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1、中学数学杂志2014年第1期 冕弱国 藏6琶 冕9 因为圆的面积为可口 ，所以椭圆的面积为ITo abw 5 椭圆参数的几何意义。圆能够读懂 我们知道椭圆 + Y=l(。0，b0)的参数方 程为f ?。-0。 ( 为参数)，其中参数 的几何意义可 Ly Osln(o 作如下解释 以坐标原点0为圆心分 别以a、b为半径作两个圆如 图5示，设点P为大圆上任意 一点，半径OP交小圆于Q，过 P、Q分别作平行于Y轴、 轴 的平行线，设其交点为M，PM 交 轴于点，设 NOP= ， 点M的坐标为(x，y)， V f 卜 ，1 i 图5 则- ，消去 可得 L osmp 十y，=1，所以M点在椭圆上 a
2、D 所以 NOP= 就是 点对应参数的几何意义 6 椭圆的性质，圆能够读懂 椭圆的许多优美的性质，都与圆有着密切的联系 如，已知椭圆C的方程为 + =1(060)， a D 点a(x。，Y。)是椭圆c上一点，则以A为切点的椭圆C V V 的切线方程为+ =1 令 = ，车=)，则椭圆c变为C，： r2+y,2：1， 0 切点 ( 。，y。)变为圆c，的切点A，( ， )，易知圆c， 以A，( ， )为切点的切线方程为 + ：1把 ， ： ， 车代入上式，即得椭圆C以A(XOYO)为切点 a 0 v 一 ny ，U- 的切线方程为 + =1 又如，已知椭圆 + Y=1(。0，60)，若面积 为s
3、的椭圆内接7,(n2，n E N )边形有无数，则S的 取值范围是(0， 1 n。6 i 此类椭圆问题可以还原到半径为a的圆中解决因 为内接于圆的n边形中正n边形的面积最大，其面积为 s正 边形=n 1。nsin 2nE=-2-1 na2sin 2_nE，所以，面积不 超过 na2si 2_E的圆内接 边形有无数个再还原到 椭圆中去，椭圆内接 边形的最大面积为 。 in2_E ： 。 ，则面积不超过 。bsi 2_E的椭 a n 7, 圆内接 边形有无数个，即S的取值范围是(0， 1n。bsin n 函数应用题的复习设计与教后反思 江苏省无锡市第一中学 214031 华志远 随着课程改革的不断
4、深人，培养学生的应用意识 和创新能力，越来越受到人们的关注，尤其是高考“指 挥棒”的正确导向，促使广大教师对数学应用题教学 的研究趋于常态以江苏高考为例，坚持每年出应用的 解答题，已成为其传统和特色，但要命制出一道优质的 应用题绝非易事，其中保证应用背景的公平、公正、合 理且富有时代气息，同时建模要求适当、难度适中是命 题者考虑的主要因素 2013年江苏高考的第18题是以登山中乘索道与 步行的关系为背景，第(1)问是利用正弦定理解三角 形的常见题型，教材上配置了很多这样的例习题，第 (2)问是苏教版高中教材必修5习题13中的第8题变 形而得，主要是把余弦定理与二次函数的最值结合起 来考查，第(
5、3)问是初中行程问题的变式，主要考查学 生的建模能力，该问对学生灵活应用所学知识分析和 解决问题提出了一定的能力要求题目取自于教材又 略高于教材，三个设问清新自然，新颖程度逐渐增强， 能力要求逐级提高，得到广大师生的认同 可见，应用题的复习必须加强课程规划和设计， 首先要找到良好的应用题素材，该题的命制方法值得 借鉴，即挖掘教材的内隐性素材，并加以嫁接、改造和 拓展；其次在策略上既要强调平时教学的渗透，又要 通过专题复习得以强化，同时教学要求要循序渐进， 逐步提高学生阅读理解和分析问题的能力，增强解题 的自信心 基于上述思考，笔者设计了这节函数应用题的复 49 1僦 鼢 琶冕冀 9 中学数学杂
6、志2014年第1期 习课，供同行研讨 1 教材函数应用题的梳理分析 函数是高中数学的重点内容，函数应用题自然在 教材上扮演着重要的角色，因此，函数应用题成为近几 年高考的常客就不难理解了以苏教版为例，必修1第3 章第4节专门设计了“函数的应用”，主要介绍了一些 经济学中的常见概念，如成本、收入和利润等，也涉及 到一些物理模型的应用；必修4第1章第3节设计了三 角函数的应用，主要涉及摩天轮旋转、港口水深的变 化、物理中的简谐运动等问题；必修5的第1章第3节 有解三角形的应用，主要涉及测量、追击和物理中矢量 的分解与合成等问题；必修5的第3章第4节主要涉及 利用基本不等式解决函数应用题；选修22第
