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1、2014 年 8 月 24 日模拟三承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C 所属学院（请填写完整的全名）： 机电工程
2、学院 参赛队员 (打印并签名) 1. 张亚明 2. 张威 3. 刘焱焱 日期： 2014 年 8 月 24 日2014 年河南科技大学数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注 食品价格变动分析摘要本文对全国 50 个城市主要食品平均价格变动情况的问题进行了建模、求解和相关分析。针对问题一，将 50 个城市作为我国的代表，同时将主要食品进行分类，分析各类食品的波动特点以体现我国食品价格波动的特点。第一步分析附录中的数据，并对数据进行处理，依据传统食品分类法分为八大类。第二步根据食品分类结果，通过制作价格波动图及查找资料分析各类食品价格的
3、波动特征，从而体现我国食品价格波动的特点。针对问题二，我们利用各个食品价格变动折线图，我们根据第一问的图像和方差，将方差接近的放在一起分为四类，在四大类食品中选出具有代表性的食品进行进一步的研究。首先我们根据问题一的折线图大致推测和实际数据大致吻合的函数类型，应用 SPSS 软件和 MATLAB 软件，对相应数据进行线性，二次，三次，对数等多种模型的拟合。然后利用负相关系数 值、方程显著性检验 F2R对函数曲线和实际数据的吻合度进行检验。如果模型的拟合效果较好，就运用拟合函数进行 2014 年 5 月份的走势预测，并利用前期数据计算预测值与实际值的相对误差，都处于合理范围内，说明预测有效。针对
4、问题三，我们通过所给数据及查找的数据，利用主成分分析法，分析得出27种食品种类中的主成分依次为第19、21、23、25、1、2、3、26、27种食品。故得到可以通过检测较少食品种类，就能相对精确地预测CPI数值。经过对地域特点的考察，选取陕西和上海两地，通过查找相关CPI和食品价格数据，运用主成分分析法，得出对CPI影响大的几类食品，然后通过matlab算法实现，再由所得数据和图表的分析比较得到，不同地区应选取不同的食品种类进行检测。关键词：分类，曲线拟合，线性回归，主成分分析法，SPSS一：问题的重述（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。（2）对 2014 年 5
5、 月份食品价格走势进行预测。（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件 1 表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。二、问题假设（1）数据真实可靠。（2）由于不可预料的大型地质灾害，如地震、洪涝灾害、旱灾等，可能引起全国食品零售价格的波动，所以本论文所有模型所用的数据都基于不发生大型地质灾害的假设之上。本论文中对 2014 年 5 月的食
6、品价格走势做出的预测，也是基于这个月份没有大型地质灾害的假设之上。（3）不考虑国际粮价对国内的影响。三、符号说明名词符号 含义 单位i根据所给表格中的食品种类排序ijx第 i 种食品在第 j 时间点的价格元2i第 i 种食品的价格方差E 累计贡献率四模型的建立与求解4.1 问题分析问题一的要求为根据附录及相关统计网站的数据来分析我国食品价格波动的特点。我国食品价格波动特点需要典型的食品价格数据来进行分析得到。故可将 50 个城市作为我国的代表，同时将主要食品进行分类，分析各类食品的波动特点以解决问题一，则分为两个步骤：第一步是要分析附录中的数据，并对数据进行处理，将食品合理分类；第二步是根据食
7、品分类结果以及查找资料确定各类食品价格的波动特征，从而体现我国食品价格波动的特点，并为下一步预测做准备。4.1.1 数据的分析附录提供了从2014年1月1日到2014年4月10日的50个城市主要食品平均价格变动情况的数据。由于每种食品的价格不是在一个价格区间，比如有的食品价格在23 元之间波动，而有的食品价格在6070 元之间波动，在观察它们的价格走势时会由于数量级的不同而导致趋势的不同。为了消除量纲和量级对趋势的影响，需要对数据进行归一化。4.1.2 分类标准的分析首先，我们考虑传统食品分类法，即以食品本身的属性进行分类。同一类的食品，应该会呈现相似的价格波动趋势，解决问题一题目中分析我国食
8、品价格波动趋势的问题。第一类：大米类（粳米） ；第二类：面粉类（富强粉、标准粉） ；第三类：豆制品（豆腐） ；第四类：食用油（花生油、大豆油、菜籽油） ；第五类：肉蛋类（猪肉、牛肉、羊肉、鸡、鸭、鸡蛋） ；第六类：鱼类（活鲤鱼、活草鱼、带鱼） ；第七类：蔬菜类（大白菜、油菜、芹菜、黄瓜、西红柿、豆角、土豆） ；第八类：水果类（苹果、香蕉） 。大米这类食品属于生活必需品,价格波动较小，稳定性较好。总体而言,大米的价格走势将在近期基本保持不变。由图表可以看出富强面粉和标准面粉的价格走势基本稳定；同时富强面粉，标准面粉的价格方差最低，说明其价格波动最小。 ，其价格水平将基本在较小的范围内波动。由此表
