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1、第2期 王红权:函数中的“二域、四性” 23 函数中的“二域、四性 王红权 (杭州市普通教育研究空浙江杭州310003) 1考点回顾 本文中函数的“二域”是指函数的定义域和值域;“四 性”是指奇偶性、单调性、周期性、对称性函数中的“二域、 四性”是历年高考函数部分命题的热点之一,内容涉及全 卷,素有“得二域、四性得函数”之说单独以此立意的试 题往往小巧灵活、新颖别致,解答好这类问题需要考生对数 学有透彻的理解,熟练掌握一定的技巧近几年在全国各省 市的高考试卷中普遍出现,本文给出该类试题的一些解法, 旨在抛砖引玉 2易错点拨 (1)若 g( )的定义域为A,则 )的定义域就是函 数g( )( E
2、A)的值域 反例设函数f( )= ,函数g( )= ,则复合函数 g( ): 。 理由显然函数fEg( )= 的定义域为R,而函数 g(x)= 的值域为0,+ )一般地,设函数g( )的值域 为B,则B A (2)若函数_厂( )-9C 一 一4的定 义域与值域都是M,则M=4,+ ) 答案错误 理由对于函数Y= ,其定义域 和值域永远是相等的,从图1不难看 出下列集合均满足条件:M:4, +)或(4,+)或一1t_J(4,+) 或一1t34,+)或M=一5, +) J 图1 性质有利于熟悉函数的“两域、四性”的学习 例1 函数Y:sin(COSX),y=sin(sinx),Y=COS(si似
3、), Y=COS(COSX)的“两域、四性”分别是什么? 分析 表1 4个函数的“两域、四性” 函数 Y=sin(cosx)Y=sin(sinx)ly=cos(sitar)Y=c0s(co ) 32一组姐妹题的探析 例2(1)已知,( )= 3 23 +4,若( )的定义域 和值域都是a,b,求a+b的值; (3)若函数f( )满足f( +a)=( a),则函数Y= X)的图像关于直线 =a对称 答案错误 理由函数_厂( )满足,( +a)=,( a)表明函数Y= -厂( )是周期函数,且周期为2a;若函数 )满足 a+ )= (a )才表明直线 =a是其对称轴 (4)若函数 )与g( )都是
4、R上的单调递增函数,则 )g( )是R上的单调递增函数 答案错误 反例设 )= ,g( )=一 ,贝4f( )g( )=一 在R上不单调(还可以考虑函数 )+g( ) )一g( ), , ,、 的单调性) g 3典例剖析 31研究新函数从“两域、四性”开始 研究任何一个未知函数,一般的方法就是结合图像从 研究函数的“两域、四性”开始三角函数的“两域、四性”都 比较简单,但复合后则变得有趣,理清下面4个函数的这些 (2)已知不等式口 一3x+46的解集为0,b, 3 2: 二二 成立,解得: :c舍去 或 享c舍 【 _34_6 :4 【6_ 3 : :二: 成立,解得 :,与假设 2矛盾,故
5、24 中学教研(数学) 2014且 当。2时,值域为1, ,】=a 6),从而辜6:一36+4:6成立,解得 :,故。+6=5 综上可得,a+b=5 注这样做体现了解决这类问题的通性通法,但未触 及问题的本质,解答变得冗长,也容易使学生出错 我们已经知道函数,( )= 的定义域和值域永远是相 等的,从而可以把函数-厂( )= 理解成“参照物”,如图2所 示观察图形,只有区间1,4满足条件,问题得到轻松解 决因此,解决这类定义域和值域相等问题的核心是利用函 数厂( )= 的特征,通过函数图像获得解题突破利用与第 (1)小题类似的方法可以解决姐妹题(2),(3) 第(2)小题是一个与第(1)小题完
