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1、I摘 要微分学中值定理是微分学的核心内容，是数学分析中一个重要部分，占有举足轻重的地位，作为学习数学的我们，学习微分学是学习数学的基础，可以使我们更好的掌握和学好数学分析.微分学中值定理包括四个定理，即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理，本文讲述了各定理的概念以及各定理之间的内在联系，中值定理的认识和学习尤为重要，通过我们认真学习掌握了微分中值定理的本质和意义.与此同时，微分中值定理的应用也至关重要，一般来说，微分学中值定理的基础应用主要有四个方面：讨论方程根（零点）的存在性，近似值，不等式的证明，等式的证明，通过这四个方面的应用，我们可以深层次的挖掘微分中值定理的意义
2、，再次研究微分中值定理的性质，对研究生的学术研究颇为重要.关键词:等式证明;不等式证明;方程根（零点）存在性;近似值.IIAbstractValue theorem in differential calculus is the core content of differential calculus, is an important part in mathematical analysis, occupies an essential position, as we will learn math, learning mid-value theorem is the basis of l
3、earning mathematics , differential calculus enables us to better grasp and learn mathematics analysis. This thesis has been introduced four different theorems ,including Lagrange theorem and Cauchy mid-value theorem Taylor mean value theorem and the internal relations between the theorem. by the und
4、erstanding of value theorem in differential calculus and studying, we have mastered differential mean value theorem and in all aspects of the application, the application of value theorem in differential calculus are: for example, proved that when an in equation discuss the existence of the equation
5、 root(zero point)and the application of approximation and so forth. Through these four aspects of application, we can deeply dig the meaning of the differential mean value theorem, to learn the properties of differential mean value theorem, again for the graduate students academic studies are signif
6、icant.Keywords： equation to prove ; in equation to prove; the discussion of the roots (zero) in existence ; approximate value.III目录摘 要 .IAbstract.II1 引言 .12 微分学中值定理的定义 .12.1 预备知识 .12.2 费马引理 .22.3 罗尔中值定理 .32.4 拉格朗日中值定理 .42.5 柯西中值定理 .62.6 泰勒中值定理 .103 微分学中值定理之间的关系 .104 微分学中值定理的应用 .114.1 罗尔定理的应用 .114.2
7、拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 应 用 .134.3 柯 西 中 值 定 理 的 应 用 .164.4 泰 勒 中 值 定 理 的 应 用 .18结束语 .20参考文献 .21致谢 .22咸阳师范学院 2010 届本科毕业毕业论文（设计）11 引言微分学中值定理的研究开始于 17 世纪初期，起初由著名数学家费马提出了费马引理，那时候人们已经对微分学中值定理有了初步的了解，逐渐地，人们对费马引理不断的探索和研究，由著名数学家罗尔，柯西，拉格朗日和泰勒将微分学中值定理推向高潮，继而出现了罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理，这几位著名的数学家为数学的发展奠定了坚实的基础，
8、贡献了他们毕生的心血，同时也在数学领域占有优越的地位，为人类创造了不可估量的前景和趋势.所以，探索和研究微分学中值定理是学习数学的基础，微分学中值定理是微分学的核心内容，乃至是数学中的一个重要部分.现如今，人们对微分学中值定理问题的研究特别感兴趣，并且研究的结果令人非常满意，成果充实丰富，中值定理在不同方面有着不同的应用.不仅仅是数学分析，我们学习的高等数学中也有微分中值定理的相关知识，而且无论是对数学专业还是非数学专业的学子,或者是研究生入学考试还是更深层次的学术型研究都会涉及到微分中值定理，微分中值定理不可忽视.因此，我们有必要研究有关微分学中值定理,作为数学专业的学子，学习微分学是学习其
9、他相关数学专业知识的新起点，可以让我们更好的掌握和学好数学分析，研究和探索微分中值定理，它揭示了函数的本质，函数的整体和局部相互联系，相辅相成.此外,微分中值定理就像一座桥梁把函数和导数密切联系在一起，正如闭区间上的实函数与其导函数，微分中值定理是微分学不可分割的一部分，我们将四个基本的中值定理统称为微分学中值定理.本文按照三大部分来写，主要讲述了四个定理的定义及证明过程，四个定理之间的内在关系，四个定理在不同方面的不同应用，利用微分中值定理来讨论一些方程根（零点）的存在性, 对极限的求解问题，等式的证明，不等式的证明和近似值求解，通过这样的学习，我们才能真正理解微分中值定理，才可以将数学与生
10、活联系在一起，达到人生的更高境界.2 微分学中值定理的定义2.1 预备知识在学习微分学中值定理之前，我们先了解一些闭区间上连续函数的性质和相关定理.微分学中值定理及其应用2最大最小值定理：闭区间 ，若函数 在此区间上是连续的，则函数,ba)(xf在此闭区间 上有最大值与最小值.)(xf,ba介值性定理：在闭区间 上连续的函数 ,有 ，若 为介,)(xf)(bfa于 与 之间的任意一个实数 或 ，则在开)(aff )(baff区间 上至少存在一个点 ，使得 .,b根的存在性定理：在闭区间 上，函数 是连续的，有 与,b)(xf )(af异号即 ，则在开区间 上至少存在一个点 ，使得)(f )0(
11、)fa,a，即方程 在开区间 内至少有一个实数根.0x),(引理 2.2（费马引理）在点 的某个邻域 内，设函数有定义，且在点 处00x函数 可以求导，若对于任意一点 ，使得 都成立，（或)(xf xv)(0xf0f），那么 .)(0xf证明：设 为函数 的一个极小值点，那么就存在 ，在开区间x 0上，对于任意的一个点 ，使得 是成立的.),(00x)(0xff如果 ，则 , 如果 ，则 .x)(0xf0取极限0lim0ffMx0)(lim0xffNx因为 在点 处可导，所以)(f0 0)(li0ffMx根据极限的局部保号性有 ，因此 .,0故有)(lim00xffx即 . )(f证毕.费马引
12、理的几何意义：在平面直角坐标系 中，函数 的曲线如图XOY)(xf所示，在曲线 上，若有一点 ,在这一点存在一条切线，且 为它)(xf )(,fA咸阳师范学院 2010 届本科毕业毕业论文（设计）3的一个极值点，则这一点的切线与 X 轴是相互平行的. Y ABX12定理 2.3（罗尔中值定理） 如果函数 满足以下三个条件：)(xf（1） 在闭区间 上连续；)(xf,ba（2） 在开区间 上可导；)(（3） ，)(fa则在开区间 内，至少存在一个点 ，使得 .,b0)(f证明：因为在闭区间 上，函数 是连续的，根据最大值与最小值定理，,a)(xf此函数有最大值和最小值，分别用 表示，现在讨论分两
13、种情况：mM,（1）当 时，则函数 在闭区间 上必为一个常数，此结论是成立mM)(xf,ba的.（2）当 时,则因为 ，有最大值 与最小值 至少有一个在开 )(fam区间 内某一点 处取得，因此 是 的一个极值点，又因为条件（2） ， ),(baxf函数 在点 处可以求导，所以，根据费马引理我们可以知道 .xf 0)(f证毕.罗尔中值定理的几何意义：在平面直角坐标系 中，连续函数 的XOY)(xf曲线如图所示，若 满足罗尔中值定理的三个条件，则连续函数曲线)(xf上至少存在一个点 ，使得在点 处的一条切线与 X 轴相互)(xfy)(,fpp微分学中值定理及其应用4平行，其.)(,)(,bfBafAY PABX定理 2.4（拉格朗日中值定理) 如果函数 满足以下两个条件：)(xf（
