不确定度讲义文库

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1、第一章 不确定度的概念一 关于测量结果的误差、准确度和不确定度的基本概念 测量结果：“由测量所得到的而赋予被测量的值”在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应给出自由度及影响量的取值范围。在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果；还应表明它是否为若干个值的平均值； 真值：“与给定的特定量的定义一致的值” 量的真值只有通过完善的测量才可能获得。真值按其本性是不确定的。与给定的特定量定义的值不一定只有一个。 约定真值：“对于给定目的的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。 ” （如：常数委员会（CODATA）1986 年推荐的阿佛加德罗常数

2、值为 6.02213671023mol-1） 约定真值有时称为指定值、约定值或参考值。参考值在这种意义上使用，不应于参考条件中的参考值相混淆。 常常用某量的多次测量结果来确定约定真值。 测量结果的误差：“测量结果减去被测量的真值。 ” *由于真值不能确定，实际上用的是约定真值 系统误差：“在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 ” 如真值一样，系统误差及其原因不能完全获知。对测量仪器而言，其系统误差也称为测量仪器的偏移。 随机误差：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 ” 随机误差 =误差-系统误差因为测量只能

3、进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。 测量结果准确度：测量结果与被测量的真值之间的一致程度。 准确度是一个定性的概念。不能用精密度代替准确度。 测量结果的不确定度：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。 此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可以用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的分量（如：修正值和参考测量标准有关

4、的量） 。 根据以上概念，误差、随机误差和系统误差均表示一个确定的值，而不是一个区间。并且具有确定符号，不应以“”号的形式出现。由于真值无法知道，而且实际上只能用有限次的测量结果代替无限多次测量，所以误差是无法准确知道的，可以确定的只是随机误差和系统误差的估计值。根据定义，准确度是一个定性的概念，因此不宜将其定量化。所谓定性，意味着可以说：准确度高或低、准确度为多少级、准确度符合 xx 标准等。但不能用具体量值表示准确度，如：准确度为 0.2%、20mm、20mm、20mm 等。目前有些测量仪器的说明书或技术规范所说的准确度，实际上指的是仪器的最大允许误差或允许的误差限。测量不确定度表示的是被

5、测量之值的分散性，因此不确定度表示的是一个区间，是测量者赋予测量结果的，因此与评定者的经验、水平有一定的关系。二 部分相关术语及其概念可测量的量量值被测量测量结果测量结果的重复性测量结果的复现性试验标准偏差 标准不确定度不确定度的 A 类评定不确定度的 B 类评定合成标准不确定度扩展不确定度包含因子置信概率修正值相关系数独立 第二章 标准不确定度的评定方法一、 测量不确定度评定步骤测量不确定度评定步骤如下：1、确定被测量和测量方法由于测量结果的不确定度和测量方法有关，因此在进行不确定度评定之前必须首先确定被测量和测量方法。此处的测量方法包括测量原理、测量仪器、测量条件以及测量和数据处理程序等。

6、 2、找出所有影响测量不确定度的影响量进行测量不确定度评定的第一步是找出所有对测量结果有影响的影响量，即所有的测量不确定度来源。原则上，测量不确定度来源既不能遗漏，也不要重复计算。3、建立满足测量不确定度评定所需要的数学模型建立数学模型也称为测量模型化。其目的是要建立满足测量所要求准确度的数学模型，即被测量 Y 和所有各影响量 Xi之间的函数关系：Y=f（ X1， X2， Xn）影响量 Xi 也称为输入量，被测量 Y 也称为输出量。从原则上说，数学模型应该就是用以计算测量结果的计算公式，但许多情况下的计算公式都经过了一定程度的近似和简化，而且在有些情况下，计算公式并无法包含所有影响量，因此数学

7、模型和计算公式经常是有差别的。要求所有对测量不确定度有影响的输入量都应包含在数学模型中。在测量不确定度评定中，所考虑的各不确定度分量，要与数学模型中的输入量一一对应。4、确定各输入量的标准不确定度 u（ xi）各输入量最佳估计值的确定大体分为两类：由实验测量得到的和由其他各种信息来源得到。对于这两类输入量，可以采取不同的方法评定其标准不确定度，即标准不确定度的 A 类评定和标准不确定度的 B 类评定。5、确定对应于各输入量的标准不确定度分量 ui（ y）若输入量 xi 的标准不确定度为 u（ xi） ，则标准不确定度分量 ui（ y） 为：ui（ y） = ciu（ xi） = u（ xi）式

8、中， ci称为灵敏系数。它可由数学模型对输入量的偏导数而得到，也可由实验测量得到，在数值上它等于当输入量xi变化一个单位量时，被测量 y 的变化量。当数学模型为非线性模型时，灵敏系数 ci的表示式中将包含输入量。从原则上说，灵敏系数 ci表示式中的输入量应取其数学期望值。6、对各标准不确定度分量 ui（ y） 进行合成得到合成标准不确定度 uc（ y）根据方差合成定理，当数学模型为线性模型，并且各输入量 xi 彼此间独立无关时，合成标准不确定度 uc（ y） 为：uc（ y） =上式常称为不确定度传播定律。当数学模型为非线性模型时，从原则上说上式已不再成立，而应考虑其高阶项。若非线性不很明显，

