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1、姓名： 常志勇办公地点：数学与统计学院 统计学系电话： 13525982660电子邮箱： ,0.评价问题,“评价”为衡量评定人或事物的价值。新华字典如：咱们班谁最高？谁家最有钱？谁是高富帅？一个树的价值是？,第一节 综合评价方法的基本概念,综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象(或系统)，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。 综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问题。如：教师绩效测评。 综合
2、评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。 构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。,1.被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有 个被评价对象（或系统），分别记为 。 2.评价指标 评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统
3、所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。,注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。4.综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。 不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为 指标权重向量为 ，由此构造综合评价函数为
4、 。,如果已知各评价指标的 个观测值为 5 ，其中 ，则可以计算出各系统的综合评价值 ， 。根据 值的大小将这 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。5.评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。,综合评价的一般步骤： 明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。,构造权重的方法多元统计方法，如多元回归、主成分分析、因子分析等。模
5、糊数学方法：由模糊数学发展而来，包括模糊聚类、模糊判别、模糊综合评价等方法。简易方法：主要包括头脑风暴法、层次分析法、Topsis法、秩和比法等其他，如：数据包络分析法，熵值法等,第二节 模糊综合评判,综合评判是综合决策的内容。模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策下面以电脑评判为例来说明如何评价。某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、多媒体部件等）”；”价格”。于是请同宿舍几个同学一起去买电脑。,=“运算功能（数值、图形等）”；,=“存储容量（内、外存）”；,=“运行速度
6、（CPU、主板等）”；,=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；,=“价格”。,称,因素集。,为了数学处理简单，先令,评语集,其中,=“很受欢迎”；,=“较受欢迎”；,=“不太受欢迎”；,=“不受欢迎”；,任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。,若一个给定的电脑，对于运算功能 有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎” ，没有人认为“不受欢迎”，则 的单因素评价向量为,同理，对存储容量 ，运行速度 ，外设配置 和价格,分别作出单因素评价，得,组合成评判矩阵,对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要
7、求不高。于是得各因素的权重分配向量：,作模糊变换：,存储容量,运行速度,外设配置,价格,运算功能,若进一步将结果归一化得：,结果表明，该用户对这种微机表现为“最受欢迎”的程度为0.32，“较受欢迎”和“不太受欢迎”的程度为0.27，“不受欢迎”的程度为0.14。按最大隶属原则，结论是：该电脑“很受欢迎”。,模糊数学知识简介,设U是论域，映射A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是
8、模糊子集的特殊情形.,例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,隶属函数的确定,1. 模糊统计方法2. 指派方法3. 借用已有的“客观”尺度,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成. 例：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0
9、.8, 0.9,0.95，则,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.,常用的综合评判模型,1、主因素决定型2、主因素突出型3、加权平均型,第三节 层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,一. 层次分析法的基本步骤
10、,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1, , Cn对O的权
11、向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+
12、0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR = CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对
13、目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3) w2(3) wn(3),组合权向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验,w(2) 0.2630.4
14、750.0550.0900.110,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300,方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T,组合权向量,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第s层对第1层的组合权向量,其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,二. 层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,
