2014高考数学核心考点09_导数的几何意义以及应用

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1、考点 9 导数的几何意义以及应用【考点分类】热点一 导数的几何意义1.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线 在点 处切线的斜率421yxa-2a，为 8， （ ）来源:学科网 ZXXK=a（A） （B） （C） （D）96-9-62.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线 在点 处的切线平行于 轴,lnykx1,kx则 _.k3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若曲线 在点（1，2）处的切线经过坐()yxR标原点，则 = .4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设函数 在 内可导，且 则()fx0,

2、)(),xxfe=_.1f5.（2012 年高考（课标文） ）曲线 在点(1,1) 处的切线方程为_(3ln1)yx【答案】 430xy【方法总结】求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线 yf(x)在点 P(x0，y 0)处的切线方程，其方法如下：(1)求出函数 yf(x)在点 xx 0 处的导数，即曲线 yf(x)在点 P(x0，f (x0)处切线的斜率(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 yy 0f (x0)(xx 0)如果曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x 0)处的切线平行于 y 轴，由切线定义可知，切线方程为 xx 0.二是求曲线 yf (x)过点 P(x0，y

3、0)的切线方程，其方法如下：(1)设切点 A(xA，f(x A)，求切线的斜率 kf(x A)，写出切线方程(2)把 P(x0，y 0)的坐标代入切线方程，建立关于 xA的方程，解得 xA的值，进而写出切线方程热点二 导数的几何意义的应用7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数 )(ln)(Raxxf（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2a)(xfy)1(,fA（2）求函数 的极值.)(xf8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知函数 . ()e,xfR() 若直线 ykx1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; () 设

4、x0, 讨论曲线 yf (x) 与曲线 公共点的个数. 2(0)ymx() 设 ab, 比较 与 的大小, 并说明理由. ()2ab()fa，所以2min()()4egx214em（ ） 时 ， 两 曲 线 有 个 交 点 ；2=（ ） 时 ， 两 曲 线 有 个 交 点 ； 23（ ） 时 ， 两 曲 线 没 有 交 点 。（）()() 1()2221)(),02(2)()3100ababbabaabaattaa tt tffeeeeeeegtegt 令上 式令 ， 则 恒 成 立 0()2()().2aatttfabf而故9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）理】已知

5、 ，函数Ra.33)(2axxf（）求曲线 在点 处的切线方程；)(fy)1(,f（）当 时，求 的 最大值.2,0x|x当 时， ，所以 ，所以此时 ；234a0a1()|2|fxfmax1|()|()2()1ffa10.【2013 年全国高考新课标（I）理科】已知函数 f(x) x2axb，g(x)e x(cxd)，若曲线 yf(x) 和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2.（）求 a，b，c，d 的值（）若 x2 时，f( x)kg(x)，求 k 的取值范围.11.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】设 l 为曲线 C： 在点(

6、1 ，0)处的切线.lnxy(I)求 l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方.解析 利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般式.要证曲线 C 在直线 l 的下方，只12.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知函数 （ 为自然对数()1xafxe,R的底数）（）若曲线 在点 处的切线 平行于 轴，求 的值；()yfx1,()fxxa（）求函数 的极值；（）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值.1a:lykx()yfxk（*）1xke在 上没有实数解R当 时，方程（ *）可化为 ，在 上没有实数解10x

7、eR13.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】已知函数 . e,xfR() 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 有唯一公共点. 21yx() 设 ab, 比较 与 的大小, 并说明理由. 2ab()fa【解析】本题涉及函数与导数，为压轴题.本题第一问涉及了求导与指数函数的反函数.属于导函数的基本应用，体现了压轴题的低切入点特征.本题第二问考查曲线与曲线的公共点个数，到了第二问，考查难度平稳提升.第三问比较大小可采用作差构造，再求导，并综合考察基本不等式的应用.第三问考查细致入微，需要思考分析.具有

8、一定的区分度.本题命题常规，难度大.14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】知 ，函数 32()2(1)6fxaxaR（）若 1，求曲线 yf在点 处的切线方程.,(f（)若 ，求 在闭区间 上的最小值.来源:学.科.网|()f0|【答案】 （）当 时， ，所以a326()1624xxf，所以 在 处的切线方程是：2()61()4fxf yfx(,)f15.【2013 年全国高考新课标（I）文科】已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为 .来源:Zxxk.Com2()4xfeabx()yfx0,()f 4yx（）求 的值；,（）讨论 的单调性，并求 的极大值.()fx()f

