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1、概率论与数理统计,主讲教师:王剑君,第一章 概率论的基本概念,概率论是研究随机现象的统计规律性的一门基础学科, 为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述， 像其它数学学科一样,概率论具有自己的严 格的体系和结构. . 本章重点介绍概率论的两个基本概念： 随机事件和概率。,第一节 样本空间、随机事件,1. 随机现象,客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。,直角三角形中,斜边边长的平方是另外两条直角边边长的平方之和.这是确定的，必然的。,随机现象1.掷一枚硬币,观察向上的面;2.某人射击一次
2、,考察命中环数;3.从一批产品中抽取一件,考察其质量;,确定性现象抛一石块,观察结局;导体通电,考察温度;异性电荷放置一起,观察其关系;,2. 随机现象的统计规律性,虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在,上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，某人射击一次,其命中环数,只能是0-10中的任意整数。可见“全部可能的结果,的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。,进行一次试验，如果每一次试验之前不能预知哪一个结果会出现，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验，一般地，一个随机试验要具有下列特
3、点：,（1） 可重复性：试验原则上可在相同条件下 重复进行;（2） 可观察性：试验结果是可观察的，所有 可能的结果是明确的；（3） 随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。,由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果,出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。,表1.1抛掷硬币试验,试验者,抛硬币次数,出现正面次数,出现正面频率,Buffon,De morgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovsmii,4040,4
4、092,10000,12000,24000,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。,上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数
5、学学科。,3. 样本空间,随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用 与 表示样本点与样本空间。,例1.1.1 抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即 =（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。这里，比如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。,例1.1.2 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2, ,样本空间为=0次，1次，2次, ,例1.1.3 连续射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”
6、表示一次射击未中，而以“1”表示命中。则样本空间 =1，01，001， 0001， ,例1.1.4 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时， 样本空间为：,练习:写出下列各个试验的样本空间:1. 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况；2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数；3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C,有2 个黄球，编号D、E，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？,4.袋中有编号为1,2,3,n的球,从中任取一个,观察球的号码；5.从自然数 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次
7、就取三个呢？6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。,4. 随机事件及其运算,我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称事件。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，那么事件A发生当且仅当 时发生。由于样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次,试验中 都会发生，故称 为必然事件。相反，空集 不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称 为不可能事件。,1.事件的包含,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一
8、个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。记作,2.事件相等,如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作 A=B。,3.事件的并,“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并，记作,4. 事件的交,“ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作 或 。,若AB=,且AB=,则称事件A与事件B互为对立事件(逆事件).A的对立事件记为,5. 事件的差,“ 事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与B的差, 记作 A-B .,事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件,即 ，则称A与B是互不相容事件.,6. 互不相容事件,7.
9、 对立事件,显然,在一次试验中，若A发生，则必不发生，反之亦然，即在一次试验中，A与两者只能发生其中之一,8.完备事件组,则称 是一个完备事件组。显然，A与 构成一个完备事件组。,为了帮助大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：,表1.2,符号,集合论,概率论,全集,样本空间：必然事件,空集,不可能事件,推广:,注:,练习:1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关
10、系 A=|x-a|,B=x-a(0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,A与B对立,A与B互斥,例1.1.5: 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现.,解答:,思考题:设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算式表示下列事件:,(1)A发生而B与C都不发生;(2)A,B都发生而C不发生;(3)A,B,C至少有一个事件发生;(4)A,B,C至少有两个事件发生;(5)A,B,C恰好有两个事件发生;(6)A,B,C恰好有一个事件发
11、生;(7)A,B至少有一个发生而C不发生;(8)A,B,C都不发生.,解:,第二节 概率、古典概型,概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们称为事件的概率. 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。,1.频率 若随机事件A在 n 次试验中发生了k 次，则称比值 为事件A在n 次试验中发生的频率，记作 .,它满足不等式：,如果A是必然事件,有k=n,则 ;,如果A是不 可能事件，有k=0,则 ;,就
12、是说：必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。,一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的频率总是在某个确定值p附近徘徊，而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近p,数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的客观规律性，它是事件A在一次随机试验时发生可能性大小的度量。,概率的统计定义：,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,2. 组合记数,排列: 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地
13、）按一定的次序排成一排,不同的 排法共有,全排列:,组合: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有,例如:,两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件,(1)两件都不是次品的选法有多少种?(2)只有一件次品的选法有多少种?,解 (1) 用乘法原理,结果为,(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:,古典概型 设为试验E的样本空间，若 （有限性）只含有限个样本点; （等概性）每个基本事件出现的可能性相等; 则称E为古典概型。,古典概型概率的定义,设E为古典概型,为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为:,3. 古典概型,(1) 古典概型的判断方法（有限性 、等概性）；(2) 古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点; 数清样本空间与随机事件中的样本点数; 列出比式进行计算。,注意:,概率的性质：,例1.2.1用0,1,2, 9共10个数字中的任意两个(可重复使用)组成一个两位数的字码,求字码之和为3的概率.,解:此为古典概型,样本空间总数为100,字码之和为3的有:03,30,12,21共4个字码,设A:字码之和为3,则,例1.2.2 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1）两次掷得的点数之和为8；（2）第二次掷得3点.,表示“点数之和为8”事件，,表示“第二次掷得3点”事件,解：设,所以,则,
