《九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 （新版）新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 （新版）新人教版（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、27.2.1相似三角形的判定（1）ABCABC1.对应角_, 对应边的_的两个 三角形,叫做相似三角形.相等相等比相等比相等2.相似三角形的_,各对应边的_.对应角相等对应角相等比相等比相等如果如果A=A, B=B, C=C一、复习回顾，引入新知即对应角相等，对应边的比相等，我们就说即对应角相等，对应边的比相等，我们就说ABCABC与与ABCABC 相似，相似，K K就是他们的相似比。就是他们的相似比。同时我们也可以说同时我们也可以说AAB BC C与与ABCABC相似，他们的相似比是 那么那么 ABC ABC与与ABCABC相似，记作相似，记作 ABCABC. ABCABC.符号： 读作：相
2、似于1 1 k k3.3.如果相似比如果相似比 k k =1,=1,这两个三角形有怎样的关系这两个三角形有怎样的关系? ?AB=AB,AC=AC,BC=BCABCBBC 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？ 为了证明相似三角形的判定定理，我们先来学习下面的平行线分线段成比例定理。二、课堂实践，探究新知L3L4L5ABCDEFL1L2（课本（课本P29 探究探究）平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：平行线分
3、线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等所得的对应线段的比相等.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等所得的对应线段的比相等.ABCEDABCDE DEBC AD AD AEAEACACABAB= DEBC AD AD AEAEACACABAB=数学符号语言数学符号语言数学符号语言数学符号语言平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。延
4、长线），所得的对应线段的比相等。ABCDE练习一练习一:1 1、判断题、判断题: :如图:DEBC, 下列各式是否正确D:ADAEABAC( )C:ADACAEAB( )B:ADBDAECE( )A:ADABAEAC( )ABCED2 2、填空题、填空题: :如图:DEBC,已知:2AEAC5ADAB求:25练习二练习二:ABDCEECBCDC ABCDE(A组组)(B组组)1、如图、如图: 已知已知 DEBC, AB = 14, AC = 18 ， AE = 10，求：求：AD的长。的长。2、如图、如图: 已知已知ABBD，EDBD，垂足分别为，垂足分别为 B、D。求证：求证：AC如图,在A
5、BC 中,DE/BC,DE分别交AB,AC 于点D,E, ADE与ABC有什么关系?思思考考？课本课本P30P30 直觉告诉我们直觉告诉我们, , ADEADE与与ABCABC相似相似, ,我们通我们通过相似的过相似的定义定义证明这个结论证明这个结论. .先证明两个三角形的对应角相等先证明两个三角形的对应角相等. .在在ADEADE与与ABCABC中中, A=A, A=A,DE/BC,DE/BC,ADE=B, AED=C.ADE=B, AED=C.再证明两个三角形的对应边的比相等再证明两个三角形的对应边的比相等. .过过E E作作EF/AB,EFEF/AB,EF交交BCBC于于F F点点. .
