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1、中学数学杂志2014年第1期 冕弱国 藏6琶 冕9 因为圆的面积为可口 ,所以椭圆的面积为ITo abw 5 椭圆参数的几何意义。圆能够读懂 我们知道椭圆 + Y=l(。0,b0)的参数方 程为f ?。-0。 ( 为参数),其中参数 的几何意义可 Ly Osln(o 作如下解释 以坐标原点0为圆心分 别以a、b为半径作两个圆如 图5示,设点P为大圆上任意 一点,半径OP交小圆于Q,过 P、Q分别作平行于Y轴、 轴 的平行线,设其交点为M,PM 交 轴于点,设 NOP= , 点M的坐标为(x,y), V f 卜 ,1 i 图5 则- ,消去 可得 L osmp 十y,=1,所以M点在椭圆上 a
2、D 所以 NOP= 就是 点对应参数的几何意义 6 椭圆的性质,圆能够读懂 椭圆的许多优美的性质,都与圆有着密切的联系 如,已知椭圆C的方程为 + =1(060), a D 点a(x。,Y。)是椭圆c上一点,则以A为切点的椭圆C V V 的切线方程为+ =1 令 = ,车=),则椭圆c变为C,: r2+y,2:1, 0 切点 ( 。,y。)变为圆c,的切点A,( , ),易知圆c, 以A,( , )为切点的切线方程为 + :1把 , : , 车代入上式,即得椭圆C以A(XOYO)为切点 a 0 v 一 ny ,U- 的切线方程为 + =1 又如,已知椭圆 + Y=1(。0,60),若面积 为s
3、的椭圆内接7,(n2,n E N )边形有无数,则S的 取值范围是(0, 1 n。6 i 此类椭圆问题可以还原到半径为a的圆中解决因 为内接于圆的n边形中正n边形的面积最大,其面积为 s正 边形=n 1。nsin 2nE=-2-1 na2sin 2_nE,所以,面积不 超过 na2si 2_E的圆内接 边形有无数个再还原到 椭圆中去,椭圆内接 边形的最大面积为 。 in2_E : 。 ,则面积不超过 。bsi 2_E的椭 a n 7, 圆内接 边形有无数个,即S的取值范围是(0, 1n。bsin n 函数应用题的复习设计与教后反思 江苏省无锡市第一中学 214031 华志远 随着课程改革的不断
4、深人,培养学生的应用意识 和创新能力,越来越受到人们的关注,尤其是高考“指 挥棒”的正确导向,促使广大教师对数学应用题教学 的研究趋于常态以江苏高考为例,坚持每年出应用的 解答题,已成为其传统和特色,但要命制出一道优质的 应用题绝非易事,其中保证应用背景的公平、公正、合 理且富有时代气息,同时建模要求适当、难度适中是命 题者考虑的主要因素 2013年江苏高考的第18题是以登山中乘索道与 步行的关系为背景,第(1)问是利用正弦定理解三角 形的常见题型,教材上配置了很多这样的例习题,第 (2)问是苏教版高中教材必修5习题13中的第8题变 形而得,主要是把余弦定理与二次函数的最值结合起 来考查,第(
5、3)问是初中行程问题的变式,主要考查学 生的建模能力,该问对学生灵活应用所学知识分析和 解决问题提出了一定的能力要求题目取自于教材又 略高于教材,三个设问清新自然,新颖程度逐渐增强, 能力要求逐级提高,得到广大师生的认同 可见,应用题的复习必须加强课程规划和设计, 首先要找到良好的应用题素材,该题的命制方法值得 借鉴,即挖掘教材的内隐性素材,并加以嫁接、改造和 拓展;其次在策略上既要强调平时教学的渗透,又要 通过专题复习得以强化,同时教学要求要循序渐进, 逐步提高学生阅读理解和分析问题的能力,增强解题 的自信心 基于上述思考,笔者设计了这节函数应用题的复 49 1僦 鼢 琶冕冀 9 中学数学杂
