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1、43 奈奎斯特稳定判据,第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。,一、
2、幅角定理(Kauthy 幅角定理) 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数.,通常可写成如下形式 式中 是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得 比较式（4107）和式（4106）可知，,辅助函数 的零点 即闭环传递函数的极点，即系统特征方程 的根。因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。,假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平
3、面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则,（一）S平面与 平面的映射关系,如图437所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。,如图438所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。,（二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的
4、连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线s，并使s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F。当解析点s按顺时针方向沿s 变化一周时，则在 平面上， F 曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z （4108） 式中，若N0，则F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N0，则F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则F不包围F(s)平面坐标原点。 在图438中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极
5、点只有P2 ，即P=1，由式（4108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。,前面已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当从 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来 Z=P-N （4-109） 封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。设有辅助函数
6、为 （4-110） 其零、极点在S平面上的分布如图 439 所示，在 S平面上作一封闭曲线s , s不通过上述零、极点，在封闭曲线s 上任取一点 , 其对应的辅助函数 的幅角应为 (4-111),当解析点s1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2pi弧度（一周）。这样，对图439（a），Z=1，P=0， ，即N=1， 绕 平面原点顺时针旋转一周；对图439（b），Z=0，P=1， ，即N=1， 绕 平面原点逆时针
7、旋转一周；对图439（c），Z=1，P=1， ，即N=0， 不包围 平面原点。将上述分析推广到一般情况则有 （4-112）由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z （4-113）,图 4-39,图 4-39,图 4-39,二、基于辅助函数 的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图440所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由 到 ）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于
8、S平面右半部的极点数和零点数。,图4-40 Nyquist轨迹,前面已经指出，辅助函数 的极点等于系统的开环极点， 的零点等于系统的闭环极点。因此，如果奈氏轨迹中包围 的零点数Z=0，系统是稳定的，此时由 映射到 平面上的封闭曲线F 逆时针绕坐标原点的周数应为 N=P （4-114）由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下：,s,若辅助函数 的解析点s沿奈氏轨迹 s 按顺时针连续环绕一周，它在 平面上的映射F 按逆时针方向环绕其原点 P周，则系统是稳定的，否则是不稳定的。,若开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳定的充分条件是不包围 平面坐标原点，即 N=0。,三、
9、基于开环传递函数 的奈氏判据 用辅助函数 来分析系统的稳定性仍然不大方便， 实际上， 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即 （4-115） 上式意味着将 平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面即为 GH平面（如图4-41）。 平面的坐标原点是GH 平面的 点。因此， F 绕 平面原点的周数等效于 绕GH平面 点的周数。,(-1, j0),0,0,GH,F,1,图4-41,由分析，得到基于开环传递函数 的奈氏判据如下： 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封闭曲线 逆时针包围 点P周，其中P为开环传递函数 在S平面右半部的极点数。 当 在S平面右半部没有极点时，即P=0
10、，闭环系统稳定的充分必要条件是 在GH平面上不包围 点。,四、基于开环频率特性 的奈氏判据（一） 与 之间的关系 前面曾经指出，频率特性是 特定情况下的传递函数。下面分两种情况来研究 与 之间的关系。 1、当 在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图442所示，（1） ，s沿负虚轴变化；（2） ，s沿正虚轴变化；（3） ，s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化，其中 ，对应 由 顺时针绕。,（1）当s在S平面负虚轴上变化时， ，,（4-117）,在GH平面上的映射如图443中曲线（1）。,图4-43 s 在GH平面上的映射,（2）当s在S平面正虚轴上变化时，,如图4-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。,当s 过平面原点时， ，它在GH平面上的映射为 （4-118）即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环增益）。 （3）当s在s 的第三部分上的变化时， ， 当n=m时，,
