ，0xdy21xy， 。可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯xy12一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。根据上述可

14、知，函数 为方程的积分因子的充要条件是 ，)(yx xNyM)()(即 。)(NMyxN对于方程 ，如果存在只与 x 有关的积分因子0y)d(x)(dx，则 ，这时方程 变成)(x0y )(NyMN，即 ，由此可知，方程)(xNyMdxdxyd有只与 x 有关的积分因子的充要条件是0)，这里 仅为 x 的函数。假如条件 成立，则根)(xNy)( )(xNyM据方程 ，可知求得方程 的一个积分因dxyMd 0y)d()(dxy子是 。同样， 有只与 y 有关的积分因子的充dxe)( 0)(Nxy要条件是 ，这里的 仅为 y 的函数。从而求得方程)(MNy)(常微分方程的初等解法9的一个积分因子

15、。0y)d(x)(NdyxMdye)(例 6 求解方程 解： ， ， ， ，方程不是恰当的yxN1yMxN因为 只与 y 有关故方程有只与 y 有关的积分因子xyM22ln2)2( 1yedy以 乘方程两边，得到 21y 012yxdy或者写成 02ydx因而，通解为 (c 为任意常数)cyxln例 7 求方程 的通解。0)(223dx解： 经判断 ，所以该方程不是恰当方程。xyNyM,分组得 0)(223 dxydx显然前两项具有积分因子 ，相应的全微分为21，)(yxyx要使得 )(1)(1222 xyx常微分方程的初等解法10成立。只需取 ， 即可，这样就找到了一个221)(yx21)(x积分因子 。)(22x原方程两边同乘 ，可得)(122yx，0lndd所以