函数中的“二域、四性”

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1、第2期 王红权：函数中的“二域、四性” 23 函数中的“二域、四性 王红权 (杭州市普通教育研究空浙江杭州310003) 1考点回顾 本文中函数的“二域”是指函数的定义域和值域；“四 性”是指奇偶性、单调性、周期性、对称性函数中的“二域、 四性”是历年高考函数部分命题的热点之一，内容涉及全 卷，素有“得二域、四性得函数”之说单独以此立意的试 题往往小巧灵活、新颖别致，解答好这类问题需要考生对数 学有透彻的理解，熟练掌握一定的技巧近几年在全国各省 市的高考试卷中普遍出现，本文给出该类试题的一些解法， 旨在抛砖引玉 2易错点拨 (1)若 g( )的定义域为A，则 )的定义域就是函 数g( )( E

2、A)的值域 反例设函数f( )= ，函数g( )= ，则复合函数 g( )： 。 理由显然函数fEg( )= 的定义域为R，而函数 g(x)= 的值域为0，+ )一般地，设函数g( )的值域 为B，则B A (2)若函数_厂( )-9C 一 一4的定 义域与值域都是M，则M=4，+ ) 答案错误 理由对于函数Y= ，其定义域 和值域永远是相等的，从图1不难看 出下列集合均满足条件：M：4， +)或(4，+)或一1t_J(4，+) 或一1t34，+)或M=一5， +) J 图1 性质有利于熟悉函数的“两域、四性”的学习 例1 函数Y：sin(COSX)，y=sin(sinx)，Y=COS(si似

3、)， Y=COS(COSX)的“两域、四性”分别是什么? 分析 表1 4个函数的“两域、四性” 函数 Y=sin(cosx)Y=sin(sinx)ly=cos(sitar)Y=c0s(co ) 32一组姐妹题的探析 例2(1)已知，( )= 3 23 +4，若( )的定义域 和值域都是a，b，求a+b的值； (3)若函数f( )满足f( +a)=( a)，则函数Y= X)的图像关于直线 =a对称 答案错误 理由函数_厂( )满足，( +a)=，( a)表明函数Y= -厂( )是周期函数，且周期为2a；若函数 )满足 a+ )= (a )才表明直线 =a是其对称轴 (4)若函数 )与g( )都是

4、R上的单调递增函数，则 )g( )是R上的单调递增函数 答案错误 反例设 )= ，g( )=一 ，贝4f( )g( )=一 在R上不单调(还可以考虑函数 )+g( ) )一g( )， ， ，、 的单调性) g 3典例剖析 31研究新函数从“两域、四性”开始 研究任何一个未知函数，一般的方法就是结合图像从 研究函数的“两域、四性”开始三角函数的“两域、四性”都 比较简单，但复合后则变得有趣，理清下面4个函数的这些 (2)已知不等式口 一3x+46的解集为0，b， 3 2： 二二 成立，解得： ：c舍去 或 享c舍 【 _34_6 ：4 【6_ 3 ： ：二： 成立，解得 ：，与假设 2矛盾，故

5、24 中学教研(数学) 2014且 当。2时，值域为1， ，】=a 6)，从而辜6：一36+4：6成立，解得 ：，故。+6=5 综上可得，a+b=5 注这样做体现了解决这类问题的通性通法，但未触 及问题的本质，解答变得冗长，也容易使学生出错 我们已经知道函数，( )= 的定义域和值域永远是相 等的，从而可以把函数-厂( )= 理解成“参照物”，如图2所 示观察图形，只有区间1，4满足条件，问题得到轻松解 决因此，解决这类定义域和值域相等问题的核心是利用函 数厂( )= 的特征，通过函数图像获得解题突破利用与第 (1)小题类似的方法可以解决姐妹题(2)，(3) 第(2)小题是一个与第(1)小题完

