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1、1,5 机械系统弹性动力学基础,单自由度和多自由度动力学系统的自由度数是有限的，而本章涉及的弹性系统是连续系统，具有无限多个自由度。方法： 解析法 有限元法 传递矩阵法,2,本章内容5.1 弹性体振动5.2 传递矩阵法5.3 动力学问题有限元法5.4 基于Ansys的弹性动力学分析,3,5.1 弹性体振动,弹性体系统具有连续分布的性质，弹性体内任一质点的运动，不仅与时间有关，而且与位置坐标有关。因此需要用偏微分方程（PDE）来描述。,4,解：设张力T不变，则恢复力为所以微分方程为：故有,建立离散系统振动方程的方法:如图所示，以张紧弦上的集中质量振动为例,5,建立连续系统振动方程的方法:以直杆的
2、纵向振动为例,6,由材料力学知,7,共同点：以牛顿定律为出发点。,微元段的运动方程为,8,5.1.1 扭转自由振动,如图所示，由材料力学得,9,微元段的平衡方程为,代如整理得,用分离变量法求解以上方程，设,10,求导可得,整理得,11,上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，两边要想相等只能等于常数。令该常数为则有,解以上两个方程得,12,因此可得到扭转振动的通解,当边界条件已知时，可求出固有频率。,13,例5-1 如图所示为一端固定的圆轴，试求固有频率。,解：根据题意知，左端位移为0，右端外力为0。故有边界条件如下,14,代入可得,15,固有频率为,振型,16,5.1.2 梁的横向振动,17
3、,18,19,20,21,22,23,24,5.2 传递矩阵法,5.2.1 轴的纵向振动（集中质量法）,25,如图所示，一端固定的轴作纵向自由振动时，我们可把此轴分为n个单元，对每个单元用集中质量法研究。将每个单元简化为质量和弹簧，当单元足够小时，可以保证工程上所需的精度。取任一单元，用位移和力表示状态向量，则质量右端状态向量为质量左端状态为,26,由牛顿定律,对于简谐振动,故有,27,写成矩阵形式,28,对于弹簧有,用传递矩阵表示如下,29,综合上述关系，有,Ci为第i个子结构的传递矩阵。,30,连续运用传递关系，有,31,边界条件为,32,频率方程为解方程可求固有频率,33,5.2.2 轴
4、的扭转振动（集中质量法）如图所示，方向符合右手定律。,34,对图示扭转系统,对旋转轮盘，点矩阵为,35,对扭转弹簧，场矩阵为,综合可得传递矩阵为,36,5.3 动力学问题有限元法,5.3.1 引言 有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了
5、巨大的经济和社会效益。,37,（1）有限单元法的基本思想 有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程“组集”在一起而形成总体代数方程组、计入边界条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结果就越精确。,38,（2）有限元计算步骤1 离散化；2 单元分析；3 单元合成；4 求解；5 分析结果。简言之：“一分一合”,39,（3）有限元法的基本方法和理论1 直接有限元方法；2 虚功原理方法；3 能量变分原理方法；4 迦辽金方
6、法（加权残数法）。,40,有限元的数学含义：无论任何方法，静力有限元法要得到并求解如下方程：,而动力有限元法要得到并求解如下方程：,41,5.3.2 一维有限元模型,42,建立单元动力学方程时，要求出质量矩阵和刚度矩阵，首先需要确定单元运动模式，可参考静态位移模式进行。在振动方程中令时间为常数，即,43,所以有,44,45,46,质量矩阵可以通过动能求得,47,质量矩阵可以通过动能求得,48,单元动能为,49,所以,50,51,对于纵向振动，轴向单元如图所示,52,建立刚度矩阵和质量矩阵与扭转振动相似,53,2. 轴的横向振动如图为横向振动梁单元,54,单元刚度矩阵推导如下,55,56,57,
7、58,59,60,61,62,5.4 基于Ansys的弹性动力学分析,5.4.1 Ansys简介 有限元方法是20世纪中叶在电子计算机诞生之后，在计算数学、计算力学和计算工程料学领域诞生的最有效的计算方法。经过40年的发展不仅使各种不同的有限元方法形态相当丰富，理论基础相当完善，而且已经开发了一批使用有效的通用和专用有服元软件，使用这些软件已经成功地解决了整机、机械、土建、桥梁、机电、造船、宇航、核能、地震、气象、水文、物理、力学、电磁学以及国际工程等领域众多的大型科学和工程计算难题，并且取得了巨大的经济和社会效益。目前常用的商品化软件有： Ansys，Nastran，Adina，Marc等。