7、1章第 4节是“导数在实际生活中的应用”可见，随着教材的 不断延伸，函数应用题始终围绕“设自变量、列解析式、 写定义域、求最值”的思路不变，只是求最值的要求不 同因此，函数应用题的起始复习课，应设计难易程度 不同的问题让学生探索，从而给不同层次的学生提供 学习机会，以提高教学的针对性和有效性 2 教学设计的过程和意图分析 21 创设问题情境，引动学生参与 问题】 如右图，某人驾 驶摩托车在某一高处作飞越 训练，人车行进高度Y(in)与 水平距离 (m)之间的关系 是：y：一 1 2+导 +了20测摩 l 托车飞越的最远距离为 m 学生求解：令y：0，即一 z+ +了20：0， 化简得 一16x
8、一80=0， =20， =一4( 去)， 故摩托车飞越的最远距离为20m 设计意图 上课伊始，为了能让学生的注意力较 快地集中到课的内容上来，设计一个与学生兴趣相符 的问题作为引入，能拉近师生的心理距离该问题的背 景是弹道曲线，数学含义是函数零点，学生只需用好题 中所给的模型即可获解，属于数学应用最基本的要求 本题与2012年江苏高考题第17题类似，由于难度适 中，因而能很好地调动学生参与的热情 问题2 同学们站在什么位置看黑板上方的国旗 最清楚? 设计意图 能让学生身临其境，亲自体验数学建 模的过程这里，看得最清楚的数学含义就是视角最 大，但由于这是个“原生态”的实际问题，因此要把它 转化为
9、一个数学问题，需要学生从定性到定量、猜测到 验证、设计到测量、计算到解释，几乎经历数学探究的 S0 全过程，从而提高学生的综合素养和探索能力 从课上的效果来看，学生反应积极热烈大家的观 点一致从站在正对国旗，到进一步认为站在大概第三 张座位的位置，作出了大胆的猜测和判断如何从数学 的眼光考查这个问题呢?学生从画图设计开始，把国 旗上沿、下沿及观察者抽象到一个截面中，并分别记作 A、B、C，测量它们离地的高度，这样就归结为AABC 中，过c作CD上AB，D为垂足，CD为多少时，_ACB最 大?为了简化书写，分别把AD、BD的长记为a、b，设 CD= ，这样便把这个实际问题转换为一个数学问题 了
10、在解决的过程中，有的学生用余弦定理或向量的 2_LL 夹角公式得出cosACB= =Yb Y_t O二 ，但在求 a + b + 最值时遇到了极大的麻烦；有的同学从正切两角差的 ， 一L、 公式得出tan_ACB= ，利用基本不等式或求 +06 导的方法，很快求得当 =n6时，ACB最大 提问1：能否从几何的观点对求出的答案作出合理 的解释? 学生根据CD =DADB得出CD与,ABC的外接 圆相切时视角最大，由于是从数和形两个不同的维度 得出相同的结论，因而学生反应热烈，掀起了第一次教 学高潮 提问2：大家在教材上见过这一几何图形吗? 或许是遗忘的原因，开始学生没有反应，于是引导 学生打开教
11、材，在必修5基本不等式应用的习题34第 l1题：有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点曰处离 地面2m若从离地高15m的C处观赏它，则离墙多远 时，视角0最大?只是教材上已把数据测量好了此时， 由于学生有一种“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫” 之感，因而欣喜之余，再次把教学推向了高潮 评注 源于教材又高于教材是高考命题的基本 策略，也是复习教学选题的重要原则通过这样的经 历，可以让学生真实地体验数学应用的价值，此外，通 过不同解题方法的选择、比较和评价，可以优化学生的 思维品质，提升学生的综合素养 22 归纳总结提炼，体悟建模本质 设计：通过上述两个问题的研究，你能否归纳总结 求解应用问题的主