9、可以看出豆制品（豆腐）的价格一直保持上升水平，其价格方差为0.002546，较低，说明豆腐价格小幅波动上涨.5.2.1 模型分析花生油和大豆油走势偏弱同时花生油和菜籽油的价格方差分别为 0.079467和 0.052865，较高，说明二者的价格在一定范围内会持续波动，而大豆油的价格方差为 0.0028562，较低，表明价格在一定时期内会保持稳定。其中鸡蛋、鸭肉和两种鸡肉的价波动幅度非常小,价格处于稳定状态。牛肉和羊肉的整体价格处于上涨趋势,但变化幅度不大牛肉涨幅大于羊肉涨幅。鱼类经历了由小幅度波动上升到小幅度波动下降的过程。冬季产鱼数量较少，价格随之小幅度上升；而春季和夏季天气较暖，产鱼数量较
10、多，价格略有下降。蔬菜类中波动幅度存在明显差异，其中，大白菜、油菜、芹菜、土豆的价格相对稳定，即使波动，也只是很小范围内的波动，可视为基本稳定，而西红柿、黄瓜走势大致相同，且波动幅度较前几种更加明显，而豆角的价格变化幅度更加明显，与其他蔬菜类都没有相似性，出现这种情况的可能原因是豆角种植条件特殊，除了季节变化，还可能有多种因素影响其价格走势。两种水果呈现相似的价格走势，即年后出现小幅上涨趋势，其余趋于平缓，基本无变化，分析原因是冬季需求量变大，因而出现小幅上涨的趋势，总体趋于平缓则说明了水果种植与季节变化并无明显关系。4.2 模型建立原理4.2.1曲线拟合是在数据分析上常用的方法，就是利用参数
11、化的曲线构造函数来逼近一组给定的数据点所构成的函数 ()fx,可是参数化的曲线()yfxg不可能严格的通过采样点，但能够希望 g尽可能地靠近这些点，就是使其：( =1,2,3,n)在某种意义上达到最小。()iixf4.2.2超定系统线性方程 线性方程的超定系统是指方程的个数多于自变量的个数系统。求解超定系统一般采用最小二乘法。超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组注：超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。1211 ()mnnnraray 如果有向量 a 使得212 )( imni iii yarar达到最小，则称 a 为上述超定方程的最小二乘解。4.3 模型建立过程由问题一我们根据食品价格走
12、势图可以了解到不同类食品的价格走势呈现不同的规律，根据第一问的各类食物的方差，我们分别从四大类食品（价格平稳型食品、价格温和波动型食品、价格迅速波动型食品、价格剧烈波动型食品）选取有代表性的食品，运用SPSS软件求解，求得食品价格的变动规律。模型中各数据点是离散的数据，属于非线性相关的点，我们取年份作为x轴，各个食品种类的价格作为y轴。第一步:先选定一组函数 ，令12(),.(),mrxrxn（1）12()().fxarxa其中 a1,a2, ,am 为待定系数。 第二步:以最小二乘准则确定 a1,a2, ,am ，即使 n个点 处 与 (,)ixyi()ifx的差 i 的平方和最小 。记 2
13、2121121(,)() ()nnmi iiiinkiiiJafxyar问题归结为:求 a1,a2, ,am 使 J(a1,a2, ,am) 最小。 4.3.1第一类（价格平稳型食品）我们以豆制品（豆腐）为例进行求解：观察豆腐的价格波动图，计算豆腐价格线性函数。线性回归的方法设价格随时间变化的方程是：y=+x+,其中 N（0， ） 。2SPSS 求解模型过程如下：通过附录中的 Madlab 程序可以得到函数表达式0.41x35.4y复相关系数 ,方程显著性检验 ,故回归方程显著。3.2R374.6F利用线性回归方程，可以估计五月份的价格，为检验效果，比较前几个月的原始价格与预测值。结果见表：表
14、中预测值与原始值的相对误差最大不超过 0.7%，且大多数不超过 0.5%，说明预测具有一定准确性。x=13,y=4.4886.x=14,y=4.4927.x=15,y=4.4968即预测得到五月份三个时间段豆制品的价格分别是：4.4986 元/千克，4.4927 元/千克，4。4968 元/千克4.3.2 第二类食品（价格温和波动型食品） 我们以鸡蛋为例进行求解：SPSS曲线拟合：模型汇总和参数估计值因变量: 时间模型汇总 参数估计值方程R 方 F df1 df2 Sig. 常数 b1 b2 b3对数 .352 4.352 1 8 .070 175.787 -74.732倒数 .345 4.2
15、13 1 8 .074 -68.289 720.253二次 .367 4.641 1 8 .063 43.816 .000 -.402三次 .756 10.817 2 7 .007 -2609.536 406.558 .000 -1.453复合 .492 7.763 1 8 .024 9256277550.142 .111Logistic .492 7.763 1 8 .024 1.080E-010 8.982自变量为 鸡 蛋。根据鸡蛋价格数据的走势，我们推测的函数模型包括对数、二次、三次、反向、复合和 S 曲线，但比较 的值，我们可以看到这些曲线得到的 值均2R2R小于 0.8，表明实际数据和预测函数极度不吻合，所以鸡蛋价格不遵循一定的规律，导致我们不能比较准确的得到鸡蛋价格的预测结果,这也是我们目前构建模型方面的不足之处。但我们可以根据鸡蛋价格每个时期的跌涨幅度得到价格变动的大致范围，即：最大涨幅为 2.5%，最大跌幅为 3.0%,平均幅度为-0.14375%，并且根据4、5 月份的幅度变化的斜率趋势来看，鸡蛋价格在 5 月份跌
