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1、消元 教学设计教学设计思路本节分 2 课时完成，在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考核归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。教学目标知识与技能通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。过程与方法通过大量练习来学习和巩固这两种解二元一次方程组的方法。情感态度
2、价值观体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。由此感受“划归”思想的广泛应用。教学重点难点重点是用加减法和代入法解二元一次方程组；难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法，加减法）解二元一次方程组。教学方法引导发现法，谈话讨论法课时安排2 课时。教具学具准备电脑或投影仪。教学设计过程第 1 课时（一）知识点讲解本节的标题“消元”点出了解二元一次方程组的基本思路。本节的主要内容为二元一次方程组的解法(代入法和加减法)。在 8.1 中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜 x 场，负 y 场)，可以列方程组xy240表示本章引言中问题
3、的数量关系。如果只设一个未知数(设胜 x 场)，这个问题也可以用一元一次方程_1来解。12x(22x)=40。观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?22通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。可以发现，二元一次方程组中第 1 个方程 xy=22 说明 y22x，将第 2 个方程2xy40 的 y 换为 22x，这个方程就化为一元一次方程 2x(22x)40。解这个方程，得 x18。把 x18 代入 y=22x，得 y4。从而得到这个方程组的解。二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，
4、将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。33通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。归纳上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法4 4这是对代入法的基本步骤的概括，代入法通过“把一个方程(必要时
5、先做适当变形)代入另一个方程”进行等量替换，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，从而实现消元。（二）例题例 1 用代入法解方程组分析：方程中 x 的系数是 1，用含 y 的式子表示 x，比较简便。解：由，得 xy3。 把代入，5得(把代入可以吗?试试看。) 3(y 十 3)一 8y=14。解这个方程，得 y一 1。把 y=l 代入，6得(把 y1 代入或可以吗?)x2。所以这个方程组的解是5由于方程是由方程得到的，所以它只能代入方程，而不能代入。为使学生认识到这一点，可以让其试试把代入会出现什么结果。6得到一个未知数的值后，把它代入方程都能得到另一个未知数的值。其中代入方程最简捷。为使学生认
6、识到这一点，可以让其试试各种代入法。例 2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为 2:5。7某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶? 7两种产品的销售数量比为 2:5，即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为 2:5。这里的数目以瓶为单位。分析：问题中包含两个条件：大瓶数：小瓶数2：5，大瓶所装消毒液小瓶所装消毒液=总生产量。解：设这些消毒液应分装 x 大瓶和 y 小瓶。根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的相等关系，得由，得把代入，得解这个方程，得 x=20 000。把 x=20 00
7、0 代入，得 y=50 000，这个方程组的解是答：这个工厂一天应生产 20 000 大瓶和 50 000 小瓶消毒液。（三）代入法解题步骤上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用。它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型。讨论解这个方程时，可以先消去 x 吗？试试看。（四）小结引导学生总结出用代入法解二元一次方程组的基本思想和解题步骤。（五）板书设计消元（一）代入消元法的概念例题解题步骤第 2 课时（一）知识点讲解我们知道，可以用代入消元法解方程组观察这个方程组的两个方程中，y 的系数有什
8、么关系?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?这两个方程中未知数 y 的系数相同，可消去未知数 y，得 x18。把 x18 代入，得 y=4。思考联系上面的解法，想一想应怎样解方程组归纳两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。这是对加减法的基本步骤的概括，加减法通过两个方程相加或相减实现消元。两方程相加减前应先使要消去的未知数的系数相等或相反，为此需要根据是等式的性质(等式两边乘除相等的量，结果仍相等)先进行必要的方程变形。（二）例题例 3 用加减法解方程组分析：这两个方程中没有
9、同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元。试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。解：3，得9x12y=48 2,得10x12y=66 得19x=114x=6把 x=6 代入，得364y=164y=2y=1所以，这个方程组的解是例 3 中两方程中同一未知数的系数不相等也不相反，所以不能通过直接加减来消元。为消元需要在方程两边乘适当的数，使某个未知数在两方程中的系数相等或相反。思考本题如果用加减法消去 x 应如何解?解得的结果与上面一样吗?如果要先消 x，可以 5 3，解方程组时先消哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因先消哪个未知数而产生变化。一般地说，
10、先消哪个未知数简便就先消它。例3 中，消 x，y 的运算程度基本相同，不存在先消哪个未知数更简便的情况。例 4 2 台大收割机和 5 台小收割机工作 2 小时收割小麦 3。6 公顷，3 台大收割机和2 台小收割机工作 5 小时收割小麦 8 公顷，1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦多少公顷?分析：如果 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷，那么 2台大收割机和 5 台小收割机 l 小时收割小麦_2公顷，3 台大收割机和 2 台小收割机1 小时收割小麦_3公顷， 由此进一步考虑两种情况下的工作量。解：设 1 台大收割机和 1 台小收割机 l 小时
11、各收割小麦 x 公顷和 y 公顷。根据两种工作方式中的相等关系，得方程组去括号，得，得11x=4.4。解这个方程，得x0.4。把 x=0.4 代入，得y=0.2。这个方程组的解是答：1 台大收割机和 l 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷。（三）加减法的解题步骤上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：这个框图以用加减法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了加减法的解题步骤，以及各步骤的作用。它可以作为加减法解二元一次方程组的一般步骤的典型。（四）代入消元与加减消元加减法和代入法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同。应根据方程组得具体情况选择更适合它的解法。你会怎样解下面的方程组？选择你认为最简单的方法解习题 8。1 中第 4 题（“鸡兔同笼” ）问题。（五）小结引导学生总结出加减消元法的解题思想与步骤，总结出在什么情况下用代入消元还是加减消元法。（六）板书设计消元（二）加减消元的概念例题加减消元的步骤代入消元与加减消元