6、在平行四边形在平行四边形BFEDBFED中中,DE=BF,DB=EF.,DE=BF,DB=EF.即即:ADE与与ABC中中, A= A, ADE= B, AED= C.ADEABCADEABC平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似相交，所构成的三角形与原三角形相似几何语言：DE/BCADEABC本定理作为相似三角形判定定理预备定理，是后面三角形相似的判定定理证明的依据。 已知：如图，已知：如图，ABEF CDABEF CD，3图中共有图中共有_对相似三角形。对相似三角形。 EOFCOD ABEF AOB FOE ABCDEFCDAOB
7、 DOC练习三练习三: : 1. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_。 2. 若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB=3 cm，AB=4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_。 3. 若ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么ABC的最大边长是_。全等4324cm三、巩固提高，应用新知 4. 如图，在ABC中，DGEHFIBC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1:4ADBEC解: （1） DE BC ADEABCAED =C
8、= 400在ADE中，ADE =180-40-45= 955. 已知：DEBC，AE=50cm，EC=30cm， BC=70cm，BAC=45，ACB=40 求：（1）AED和ADE的大小。 （2）求DE的长。（2） ADEABCADBEC1.相似比是有顺序的：相似比是有顺序的：ABC 与A1B1C1 的相似比为 k ，则A1B1C1 与ABC 的相似比为 1/k.2.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等所得的对应线段的比相等.3.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的平行于三角形一边的直线截其他两
9、边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。对应线段的比相等。4.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似角形相似课堂小结课堂小结27.2.1相似三角形的判定（2）一、复习提问，引入新知1 1、两个三角形全等有哪些判定方法？、两个三角形全等有哪些判定方法？2 2、我们学习过哪些判定三角形相似的方法？、我们学习过哪些判定三角形相似的方法？3 3、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？SSS、SAS、ASA、AAS、HL 通过定义（三边对应成比例，三角相等）通过定义（三边对应成
10、比例，三角相等）. . 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线. .全等三角形是特殊的相似三角形全等三角形是特殊的相似三角形. .判定三角形相似有简便方法吗？二、类比探究，形成新知任任意意画画一一个个三三角角形形，再再画画一一个个三三角角形形，使使它它的的各各边边长长都都是是原原来来三三角角形形各各边边长长的的k k倍倍，度度量量这这两两个个三三角角形形的的角角，它它们们分分别别相相等等吗吗？这这两两个三角形相似吗？个三角形相似吗？分分析析：通通过过度度量量，不不难难发发现现这这两两个个三三角角形形的的对对应应角角都都_，根据相似三角形的定义，知这两个三角形相似根据相似三角形的定义，知这
11、两个三角形相似相等 如何证明呢？类似于判定三角形全等的SSS的方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？探究探究1 1已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC求证：求证： 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取 ，过点，过点D作作 , 交交 于点于点E根据前面的定理可得根据前面的定理可得 : A1B1C1ABCDE又又A1B1C1ABCDE（SSS）相似三角形判定定理相似三角形判定定理三边三边_的两个三角形相似的两个三角形相似成比例 ABC反馈练习反馈练习1、试判定、试判定ABC与与ABC是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由在在ABC和和AB
12、C中，已知：中，已知：(1)AB6 cm， BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm相似，因为对应边的比相等.(2) AB=12cm， BC=15cm， AC24cm AB16cm，BC20cm，AC30cm试判定试判定ABC与与ABC是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由在在ABC和和ABC中，已知：中，已知：不相似，因为对应边的比不相等. 类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？问 题相似三角形判定定理相似三角形判定定理ABC两边成比例
13、且夹角相等的两个三角形相似。类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论2 2、图中的两个三角形是否相似？为什么？、图中的两个三角形是否相似？为什么？ 反馈练习反馈练习对于对于ABC和和ABC，如果，如果 BB，这，这两个三角形一定相似吗？试着画画看两个三角形一定相似吗？试着画画看 不不 一一 定定 相相 似似根据下列条件，判断根据下列条件，判断ABC与与ABC是否相似，并说明理由：是否相似，并说明理由：（1）A120，AB7cm，AC14cm， A120，AB3cm，AC6cm；（2）AB4cm，BC6cm，AC8c
