《2014高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理 新人教A版（237页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1【创新设计】2014 高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理 新人教 A 版第一节函数及其表示备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.了解构成函数的要素，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1.考查方式多为选择题或填空题2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如 2012 年新课标全国 T10等3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2012 年江西 T3 等.归纳知识整合1函数与映射的概念函数 映
2、射两集合A， BA， B 是两个非空数集 A， B 是两个非空集合对应关系f： A B按照某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中有唯一确定的数 f(x)和它对应按某一个确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记法 y f(x)， x A 对应 f： A B 是一个映射2探究1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必
3、须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系3相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数探究2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定如函数 y x 与 y x1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如 ysin x 与 ycos x，其
4、定义域都为 R，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数4函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数自测牛刀小试1(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有()函数是定义域到值域的对应关系；函数 f(x) ；x 4 1 x f(x)5，因这个函数的值不随 x
5、 的变化而变化，所以 f(t21)也等于 5； y2 x(xN)的图象是一条直线； f(x)1 与 g(x) x0表示同一个函数A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B由函数的定义知正确；错误；由Error!得定义域为，所以不是函数；因为函数 f(x)5 为常数函数，所以 f(t21)5，故正确；因为 xN，所以函数y2 x(xN)的图象是一些离散的点，故错误；由于函数 f(x)1 的定义域为 R，函数 g(x)3 x0的定义域为 x|x0，故错误综上分析，可知正确的个数是 2.2(教材习题改编)以下给出的对应是从集合 A 到 B 的映射的有()集合 A P|P 是数轴上的点，集合 B
6、R，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应集合 A P|P 是平面直角坐标系中的点，集合 B( x， y)|xR， yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；集合 A x|x 是三角形，集合 B x|x 是圆，对应关系 f：每一个三角形都对应它的内切圆；集合 A x|x 是新华中学的班级，集合 B x|x 是新华中学的学生，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：选 C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以不是从集合 A 到集合 B 的映射3(2012江西高考)若函数 f(x)Error!则
7、f(f(10)()Alg 101 B2C1 D0解析：选 B f(10)lg 101，故 f(f(10) f(1)1 212.4(教材习题改编)已知函数 f(x) ，则 f(f(4)_；若 f(a)2，则x 2x 6a_.解析： f(x) ， f(4) 3.x 2x 6 4 24 6 f(f(4) f(3) . 3 2 3 6 19 f(a)2，即 2，a 2a 6解得 a14.答案： 14195(教材习题改编) A x|x 是锐角， B(0,1)，从 A 到 B 的映射是“求余弦” ，与 A中元素 60相对应的 B 中的元素是_；与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是32_解析：cos 6
8、0 ，与 A 中元素 60相对应的 B 中的元素是 .12 124又cos 30 ，与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是 30.32 32答案： 3012函数与映射的概念例 1有以下判断：(1)f(x) 与 g(x)Error!表示同一个函数|x|x(2)函数 y f(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个(3)f(x) x22 x1 与 g(t) t22 t1 是同一函数(4)若 f(x)| x1| x|，则 f 0.(f(12)其中正确判断的序号是_自主解答对于(1)，函数 f(x) 的定义域为 x|xR 且 x0，而函数 g(x)|x|xError! 的定义域是 R，所以二者不
9、是同一函数；对于(2)，若 x1 不是 y f(x)定义域内的值，则直线 x1 与 y f(x)的图象没有交点，若 x1 是 y f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线 x1 与 y f(x)的图象只有一个交点，即 y f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点；对于(3)， f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x)与 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于 f 0，(12) |12 1| |12|所以 f f(0)1.(f(12)综上可知，正确的判断是(2)(3)答案(2)(3) 1判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需
10、检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应2判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一5致，由此即可判断1(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ f1： y ； f2： y1. f1： yError!xxf2：x x1 1 x2 x2y 1 2 3 f1： y2 x； f2：如图所示解：不同函数 f1(x)的定义域为 xR| x0， f2(x)的定义域为 R.同一函数 x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是
11、同一函数的不同表示方式同一函数理由同.(2)已知映射 f： A B.其中 A BR，对应关系 f： x y x22 x，对于实数 k B，在集合 A 中不存在元素与之对应，则 k 的取值范围是()A k1 B k1C k1 时满足题意.求函数的解析式例 2(1)已知 f(x1) x24 x1，求 f(x)的解析式(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1) f(x)2 x9.求 f(x)自主解答(1)法一：(换元法)设 x1 t，则 x t1， f(t)( t1) 24( t1)1，即 f(t) t22 t2.所求函数为 f(x) x22 x2.法二：(配凑法) f(x1) x24 x
12、1( x1) 22(x1)2，所求函数为 f(x) x22 x2.6(2)(待定系数法)由题意，设函数为 f(x) ax b(a0)，3 f(x1) f(x)2 x9，3 a(x1)3 b ax b2 x9，即 2ax3 a2 b2 x9.由恒等式性质，得Error!解得 a1， b3.所求函数解析式为 f(x) x3.若将本例(1)中“ f(x1) x24 x1”改为“ f lg x”，如何求解？(2x 1)解：令 1 t， x0，2x t1 且 x .2t 1 f(t)lg ，即 f(x)lg (x1) 2t 1 2x 1 求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件 f(g(x) F(
13、x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f 或 f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出(1x)另外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)2给出下列两个条件：(1)f( 1) x2 ；x x(2)f(x)为二次函数且 f(0)3， f(x2) f(x)4 x2.试分别求出 f(x)的解析式解：(1)令 t 1，x t1， x(
14、t1) 2.则 f(t)( t1) 22( t1) t21，7 f(x) x21( x1)(2)设 f(x) ax2 bx c，又 f(0) c3. f(x) ax2 bx3， f(x2) f(x) a(x2) 2 b(x2)3( ax2 bx3)4 ax4 a2 b4 x2.Error! 解得Error! f(x) x2 x3.分段函数求值例 3已知函数 f(x)Error!则 f(2log 23)的值为()A. B. 124 112C. D.16 13解析2log 234， f(2log 23) f(3log 23) 3log 23 log23 .(12) 18 (12) 18 13 124答案A 解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段
