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1、12004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）一、选择题1.(2004全国 I,理 7文 7) 椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、F 2,过 F1作垂直于 x 轴的直x24线与椭圆相交,一个交点为 P,则 =( )|PFA B C D432 3 72【答案】C.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为 .本题中|PF 1|= ,由椭圆的定义知2b2a b2a=12|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF 2|=4- .12=722.(2004全国 I,理
2、8文 8)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A- , B-2,2 C-1,1 D-4,41212【答案】C.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想.Q(-2,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程，消去 y 整理得：k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由=(4k 2-8)2-4k24k2=64(1-k2)0,解得 -1k1.3.(2004全国 III、广西,理 7文 8)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y= x,则12该双曲线的离心率
3、e=( )A5 B C D 552 54【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y= x, = ,即 a=2b,c= b,故该双曲线的离心率 e=12 ba12 a2+b2= 5.ca= 524.(2004全国 IV,理 8)已知椭圆的中心在原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线12y2=-4x 的焦点重合 ,则此椭圆方程为( )A. B. C. x24+y23=1 x28+y26=1 x22+y2=12D. x24+y2=1【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.抛物线焦点为(-1,0), c=1,又
4、 e= ，a=2,b 2=a2-c2=3,故椭圆方程为 .12 x24+y23=15.(2004江苏,5)若双曲线 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲x28 -y2b2=1线的离心率为( )A. B.2 C.4 D.42【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2,双曲线 的一条准线方程为 x= ,x28 -y2b2=1 88+b22= ,解得 b2=8,c=88+b2 a2+b2=4e= .ca= 422= 26.(2004天津,理 4文 5)设 P 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为219xya
5、3x-2y=0,F1、F 2分别是双曲线的左、右焦点 ,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( )A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质.双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,a 2=4.由双曲线的定义知|PF 1|-|PF2|=4,|PF 1|=3,|PF 2|=7.7.(2004广东,8)若双曲线 2x2-y2=k (k0)的焦点到它相对应的准线的距离是 2,则 k= （ ）A.6 B. 8 C. 1 D.4【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为 ,x2k2-y2
6、k=1a 2= ,b2=k,c 2= .k2 3k2焦点到准线的距离 2=c- ,即 2= ,a2ck3k2解得 k=6.8.(2004福建,理 4文 4)已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直3线交椭圆于 A、B 两点，若ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A. B. C. D.33 23 22 32【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为,则过 F1且与椭圆长轴垂直的统弦 AB= .若 ABF2是正三角形,则 2c= x2a2+y2b2=1 2b2a ,即 a2-2ac- c2=0,(a- c)( a-c)=0,
7、e = .2b2a 32 3 3 3 3 ca= 339.(2004福建,理 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、M到 C 修建公路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2 -2)a 万元 B.5a 万元7C. (2 +1)a 万元 D.(2 +3)a 万元7 3【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念
8、与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为 y 万元,则y=aMB+2aMC河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.,曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2.过 M 作双曲线的焦点 B 对应的准线 l 的垂线,垂足为 D(如图 ).由双曲线的第二定义,得 =e,即 MB=2MD.MBMDy= a 2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)2aCE.(其中 CE 是点 C 到准线 l 的垂线段).CE=GB+BH=(c- )+BCcos600=(2- )+2 = .a2c 12 1252y5a(万元).10.(2004福建,文
9、12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、C 两地修建公路的费用都 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.( +1)a 万元 B.(2 -2)a 万元7 7C.2 a 万元 D.( -1)a 万元7 7【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为 y 万元,则y=a(MB+MC)河流的沿岸
10、 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.,BAQP CM东北BAQPCM东北 EG HD4曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2.由双曲线第一定义,得 MA-MB=2a,即 MB=MA-2,y= a(MA+MC -2)aAC.以直线 AB为 x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(-2,0),C(3, ).3AC= ,(3+2)2+(r(3)2=27故 y(2 -2)a(万元).711.(2004湖北,理 6)已知椭圆 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2,点 P 在椭圆上,若x216+y29P、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,
11、则点 P 到 x 轴的距离为 ( )A B3 C D95 977 94【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若 P 为直角顶点，则 PF12PF 22=F1F22,即PF12PF 22=(2 )2,又 PF1PF 2=2a=8,PF 1PF2=18.在 RtPF 1F2中,P 到 x 轴的距离7h= ,但 b=3,不合题意，舍去 .由对称性，F 1、F 2之一为直角顶点（不妨1827=977 977设 F2为直角） ，则 PF2= .b2a=9412.(2004浙江,文 6理 4)曲线 y2=4x 关于直线
12、 x=2 对称的曲线方程是( )A.y2=84x B. y2=4x8C.y2=164x D.y2=4x16【答案】C【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为 P(x,y),其关于 x=2 对称的点的坐标为Q(4-x,y),把它代入 y2=4x 并化简,得 y2=164x13.(2004浙江,理 9) 若椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,线段1F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 53 的两段,则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.6741725【答案】D.【解析】抛物线 y2=2bx 的焦点为 F( ,0),F 1(c,0),F 2(c,0),|F1F|：|FF 2
13、|=5：3,2b,化简,得 c=2b,即 ,两边平方并化简得523bcac4a25c 2, ,245ea2e14.(2004年浙江,文 11) 若椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,线12yx段 F1F2被点( ,0)分成 53 的两段 ,则b此椭圆的离心率为( )5A. B.167417C. D.4525【答案】D【解析】见上题15.(2004湖南,文 4理 2)如果双曲线 上一点 P 到右焦点的距离等于 ,那123yx 13么点 P 到右准线的距离是( )A B13513C5 D 135【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算解： = , ,由双曲线的第二定义,得 ,d=
14、 .a135c13513ceda16.(2004重庆,文理 10) 已知双曲线 的左,右焦点分别为2,(0,)xybab,点 P 在双曲线的右支上,且 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值12F12|4|PF为( )A B4353C D27【答案】A【解析】设|PF 1|=m,|PF2|=n,则 m-n=2a, m=4n,m = a,n= a,又 m-n0时,|FP 1| 1,|FP n| 1,d= ,n21,7|nFP2n,同理,当 d0 时, 故 d 0d0d,0)(126.(2004湖南,文 15) F1,F2是椭圆 C： 的焦点,在 C 上满足 PF1PF 2的点482xP 的个数为_.
15、【答案】2【解析】 , , ,设 P ,则|PF 1|= + ,2ac2e0()xy20x|PF2|= - ,0PF 1PF 2,|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即( )2( - )2=16,解得 =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两0x0x0x顶点使 PF1PF 227.(2004重庆,理 16) 对任意实数 k,直线： 与椭圆：ykxb恒有公共点,则 b 取值范围是 .3cos(0)4inxy【答案】-1,3【解析】直线 过定点(0,b), 所以对任意的实数 k,它与椭圆ykx1 恒有公共点的充要条件是(0,b) 在椭圆上或其内部 ,22(3)()46x,解得 .0b3k28.(2004北京春,理文 14)若直线 mx+ ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,则 m,n 满足的关系式为_;以(m,n)为点 P 的坐