12、要流程吗? 设计意图 让学生从具体问题出发加以归纳总 结，可以提高学生的抽象概括能力，促进学生的心智发 展从课上的情况来看，学生提炼观点的水平差异较 大，但大致都体悟到了数学建模、用模的本质一类学 生针对函数应用题的特点，概括为阅读理解、设元转 化、求解析式和定义域、求解并作答问题；另一类学生 中学数学杂志2014年第1期 冕 叛 臻 誊 稻 髡穸 提炼相对宽泛一些，总结为弄清实际问题、转换为数学 问题、进行数学解决、回归实际问题教师的作用主要 体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息，如 列表、画图、分类、设元、列式等，从而把一个实际问题 转化为数学问题去解决 23 独立解决问题，感悟方
13、法运用 问题3 某公司生产一种产品每年投入成本05 万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资 025万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为 500件，且当出售的这种产品的数量为t百件，销售所得 1 的收入约为5t一。(万元) Z (1)若该公司的年产量为 百件( 0)，试把该 公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量 的函数 (2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最 大? (3)要使公司不亏损，年产量应生产多少? 设计意图 成本、收入和利润的概念，在必修1教 材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍， 学生并不陌生，课上发现的错误主要是因为建模时忽 视了 5时，利润Y=
14、5512505025x，从 而没有找到分段函数的模型，说明学生的阅读理解的 能力较为欠缺应该说本题植根于教材，又有所发展， 体现了良好的教学导向 问题4 某银行准备新设一种定期存款业务，经 预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 ( 0)，贷款的利息为48，若存款利率小于贷款 利率，且银行吸收的存款能全部放贷出去，问存款利率 为多少时，银行可获得最大效益? 设计意图 利率的概念学生较为熟悉，但对银行 的基本盈利模式利息差，许多学生却不太清楚设 存款利率为 ，则存款量为 ，故银行获得的利润Y为 贷款的总利息减去存款的总利息，即Y=0048kx 一 ，利用求导法即可获解 24 彼此交流收获
15、，共享经验成长 设计1：通过本节课的学习你有哪些特别的收获? 设计意图 利用开放性的小结，可以使不同层次 的学生参与其中，有的同学对函数应用题的常见问题 作整理性的小结，理清了应用题教材的脉络；有的则谈 了数学建模的流程图对解题的引领作用；也有的同学 提出课后要加强数学阅读，关注社会热点和生活问题， 扩大自己的知识面等，多位同学的收获纵横交叉，互为 照应，构成了相对完整的总结 设计2：课后请你自编一道函数应用题，鼓励从社 会、生产、生活的实际出发，出一道原创题，也可以从教 材或课外资料的某个问题出发加以改编，但要提供原 题，注明出处，以考查改编的程度 设计意图 让学生尝试每人自编一道应用题，主
16、 要是培养学生提出问题的能力，感受创作的艰难历程， 从而更好地把握解决应用题的核心环节，起到解答者 与命题者“心理换位”的作用 评注 美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教 学艺术就是让学生自己提出问题”从这次自编应用题 的完成情况看，虽然多数题尚显稚嫩，甚至只是模仿课 上的例题，但学生宽泛的视野，还是让人感悟到教学相 长的哲理，这或许正是应用题教学的源头活水 3 应用题教学后的反思和感悟 建构主义教育理论认为，知识是主动建构的，而不 是被动接受的如果没有主体的主动建构，知识是不可 能由别人传递给主体并被主体所内化的因此，知识的 意义不能机械地灌输给学生，必须靠学生根据个人先 前知识经验主动建构传统的应用题教学都是先讲解 应用题的要求和步骤，再列举若