14、m AB12cm，BC18cm，AC21cm解解：（：（1）又又 AA ABCABC（2）ABC与与ABC的三组对应边的比不等，的三组对应边的比不等，它们不相似它们不相似两三角形的相似比两三角形的相似比是多少？是多少？要使两三角形相似，不改要使两三角形相似，不改变变AC的长，的长，AC的长应当的长应当改为多少？改为多少？三、例题学习，巩固新知1 1、在、在ABC ABC 和和A AB BC C中，如果中，如果A A3434，ACAC5cm5cm，ABAB4cm4cm，A A3434，A AC C2cm2cm，A AB B1.6cm1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论，那么这两个三角形能否
15、相似的结论是是_，理由是，理由是_ _ 2 2、如图所示，、如图所示，ABCACDABCACD的条件是（的条件是（ ）相似相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似D D四、应用新知，巩固提高3 3、如图，、如图，ABCABC与与ADEADE都是等腰三角形，都是等腰三角形，AD=AEAD=AE，AB=ACAB=AC，DAB=CAE.DAB=CAE.求证：求证：ABCADE.ABCADE.ABCADEABCADE我们采用什么方式去研究相似三角形的判定方法？我们采用什么方式去研究相似三角形的判定方法？在这些环节中你学到了哪些知识？在这些环节中你学到了哪些知识？从中
16、体会到了哪些数学思想？从中体会到了哪些数学思想？类比探究证明课堂小结课堂小结27.2.1中山市东区远洋学校邓婷相似三角形的判定（3）SSS、SAS、AAS、ASA、HL2、学过的判定三角形相似的方法有哪些？一、复习提问，引入新知1、判定三角形全等的方法有哪些？(1)定义法:A=D, B= E, C= FABCDEF(2)（预备）定理（平行法）（平行法）: ABCDEDEBC ADEABC(3)判定定理1（类似SSS）:ACBEDFABCDEF ，A=DABCDEF（4）判定定理2（类似SAS）：ACBEDF3、类比全等三角形的判定，判定三角形相似还有其他方法吗？AAS、ASA、HL二、类比探究
17、，形成新知探究一：如果有两角分别相等，那么这两个三角形相似吗？ 观察两副三角尺，其中同样角度（30与60，45与45）的两个三角尺,它们一定相似吗？已知：如图，在ABC和ABC中，A=A，B=B，求证：ABC和ABC相似.BACABCDE证明：在AB上截取AD=AB，画DEBC交AC与点E， 则：ADEABC，ADE=B， B=B B=ADE AD=AB， A=A ABCADE ABCABC用数学符号表示：用数学符号表示： A=A， B=B ABC ABC可以简单说成：两角分别相等的两个三角形相似。两角分别相等的两个三角形相似。判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
18、 那么这两个三角形相似。ABCABC练习：下列图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCACBABCDE(1)(2)(3)(4)例1 如图，RtABC中，C=90. AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，EDAB,垂足为D. 求AD的长.解： EDAB EDA=90 .又 C=90 , A= A AED ABC注意：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。探究二：对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?已知:在Rt ABC和Rt ABC中，C=90
19、， C=90 ，求证:Rt ABCRt ABC.证明:由勾股定理，得Rt ABCRt ABC.ABCABC判定定理4（类似HL）:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 用数学符号表示：用数学符号表示： 在在 中中 ABC ABCRtABC 和 RtABCABCABCBCAEDF练习：如图，ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F， 你能从中找出几对相似三角形？2.2.如图，如图，1=2=31=2=3，图，图中相似三角形有哪中相似三角形有哪些？些？ABCDE321 1. 判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正
20、确。（1 1）顶角相等的两个等腰三角形相似。）顶角相等的两个等腰三角形相似。( )( )（2 2）有一个角为）有一个角为120 120 的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。( )( )（3 3）有一个角为）有一个角为4040的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。( )( ) (4) (4)两个等腰三角形相似两个等腰三角形相似. .( )( ) AED ADB ABC 三、巩固提高，应用新知3. 3. 如图，如图，RtRtABCABC中中, ,CDCD是斜边上的高，是斜边上的高，求证：求证：（1 1）ACDACDABCABC；（2 2） CBDCBDABCABC。证明: ACB=A
21、DC=90又 A = A ACDABC CDB=ACB=90B = B CBDABC(1)CD AB ADC=90 (2)CD AB CDB =90 4.4.已知：已知：RtRt ABC ABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB的高。的高。 求证：求证： ACAC2 2=AD=ADABAB证明: A+ACD= 90 BCD+ACD= 90 A= BCD ACB= ADC = 90 ABCACD AC2=ADAB课堂小结课堂小结相似三角形的判定方法有哪些？方法方法1 1：定义法：定义法三角分别相等，三边成比例方法方法5 5：判定定理判定定理3 3两角对应相等两角对应相等方法方法2 2：（预备）定理平行于三角形一边的直线与其它两边平行于三角形一边的直线与其它两边 相交，所得三角形与原三角形相似相交，所得三角形与原三角形相似方法方法3 3：判定定理判定定理1 1三边成比例三边成比例方法方法4 4：判定定理：判定定理2 2两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等方法方法6 6：判定定理判定定理4 4斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