6、志2014年第1期 习课,供同行研讨 1 教材函数应用题的梳理分析 函数是高中数学的重点内容,函数应用题自然在 教材上扮演着重要的角色,因此,函数应用题成为近几 年高考的常客就不难理解了以苏教版为例,必修1第3 章第4节专门设计了“函数的应用”,主要介绍了一些 经济学中的常见概念,如成本、收入和利润等,也涉及 到一些物理模型的应用;必修4第1章第3节设计了三 角函数的应用,主要涉及摩天轮旋转、港口水深的变 化、物理中的简谐运动等问题;必修5的第1章第3节 有解三角形的应用,主要涉及测量、追击和物理中矢量 的分解与合成等问题;必修5的第3章第4节主要涉及 利用基本不等式解决函数应用题;选修22第
7、1章第 4节是“导数在实际生活中的应用”可见,随着教材的 不断延伸,函数应用题始终围绕“设自变量、列解析式、 写定义域、求最值”的思路不变,只是求最值的要求不 同因此,函数应用题的起始复习课,应设计难易程度 不同的问题让学生探索,从而给不同层次的学生提供 学习机会,以提高教学的针对性和有效性 2 教学设计的过程和意图分析 21 创设问题情境,引动学生参与 问题】 如右图,某人驾 驶摩托车在某一高处作飞越 训练,人车行进高度Y(in)与 水平距离 (m)之间的关系 是:y:一 1 2+导 +了20测摩 l 托车飞越的最远距离为 m 学生求解:令y:0,即一 z+ +了20:0, 化简得 一16x
8、一80=0, =20, =一4( 去), 故摩托车飞越的最远距离为20m 设计意图 上课伊始,为了能让学生的注意力较 快地集中到课的内容上来,设计一个与学生兴趣相符 的问题作为引入,能拉近师生的心理距离该问题的背 景是弹道曲线,数学含义是函数零点,学生只需用好题 中所给的模型即可获解,属于数学应用最基本的要求 本题与2012年江苏高考题第17题类似,由于难度适 中,因而能很好地调动学生参与的热情 问题2 同学们站在什么位置看黑板上方的国旗 最清楚? 设计意图 能让学生身临其境,亲自体验数学建 模的过程这里,看得最清楚的数学含义就是视角最 大,但由于这是个“原生态”的实际问题,因此要把它 转化为
9、一个数学问题,需要学生从定性到定量、猜测到 验证、设计到测量、计算到解释,几乎经历数学探究的 S0 全过程,从而提高学生的综合素养和探索能力 从课上的效果来看,学生反应积极热烈大家的观 点一致从站在正对国旗,到进一步认为站在大概第三 张座位的位置,作出了大胆的猜测和判断如何从数学 的眼光考查这个问题呢?学生从画图设计开始,把国 旗上沿、下沿及观察者抽象到一个截面中,并分别记作 A、B、C,测量它们离地的高度,这样就归结为AABC 中,过c作CD上AB,D为垂足,CD为多少时,_ACB最 大?为了简化书写,分别把AD、BD的长记为a、b,设 CD= ,这样便把这个实际问题转换为一个数学问题 了
10、在解决的过程中,有的学生用余弦定理或向量的 2_LL 夹角公式得出cosACB= =Yb Y_t O二 ,但在求 a + b + 最值时遇到了极大的麻烦;有的同学从正切两角差的 , 一L、 公式得出tan_ACB= ,利用基本不等式或求 +06 导的方法,很快求得当 =n6时,ACB最大 提问1:能否从几何的观点对求出的答案作出合理 的解释? 学生根据CD =DADB得出CD与,ABC的外接 圆相切时视角最大,由于是从数和形两个不同的维度 得出相同的结论,因而学生反应热烈,掀起了第一次教 学高潮 提问2:大家在教材上见过这一几何图形吗? 或许是遗忘的原因,开始学生没有反应,于是引导 学生打开教
11、材,在必修5基本不等式应用的习题34第 l1题:有一壁画,最高点A处离地面4m,最低点曰处离 地面2m若从离地高15m的C处观赏它,则离墙多远 时,视角0最大?只是教材上已把数据测量好了此时, 由于学生有一种“踏破铁鞋无觅处,得来全不费功夫” 之感,因而欣喜之余,再次把教学推向了高潮 评注 源于教材又高于教材是高考命题的基本 策略,也是复习教学选题的重要原则通过这样的经 历,可以让学生真实地体验数学应用的价值,此外,通 过不同解题方法的选择、比较和评价,可以优化学生的 思维品质,提升学生的综合素养 22 归纳总结提炼,体悟建模本质 设计:通过上述两个问题的研究,你能否归纳总结 求解应用问题的主