6、全不同的问题,解答 如下: 。0,函数g( )= 3 23 +46O同时成立由于这2 个函数的图像开口、大小完全一样,对称轴相同,因此只有 如图3所示的情形是满足条件的,此时a+b=4 解法3 (图像法)问题转化为 函数s( )= 3 一3 +4夹在直线 )-a与直线)一b之间的部分函数 图像所对应的 的取值范围为a, 6如图4,因为 3 23 +4= ( 一2) +10,所以0n1,2b4又当 =4时, 一3x+4=4,即6=4,此时。=0,故0+6=4 注这里的解法1和解法2实际上是一样的图像恰 好解释了代数解法的几何背景,本质地揭示了问题的核心 33一个解题案例 通过前面的分析,我们得到
7、该类问题的图像解法和代 数解法,下面通过例3的分析,再次体会该类问题解题的关 键 侈4 3 设_厂( )= +(2a+1) +a +3a(aR) (1)若函数-厂( )在0,2上的最大值为0,求a的值; (2)若函数f( )在闭区问 ,卢上单调,且Y I Y= I厂( ), , = , ,求。的取值范围 (2013年浙江省杭州市高二数学第一次质量检测卷试题) 分析 (1)当一 1,即。一寻时,( ): l厂(2)=02+7a+6=0,故a=一6(舍去)或。=一1;当 一 1,即。0 ,解得 【g(一 )0 7 -50 一 00,b0 ( ) A若2“+2a=2 十36,则ab B若2“+2a=
8、2“+36,贝U ab D若2“一2a=2。一3b,贝4 o2 +2b=I厂(b), 故0b (2)因为 c。sy=sinx=2sin手c。s手,所以手c = sin手c。s寺又因为当o c。s手,根据单调性得 ,即 -COSX_y (3)设函数( )= +x,当x0时,h(x)单调递增而 + =3 :+l+2x +l4 +l+2x +l=(2 +1)。+2x +l, 于是 2 ,X n +1 1,因此 詈( 2)一 ”一 1 2 l I J 又 2+ 2( 2 1+ 1),令y = 2+ 则 因 n y ()一 :()一 , 因此 :+ f了1) , 故 ( )一 ()一 注(1)这3道题都
9、是难题,其实考查的本质是一样 的,就是利用函数的单调性比较大小;(2)复习的本质通过 知识整体、例题剖析、体验练习达到理解数学,而理解数学 的核心是看清问题的本质,融会贯通,百题一解 4精题集萃 1若函数,( )( R)是奇函数,函数g( )( R)是 偶函数,则 ( ) A函数 g( )是奇函数 B函数g厂( )是奇函数 c函数 )g( )是奇函数 D函数 ) g( )是奇函数 2已知 )在实数集上是减函数,若a+bO,则下列 正确的是 ( ) A,(。)+,(b)一L )+ b) B a)+ b) 一。)+_厂(一b) c,(0)+ b) (一a)+,(6) D,(a)+ b)一L 。)+
10、 b) 3设函数f( )=似 + +c(口 1),则 ( ) A口0,4a+b=0 Ba0,2a+6=0 Da0,2a+b=0 5已知t为常数,函数Y=l 一2xtl在区间0,3上 的最大值为2,则t=一 (2008年浙江省数学高考理科试题) 6设数列a 满足 +,=n:一2(n N )若存在常数 A,对于任意nN ,恒有l a lA,则。 的取值范围是 - _ 7如图5,已知_厂( )是以2为周期 的偶函数,且当 (0,1)时,f( )= +1,求-厂( )在(n,n+1)(nZ)上的 解析式 参考答案 2 1 一1 O 1 2 j 1C 2C 3B 4A 园 5t=1 6一1,1 7解 当 (0,1)时 ( )= +1因为f( )是偶函 数,所以当 (一1,0)时,-厂( )=-厂(一 )=一 +1又 f( )的周期为2,由图6可知:当n为偶数时,_厂( )在(n, n+1)(nZ)上的图像是经过点( ,1)和(n+】,2)的线 段,因此,( )= +1一n, ( ,n+1);当n为奇数时, _厂( )在(n,n+1)( Z)上的图像是经过点(n,2)和( + 1,1)的线段,因此( )=2+n , (n,n+1)