8、,63,64,ANSYS中处理器有,65,66,5.4.2 分析过程与实例,67,例1：弹簧质量系统分析。已知：质量为2kg，刚度为8N/m。,68,建立模型,69,FINISH,70,/SOLUANTYPE,MODALMODOPT,SUBSP,1D,1,ALL,0D,2,UX,0SOLVEFINISH,71,！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPFINISH,72,例2：模态分析。已知：m=0.1kg,E=207Gpa,L=0.12m,Area=0.003m2,h=0.05m,I=6.25E-7m-4。,73,建立模型,74,75,！求解/SOLUANTYPE, M
9、ODALMODOPT,REDUD,1,ALL,0 !第一节点约束M,2,DY,4,1 !定义第二至第四节点,UY为主自由度方向SOLV EFINISHEXPASS ONEXPAN,2 !扩展两个模态SOLVEFINISH,76,！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPSET,1,2PLDISPFINISH,77,例3：多自由度动力学分析。,78,建立模型：,79,N,1,0,0$ N,2,1,0$ N,3,2,0N,4,3,0$ N,5,4,0TYPE,1$ REAL,1E,1,2$ E,4,5TYPE,1$ REAL,2E,2,3$E,3,4TYPE,2$REAL,3
10、E,2REAL,4E,3REAL,5E,4FINISH,80,！求解/SOLUANTYPE, MODALMODOPT,SUBSP,3D,1,ALL,0, ,5,4SOLVEFINISH,81,！检查结果/POST1SET,LISTSET,1,1PLDISPSET,1,2PLDISPFINISH,82,例4：机翼的模态分析。,83,/FILNAM,MODAL/TITLE,Modal Analysis of a Model Airplane Wing /PREP7 ET,1,PLANE42 ! Define PLANE42 as element type 1 ET,2,SOLID45 ! Defi
11、ne SOLID45 as element type 2 MP,EX,1,38000 MP,DENS,1,1.033E-3 MP,NUXY,1,.3,建立模型,84,K,1 ! Define keypoint 1 at 0,0,0 K,2,2 ! Define keypoint 2 at 2,0,0 K,3,2.3,.2 ! Define keypoint 3 at 2.3,.2,0 K,4,1.9,.45 ! Define keypoint 4 at 1.9,.45,0 K,5,1,.25 ! Define keypoint 5 at 1,.25,0 LSTR,1,2 ! Create a
12、straight line between keypoints 1 and 2 LSTR,5,1 ! Create a straight line between keypoints 5 and 1 BSPLIN,2,3,4,5,-1,-1,-.25 ! Create a B-spline,85,AL,1,3,2 ESIZE,.25 AMESH,1 ESIZE,10 TYPE,2 VEXT,ALL,10 /VIEW,1,1,1 /ANG,1 /REP EPLOT FINISH,86,/SOLU ANTYPE,MODAL ! Choose modal analysis type MODOPT,S
13、UBSP,5 ! Choose the subspace mode ! extraction method, extracting 5 modes ESEL,U,TYPE,1 ! Unselect element type 1 NSEL,S,LOC,Z,0 D,ALL,ALL NSEL,ALL MXPAND,5 SOLVEFINISH,87,/POST1 SET,LIST,2 SET,FIRST PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXT PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXTPLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXT PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 SET,NEXT PLDISP,0 ANMODE,10,.5E-1 FINISH /EXIT,