12、要流程吗? 设计意图 让学生从具体问题出发加以归纳总 结,可以提高学生的抽象概括能力,促进学生的心智发 展从课上的情况来看,学生提炼观点的水平差异较 大,但大致都体悟到了数学建模、用模的本质一类学 生针对函数应用题的特点,概括为阅读理解、设元转 化、求解析式和定义域、求解并作答问题;另一类学生 中学数学杂志2014年第1期 冕 叛 臻 誊 稻 髡穸 提炼相对宽泛一些,总结为弄清实际问题、转换为数学 问题、进行数学解决、回归实际问题教师的作用主要 体现在引领学生如何获取、浓缩、分检和重组信息,如 列表、画图、分类、设元、列式等,从而把一个实际问题 转化为数学问题去解决 23 独立解决问题,感悟方
13、法运用 问题3 某公司生产一种产品每年投入成本05 万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资 025万元,经预测知,市场对这种产品的年需求量为 500件,且当出售的这种产品的数量为t百件,销售所得 1 的收入约为5t一。(万元) Z (1)若该公司的年产量为 百件( 0),试把该 公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量 的函数 (2)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最 大? (3)要使公司不亏损,年产量应生产多少? 设计意图 成本、收入和利润的概念,在必修1教 材上26节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍, 学生并不陌生,课上发现的错误主要是因为建模时忽 视了 5时,利润Y=
14、5512505025x,从 而没有找到分段函数的模型,说明学生的阅读理解的 能力较为欠缺应该说本题植根于教材,又有所发展, 体现了良好的教学导向 问题4 某银行准备新设一种定期存款业务,经 预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为 ( 0),贷款的利息为48,若存款利率小于贷款 利率,且银行吸收的存款能全部放贷出去,问存款利率 为多少时,银行可获得最大效益? 设计意图 利率的概念学生较为熟悉,但对银行 的基本盈利模式利息差,许多学生却不太清楚设 存款利率为 ,则存款量为 ,故银行获得的利润Y为 贷款的总利息减去存款的总利息,即Y=0048kx 一 ,利用求导法即可获解 24 彼此交流收获
15、,共享经验成长 设计1:通过本节课的学习你有哪些特别的收获? 设计意图 利用开放性的小结,可以使不同层次 的学生参与其中,有的同学对函数应用题的常见问题 作整理性的小结,理清了应用题教材的脉络;有的则谈 了数学建模的流程图对解题的引领作用;也有的同学 提出课后要加强数学阅读,关注社会热点和生活问题, 扩大自己的知识面等,多位同学的收获纵横交叉,互为 照应,构成了相对完整的总结 设计2:课后请你自编一道函数应用题,鼓励从社 会、生产、生活的实际出发,出一道原创题,也可以从教 材或课外资料的某个问题出发加以改编,但要提供原 题,注明出处,以考查改编的程度 设计意图 让学生尝试每人自编一道应用题,主
16、 要是培养学生提出问题的能力,感受创作的艰难历程, 从而更好地把握解决应用题的核心环节,起到解答者 与命题者“心理换位”的作用 评注 美国教育家布鲁克曾经说过“最精湛的教 学艺术就是让学生自己提出问题”从这次自编应用题 的完成情况看,虽然多数题尚显稚嫩,甚至只是模仿课 上的例题,但学生宽泛的视野,还是让人感悟到教学相 长的哲理,这或许正是应用题教学的源头活水 3 应用题教学后的反思和感悟 建构主义教育理论认为,知识是主动建构的,而不 是被动接受的如果没有主体的主动建构,知识是不可 能由别人传递给主体并被主体所内化的因此,知识的 意义不能机械地灌输给学生,必须靠学生根据个人先 前知识经验主动建构传统的应用题教学都是先讲解 应用题的要求和步骤,再列举若