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1、数学建模素养意识篇之大学数学课里的建模思想,主讲教师 高全胜教授,案例1：巧分蛋糕,今天是你的朋友的生日，你为她定给做了一块边界形状任意的蛋糕。请向你的朋友说明， 在蛋糕上任意一点，你都能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等与你的朋友分享。如果你能够做到这一点，那么浪漫的生日庆祝会还会多了几分智慧的光芒，相信你的朋友会对你高看一眼。,你知道他用的是什么办法吗？,1.1.问题分析,数学建模的思想提示我们：蛋糕不是蛋糕，切一刀也不是切一刀。假设：蛋糕厚度是均匀的。不要比划如何去分蛋糕，你只要说明你可以分蛋糕就可以了。将蛋糕放在坐标系中，蛋糕是一个区域，切一刀表示一条直线。,1.2.问题的数学描述
2、,问题归结为如下一道几何证明题.已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围区域上任一点. 求证：一定存在一条过P的直线，将这区域的面积二等分.,能切成相等的两块吗？,1.3.问题的证明,零点定理的应用,以P点为旋转中心，将 按逆时针方向旋转，面积 、 就连续地依赖于角 变化，记为 、 ，并设 .,零点定理的应用,函数 在 上连续,且在端点异号： 根据零点定理，必存在一点 ，使 ，即 。过P作直线，使之与x轴正向的夹角成 ，该直线即为所求.,1.4 椅子能在不平的地面上放稳吗,1.4.1问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，
3、四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,1.4.2.模型的建立,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，
4、使f(0) = g(0) = 0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,1.4.3模型求解,证明：将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,在一个阳光明媚的上午，在一刻苹果树下
5、，伟大的物理学家牛顿一遍喝着早茶，一边享受着从树叶投射下来的阳光。这时，忽然有一颗苹果落了下来。下面的故事大家都知道了，牛顿因此发现了万有引力定律。,但是，故事还没有完。其实，（1）当时的苹果并没有落到地上，而是落在了牛顿的头上（据史料记载，迄今为止只有这一颗苹果是落在人头上的，其他的都落在了地下）；（2）当时牛顿并非仅仅思考了一个问题，而是思考了两个问题，第一个是苹果为什么会落下，第二个是苹果砸在头上这么痛，如何刻画痛的程度。,第一个问题导致了物理上的一个伟大发现 第二个问题导致了数学上的一个伟大发明,案例2：牛顿的苹果与导数概念,声明,本故事纯属杜撰如有转载，请注明杜撰人否则将追究法律责任
6、,2.1.问题分析,这是一个苹果砸到头有多痛的问题，所以先要看看如何表示痛，实际上在苹果大小一定的情况下，痛的主要决定因素就是速度的大小。如何表示速度？而且是一点处的速度。从已经知道的知识点中找。于是牛顿查资料，发现当时有一个问题是解决了的，当时牛顿的时代是知道平均速度的概念的，所以要先从已知的概念开始平均速度是一段时间内物体经过的路程，路程是时间的函数，设为s = s(t)还必需将一点扩展到一段。碰到牛顿头顶时间为t0,时间段可以用 表示。于是这一段平均速度=如何到一点？查资料，求极限。,2.2.问题的解决,速度反映了路程对时间变化的快慢程度,设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t
7、)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为,2.3.具体计算：自由落体瞬时速度,如图,取极限得：,2.4.切线问题,播放,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,如图,2.5.导数的定义,函数在一点处的导数与导函数,即,2.6.启示,由一点到一段：思考问题的方式。由已知到未知：由平均速度到一点速度，借助极限概念。,案例3：眼睛转动的速度,从教室的左边走到右边，匀速前进，大家的眼睛一定在看着我。请问，当我走到黑板的中间时，中间一位同学的眼睛转动速度是多少？,3.1.问题分析,画一幅示意图是比较好的，图像图形也是基本的数学语言。数学建模要设一些量
8、。我到中心距离-我的速度，学生眼睛转动角度-转动速度。假设我移动速度是5，那位同学到讲台距离是5.,3.2.问题的求解,解: 设t 时刻老师的位置距中心点为h , 侧视角为 ,则,两边对 t 求导，是相关变化率问题,已知,h = 0 时,案例4：如何最快到达山顶,在一个伸手只见五指的夜晚，你正在珠穆朗玛峰的半山腰，请问你应该怎么办才能最快到达峰顶？,4.1.问题分析,这个问题显然是在最后一句话，如何最快到达山顶。设想一下，主要确定什么要素？两个，一个是方向，一个是速度。这不是百米赛跑，走的是直道。问题中告诉你是伸手只见五指，表明你是需要确定方向是可能的。人生也一样。两者缺一不可。要确定一个和速
9、度和方向都有关系的量。速度用什么来表示？导数。如果二者统一的话，应该确定方向导数的问题。下面具体看如何实施。,4.2.模型的建立,方向导数的定义,回顾函数 在点 处关于的偏导数定义：,方向导数的定义形式上应该是类似于但有些问题，做进一步的改进，不好算。,（如图）,讨论函数 在一点 沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,方向导数的定义,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才
10、能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行。,4.2.模型的推广：热锅上的蚂蚁,4.3.实际应用：定向越野,定向越野作为一种新兴的，利用地图和指北针导航的运动，在世界各地正吸引着越来越多人参与并为之狂热。它既是一种户外休闲、娱乐运动，又是一种竞技运动。参加定向运动除需要指北针和地图外，不需要特殊的设备，是一种较为经济的运动项目。,案例5：汽车漏了多少油,从家里到讲课地点开车，发现油箱破了，请问一共漏了多少油？要求：不用称重工具，但线路清楚，速度知道。,5.1.假设,汽车行走的线路在平面上，是已知的曲线。汽车每一点处的速度也知道。,5.2.问题的分析,5.3. 过程分解,分割,求和,取极限,近似值,精确值,5.4.对弧长的曲线积分的概念,被积函数,积分弧段,积分和式,谢 谢 聆 听！,