6、全不同的问题，解答 如下： 。0，函数g( )= 3 23 +46O同时成立由于这2 个函数的图像开口、大小完全一样，对称轴相同，因此只有 如图3所示的情形是满足条件的，此时a+b=4 解法3 (图像法)问题转化为 函数s( )= 3 一3 +4夹在直线 )-a与直线)一b之间的部分函数 图像所对应的 的取值范围为a， 6如图4，因为 3 23 +4= ( 一2) +10，所以0n1，2b4又当 =4时， 一3x+4=4，即6=4，此时。=0，故0+6=4 注这里的解法1和解法2实际上是一样的图像恰 好解释了代数解法的几何背景，本质地揭示了问题的核心 33一个解题案例 通过前面的分析，我们得到

7、该类问题的图像解法和代 数解法，下面通过例3的分析，再次体会该类问题解题的关 键 侈4 3 设_厂( )= +(2a+1) +a +3a(aR) (1)若函数-厂( )在0，2上的最大值为0，求a的值； (2)若函数f( )在闭区问 ，卢上单调，且Y I Y= I厂( )， ， = ， ，求。的取值范围 (2013年浙江省杭州市高二数学第一次质量检测卷试题) 分析 (1)当一 1，即。一寻时，( )： l厂(2)=02+7a+6=0，故a=一6(舍去)或。=一1；当 一 1，即。0 ，解得 【g(一 )0 7 -50 一 00，b0 ( ) A若2“+2a=2 十36，则ab B若2“+2a=

8、2“+36，贝U ab D若2“一2a=2。一3b，贝4 o2 +2b=I厂(b)， 故0b (2)因为 c。sy=sinx=2sin手c。s手，所以手c = sin手c。s寺又因为当o c。s手，根据单调性得 ，即 -COSX_y (3)设函数( )= +x，当x0时，h(x)单调递增而 + =3 ：+l+2x +l4 +l+2x +l=(2 +1)。+2x +l， 于是 2 ，X n +1 1，因此 詈( 2)一 ”一 1 2 l I J 又 2+ 2( 2 1+ 1)，令y = 2+ 则 因 n y ()一 ：()一 ， 因此 ：+ f了1) ， 故 ( )一 ()一 注(1)这3道题都

9、是难题，其实考查的本质是一样 的，就是利用函数的单调性比较大小；(2)复习的本质通过 知识整体、例题剖析、体验练习达到理解数学，而理解数学 的核心是看清问题的本质，融会贯通，百题一解 4精题集萃 1若函数，( )( R)是奇函数，函数g( )( R)是 偶函数，则 ( ) A函数 g( )是奇函数 B函数g厂( )是奇函数 c函数 )g( )是奇函数 D函数 ) g( )是奇函数 2已知 )在实数集上是减函数，若a+bO，则下列 正确的是 ( ) A，(。)+，(b)一L )+ b) B a)+ b) 一。)+_厂(一b) c，(0)+ b) (一a)+，(6) D，(a)+ b)一L 。)+

10、 b) 3设函数f( )=似 + +c(口 1)，则 ( ) A口0，4a+b=0 Ba0，2a+6=0 Da0，2a+b=0 5已知t为常数，函数Y=l 一2xtl在区间0，3上 的最大值为2，则t=一 (2008年浙江省数学高考理科试题) 6设数列a 满足 +，=n：一2(n N )若存在常数 A，对于任意nN ，恒有l a lA，则。 的取值范围是 - _ 7如图5，已知_厂( )是以2为周期 的偶函数，且当 (0，1)时，f( )= +1，求-厂( )在(n，n+1)(nZ)上的 解析式 参考答案 2 1 一1 O 1 2 j 1C 2C 3B 4A 园 5t=1 6一1，1 7解 当 (0，1)时 ( )= +1因为f( )是偶函 数，所以当 (一1，0)时，-厂( )=-厂(一 )=一 +1又 f( )的周期为2，由图6可知：当n为偶数时，_厂( )在(n， n+1)(nZ)上的图像是经过点( ，1)和(n+】，2)的线 段，因此，( )= +1一n， ( ，n+1)；当n为奇数时， _厂( )在(n，n+1)( Z)上的图像是经过点(n，2)和( + 1，1)的线段，因此( )=2+n ， (n，n+1)