9、x【答案】 （1） ， ，故 ，解得 ；04f 24xxfeabe(0)4f4ab（2） ， ；令 ，所以2()xfe()(2)xx xf e0或 ，所以当 变化时， 、 变化如下表所示：xlnl(ff(,2)(2,ln)l(ln2,)()fx+ 0 - 0 +单调递增 极大值 单调递减 极 小值 单调递增所以极大值 .24()fe16.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】已知函数 .2()sincofxx（）若曲线 在点 处与直线 相切，求 与 的值.y(,)afybab（）若曲线 与直线 有两个不同的交点，求 的取值范围.)fxyb17.（2012 年高考（重庆理） ）

10、设 其中 ,曲线 在点 处的切线垂13()ln,2fxaxaR()yfx1,()f直于 轴.y() 求 的值;a() 求函数 的极值.()fx18.（2012 年高考（山东文） ）已知函数 为常数 ,e=2.71828是自然对数的底数),曲线 在点ln()(exkf ()yfx处的切线与 x轴平行.(1,)f()求 k的值;()求 的单调 区间;()fx()设 ,其中 为 的导函数.证明:对任意 . gf()fxf 20,()1exg19.（2012 年高考（湖北文） ）设函数 , 为正整数, 为常数,()(1)(0)nfxaxbnab曲线 在 处的切线方程为 .()yfx1,()f y(1)

11、求 的值 ; ,ab(2)求函数 的最大值; ()fx(3)证明: .1ne所以 ,即 1()ne1()ne由(2)知, ,故所证不等式成立. 1()nfx20.（2012 年高考（北京文） ）已知函数 ( ), .2()1fxa03()gxb(1)若曲线 与曲线 在它们的交点(1, )处具有公共切线,求 的值;()yfxygc,a(2)当 时,求函数 在区间 上的最大值为 28,求 的取值范围.3,9ab()fx2kk21.（2012 年高考（北京理） ）已知函数 ( ), .2()1fxa03()gxb(1)若曲线 与曲线 在它们的交点(1, )处具有公共切线,求 的值;()yfxygc,

12、a(2)当 时,求函数 的单调区间,并求其在区间 上的最大值.24ab()fx(,122.（2012 年高考（安徽文） ）设定义在(0,+ )上的函数1()(0)fxab()求 的最小值;()fx(II)若曲线 在点 处的切线方程为 ,求 的值.yf(1,)f 32yx 2113()()2fxafa由得: ,b【考点剖析】一明确要求1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义3.能 利 用 给 出 的 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 求 简 单 函 数 的 导 数 4. 理 能 求 简 单 的 复 合 函 数 （ 仅 限 于 形 如 f（

13、 ax+b） 的 复 合 函 数 ） 的 导 数 .二命题方向1.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时进行考查2.导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题3.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步.三规律总结一 个 区 别曲 线 y f(x)“在 ”点 P(x0， y0)处 的 切 线 与 “过 ”点 P(x0， y0)的 切 线 的 区 别 ：曲 线 y f(x)在 点 P(x0， y0)处 的 切 线 是 指 P 为 切 点 ， 若 切 线 斜 率 存 在 时 ， 切 线 斜 率 为k f (x0)，

14、 是 唯 一 的 一 条 切 线 ； 曲 线 y f(x)过 点 P(x0， y0)的 切 线 ， 是 指 切 线 经 过 P点 ， 点 P 可 以 是 切 点 ， 也 可 以 不 是 切 点 ， 而 且 这 样 的 直 线 可 能 有 多 条 两 种 法 则(1)导 数 的 四 则 运 算 法 则 (2)复 合 函 数 的 求 导 法 则 三 个 防 范1 利 用 公 式 求 导 时 要 特 别 注 意 除 法 公 式 中 分 子 的 符 号 ， 防 止 与 乘 法 公 式 混 淆 2 要 正 确 理 解 直 线 与 曲 线 相 切 和 直 线 与 曲 线 只 有 一 个 交 点 的 区 别 3 正 确 分 解 复 合 函 数 的 结 构 ， 由 外 向 内 逐 层 求 导 ， 做 到 不 重 不 漏 【考点模拟】一扎实基础1. 【湖南师大附中 2013 届高三第六次月考】曲线 在 处的切线的斜率是( ) lgyx1A. B. C. D1ln0ln10lgele2. 【广东省惠州市 2013 届四月高三第一次模拟考试】设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点PC23yxC处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为 ( )P0,4A B C