《4-3自动控制原理 奈氏图 华中科技大学》由会员分享,可在线阅读,更多相关《4-3自动控制原理 奈氏图 华中科技大学(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、43 奈奎斯特稳定判据,第三章已经介绍,闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统,解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统,求解特征根通常都很困难,前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。 奈奎斯特(Nyquist)稳定判据(简称奈氏判据)是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法,它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得,因此,应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。,一、
2、幅角定理(Kauthy 幅角定理) 幅角定理又称映射定理,它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的,因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数 称之为辅助函数,其中 是系统的开环传递函数.,通常可写成如下形式 式中 是系统的开环极点,将式(4-106)代入式(4-105)得 比较式(4107)和式(4106)可知,,辅助函数 的零点 即闭环传递函数的极点,即系统特征方程 的根。因此,如果辅助函数 的零点都具有负的实部,即都位于S平面左半部,系统就是稳定的,否则系统便不稳定。,假设复变函数 为单值,且除了S平面上有限的奇点外,处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平
3、面上除奇点外处处解析, 那么,对于S平面上的每一个解析点,在 平面上必有一点(称为映射点)与之对应。 例如,当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外,在S平面上任取一点,如 则,(一)S平面与 平面的映射关系,如图437所示,在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。,如图438所示,如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 ( 不经过 的奇点)按顺时针方向连续变化一周,那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线 ,但其变化方向可以是顺时针的,也可以是逆时针的,这要依据辅助函数的性质而定。,(二)幅角定理(映射定理) 设 在S平面上,除有限个奇点外,为单值的
4、连续正则函数,若在S平面上任选一封闭曲线s,并使s不通过 的奇点,则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F。当解析点s按顺时针方向沿s 变化一周时,则在 平面上, F 曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z (4108) 式中,若N0,则F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周;若N0,则F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周;且若 N=0,则F不包围F(s)平面坐标原点。 在图438中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个,即Z=2,包围的极
5、点只有P2 ,即P=1,由式(4108)得 N=P-Z=1-2=-1 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理,我们可以确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。,前面已经指出, 的极点数等于开环传递函数 的极点数,因此当从 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后,则在 S 平面上封闭曲线s 包含的零点数Z(即系统的闭环极点数)便可简单地由下式计算出来 Z=P-N (4-109) 封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的,因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍,这里仅从几何图形上简单说明。设有辅助函数
6、为 (4-110) 其零、极点在S平面上的分布如图 439 所示,在 S平面上作一封闭曲线s , s不通过上述零、极点,在封闭曲线s 上任取一点 , 其对应的辅助函数 的幅角应为 (4-111),当解析点s1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点,从图中可以发现,所有位于封闭曲线s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0,而位于封闭曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2pi弧度(一周)。这样,对图439(a),Z=1,P=0, ,即N=1, 绕 平面原点顺时针旋转一周;对图439(b),Z=0,P=1, ,即N=1, 绕 平面原点逆时针
7、旋转一周;对图439(c),Z=1,P=1, ,即N=0, 不包围 平面原点。将上述分析推广到一般情况则有 (4-112)由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z (4-113),图 4-39,图 4-39,图 4-39,二、基于辅助函数 的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性,只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此,在S平面上作一条完整的封闭曲线s,使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图440所示,该曲线包括S平面的整个虚轴(由 到 )及右半平面上以原点为圆心,半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然,由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z,就是F(s)位于
8、S平面右半部的极点数和零点数。,图4-40 Nyquist轨迹,前面已经指出,辅助函数 的极点等于系统的开环极点, 的零点等于系统的闭环极点。因此,如果奈氏轨迹中包围 的零点数Z=0,系统是稳定的,此时由 映射到 平面上的封闭曲线F 逆时针绕坐标原点的周数应为 N=P (4-114)由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下:,s,若辅助函数 的解析点s沿奈氏轨迹 s 按顺时针连续环绕一周,它在 平面上的映射F 按逆时针方向环绕其原点 P周,则系统是稳定的,否则是不稳定的。,若开环系统是稳定的,即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳定的充分条件是不包围 平面坐标原点,即 N=0。,三、
9、基于开环传递函数 的奈氏判据 用辅助函数 来分析系统的稳定性仍然不大方便, 实际上, 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单,即 (4-115) 上式意味着将 平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面即为 GH平面(如图4-41)。 平面的坐标原点是GH 平面的 点。因此, F 绕 平面原点的周数等效于 绕GH平面 点的周数。,(-1, j0),0,0,GH,F,1,图4-41,由分析,得到基于开环传递函数 的奈氏判据如下: 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封闭曲线 逆时针包围 点P周,其中P为开环传递函数 在S平面右半部的极点数。 当 在S平面右半部没有极点时,即P=0
10、,闭环系统稳定的充分必要条件是 在GH平面上不包围 点。,四、基于开环频率特性 的奈氏判据(一) 与 之间的关系 前面曾经指出,频率特性是 特定情况下的传递函数。下面分两种情况来研究 与 之间的关系。 1、当 在S平面虚轴上(包括原点)无极点时,奈氏轨迹可分成三个部分如图442所示,(1) ,s沿负虚轴变化;(2) ,s沿正虚轴变化;(3) ,s沿以原点为圆心,半径为无穷大的右半圆弧变化,其中 ,对应 由 顺时针绕。,(1)当s在S平面负虚轴上变化时, ,,(4-117),在GH平面上的映射如图443中曲线(1)。,图4-43 s 在GH平面上的映射,(2)当s在S平面正虚轴上变化时,,如图4-43中的曲线(2),这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称,它们在GH平面上的映射曲线(1)、(2)两部分也对称于实轴。,当s 过平面原点时, ,它在GH平面上的映射为 (4-118)即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K(K为系统开环增益)。 (3)当s在s 的第三部分上的变化时, , 当n=m时,,