9、则通常高阶项因远小于一阶项而仍可以忽略。但若非线性很明显时，则应考虑高阶项。7、确定被测量 Y 可能分布的包含因子niy12)(ixf根据被测量 Y 分布情况的不同，所要求的置信概率 p，以及对测量不确定度评定具体要求的不同，分别采用不同的方式来确定包含因子 k。当被测量 Y 接近正态分布时，并且要求 Up表示扩展不确定度时，需计算各分量的自由度和对应于被测量 Y 的有效自由度 eff。并由有效自由度 eff 和所要求的置信概率 p 查 t分布表得到 k 值。8、确定扩展不确定度 U扩展不确定度 U = kuc。 当包含因子 k 由所规定的置信概率 p 得到时，扩展不确定度用 Up = kpu

10、c表示。9、给出测量结果不确定度报告简要给出测量结果及其不确定度，以及如何由合成标准不确定度得到扩展不确定度。报告中应给出尽可能多的信息，避免用户对所给测量不确定度产生错误的理解。 二、测量不确定度来源 测量中，可能导致测量不确定度的因素很多。他们大体上来源于下述几个方面：1、对被测量定义的不完整例如：被测量是标称值为 1k 的电阻器，要求阻值测量至m 级，则被测量的定义不够完整。因为电阻测量受温度影响比较明显，由于定义的不完整使测量结果引入温度影响的不确定度。这时完整的定义应是：标称值为 1k 的电阻器在20.0时的阻值。若在这个定义要求的温度下测量，就可以避免由此引入的不确定度。2、实现被

11、测量定义的方法不理想（达不到定义要求）如上例，完整定义的被测量，由于测量时温度达不到定义的要求（包括由于温度的测量本身存在不确定度） ，使测量结果引入不确定度。3、取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表所定义的被测量例如：我们对某种材料的某一性能指标（如介质材料的介电常数、硅钢片的磁感应强度等）进行测量时，由于测量方法和测量设备的限制，只能取材料的一部分做成样块，然后对其进行测量。如果测量所用的样块在材料的成分或均匀性方面不能完全代表定义的被测量，则样块就引起测量不确定度。 4、测量过程受环境影响的认识不周全或对环境条件的测量与控制不完善以上述电阻器为例，其阻值不仅受温度影响，同样受湿度

12、影响。如果认识不足，就会引起不确定度。此外，在按被测量的定义测量电阻器的阻值时，测量温度所用的温度计的不确定度也是不确定度来源。5、对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）模拟式仪器在读取示值时一般估读到最小分度值的1/10，同时人为因素也可能同一状态下的显示值有不同的估读值，这种差异将产生不确定度。6、测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性等）的局限性例如：假设一台数字多用表的直流电压测量最小分辨率为1V，当信号在 0.5V1.4V 间变化时，数字多用表却只能给出同样的指示，这必然引入不确定度。 7、赋予计量标准的值和标准物质的值不准确例如：以一等标准电阻做标准用比较法检

13、定标准电阻时，一等标准电阻的不确定度直接引入了测量结果。8、引用的数据或其他参量的不确定度在测量结果的处理中，我们经常用到一些常数（如 、g等） ，这些常数同样具有不确定度，它同样是测量结果不确定度的一个来源。9、与测量方法和测量程序有关的近似性和假定性例如电测量中由于测量系统不完善引起的绝缘漏电、热电势、引线电阻上的压降等，均会引起不确定度。10、在表面上完全相同的条件下被测量在重复观测中的变化在实际工作中我们经常发现，无论怎样控制环境条件以及各类对测量结果可能产生影响的因素，而最终的测量结果总会存在一定的分散性，即多次测量的结果并不完全相等。这种现象是一种客观存在，是由一些随机效应引起的。

14、三、数学模型的建立 在实际测量的很多情况下，被测量 Y（输出量）不能直接测得，而是由 n 个其他量 X1， X2， ， Xn（输入量）通过函数关系 f 来确定Y=f（ X1， X2， ， Xn）这种函数关系称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。建立数学模型应和寻找各影响测量不确定度的来源同步反复进行。一般先根据测量原理设法从理论上导出一初步的数学模型，然后再将初步模型中遗漏的能影响测量不确定度的输入量一一补充，使数学模型逐步完善。 在不确定度评定中，建立一个合适的数学模型是测量不确定度评定合理与否的最关键的一步。一个好的数学模型应该能满足下述条件：1、数学模型应包含影响测量结果的全部

15、输入量；2、不遗漏任何能影响测量结果的不确定度分量；3、不重复计算任何一项对测量结果有影响的不确定度分量； 4、当选取的输入量不同时，有时数学模型可以写成不同的形式。由于当输入量不同时，他们之间的相关性可能也不同，此时应选择合适的输入量。四、标准不确定度的 A 类评定 1、评定方法（1）贝塞尔法 贝塞尔法是最常用的方法。被测量 X，在重复性条件或复现性条件下进行 n 次独立重复测量，观测值为 xi(i=1,2,n)。算术平均值为 根据贝塞尔公式，单次测量结果 xi 的标准不确定为单次测量的实验标准差，即： 在实际测量中，也经常采用该 n 次测量的平均值 作为测量结果的最佳估计值，此时平均值的实验标准差为：若测量结果取其中 m 次的平均值 时，其所对应的标准不确定度为 。采用上述评定方法，自由度均是 = n -1。测量次数 n不能太小，否则所得到的标准不确定度本身就会存在较大的不确定度，一般取不低于 6 次。 ix1 1)()(2xxsuniiii xnsi/)(mxxsim/)(（2）合并样本标准差 法在测量中，在重复性条件下对被测量 X 做 n 次独立观测，并且有 m 组这样的这样的观测结果，由于各组件测量条件可能会稍有不同，因此合并样本标准差 为合并样本标准差也称为组和试验标准差，其 2 次方 称为合并样本方差或组合方差。若已计算出各组测量的试验标准差 ，则