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1、第四节 函数的极限,一、函数极限的定义二、函数极限的性质和计算三、无穷小量与无穷大量四、小结与思考判断题,一、函数极限的定义,本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：,函数的极限六种存在形式,即函数极限的两种主要形式如下,1.自变量趋于有限值时函数的极限,考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变化过程为,仿照数列极限的定义，给出 时函数的极限的定义.,则,讨论单侧极限,函数值
2、无限接近于2.,函数值无限接近于2.,左极限,右极限,记作,左右极限存在但不相等,例1,证,结论：,小结,注：分段函数分点处的极限， 要分 别求左极限和右极限.,证明函数极限不存在的方法是:,(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；,(2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等。,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量 表示 及 ，对正数 ， 表示 及 .,定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作,另两种情形:,结论：,二、函数极限的性质,.,定理,.,定理(保号性),推论
3、,3.局部保号性,定理1,极限的四则运算法则,三、极限的运算法则,推论2,（1）当时，而时，,（2）当时，而时，,（3）当时，而时，,（4）当时，而时，,（5）当时，而时，,例1求,解,解：原式,例3 求,解: 原式,又例 : 求,极限存在准则,四、两个重要极限,(1),注,此结论可推广到,注意：,解,解,解,例4,解,解,因此,例5 求,解,例7 求,解,于是,练习,解,(2),利用数列公式,用变量代换可求出,此结论可推广到,注,注意：,解,例2,解,一般地,例3 求,解一,解二,解,例5,解,解,解,解,解.,解.,4.,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,思考题,求极限
4、,思考题解答,无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,定义1:,在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）.,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,无穷小,证,必要性,充分性,意义,将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,无穷小的性质,（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,（1）有限个无穷小
5、的和、差、积仍是无穷小.,（3）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,（4）常数与无穷小的乘积是无穷小.,例1,解,二、无穷大量,记作,记作,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,三、无穷小与无穷大的关系,意义 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,定理3 在自变量的同一变化过程中,可得:,解,例3,解,(无穷小因子分出法),【注】,由于分子分母极限,【注】,先通分,后求极限。,解,原式,练习：,求,解,则,解,2.3.3 极限的复合运算法则,定理5 （极限复合运算法则变量代换法则）,例5,解,三、小结,函数极限的统一定义,(见下表),4.无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,1、主要内容:,两个定义;四个定理.,2、几点注意:,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3） 无界变量未必是无穷大.,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,3.两个重要极限,
