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1、决策分析2011 年数学建模培训2011年 5月2011/9/10 西安交通大学 理学院 2主 要 内 容 预备知识 决策分析简介 随机性决策 效用函数 决策准则 贝叶斯决策 小结2011/9/10 西安交通大学 理学院 3预备知识 可以在相同条件下重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，但事先能明确全部可能的结果； 进行试验之前不能肯定哪一个结果会出现。 例如： 抛掷一枚硬币，观察其出现正面、反面的情况 记录车站售票处一天内售出的车票张数 从一批元件中抽取一个，测试其使用寿命n 随机试验2011/9/10 西安交通大学 理学院 4预备知识 随机变量 ： 随试验结果的不同而变化的量，是试验结果
2、的函数 离散型随机变量 ： 其所有可能取值为有限个或虽有无限个但可以一一排列 连续型随机变量 ：其可以取某个区间内的所有值，所有可能取值不能像离散型变量那样一一列出2011/9/10 西安交通大学 理学院 5预备知识 设 为一个随机变量，记称 为随机变量 的概率分布函数。n 随机变量的分布函数n 性质2011/9/10 西安交通大学 理学院 6预备知识n 离散型随机变量的分布律 n 设 为离散型随机变量，其可能取值为 ，则称为 的分布律 (概率函数 )。通常用如下表格的形式表示。n 性质 2011/9/10 西安交通大学 理学院 7预备知识 设随机变量 的分布函数为 ，若存在一个非负函数 ，使
3、对任意实数 ，有则称 为连续型随机变量， 为其概率密度 .n 连续型随机变量的密度函数n 性质 2011/9/10 西安交通大学 理学院 8预备知识 离散型变量n 连续型变量n 数学期望 (随机变量取值的平均结果 )n 方差 (所有可能取值偏离均值的分散程度 )2011/9/10 西安交通大学 理学院 9预备知识 伯努利 (Bernoulli)试验假设试验 E只有两种结果 和 ， 其中 ， ，则将 E独立地重复进行 n次构成的试验称为 n重伯努利试验 ，有时简称伯努利试验。如：掷硬币 (出现正面和反面 )、射击 (命中和未命中 )等施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安：西安交通大学出版
4、社 , 2003.2011/9/10 西安交通大学 理学院 10预备知识n 两点分布0 1 在一次试验中，事件 发生的概率为 ，不发生的概率为 。若以 记事件 发生的次数，则其可能取值为 0和 1，它的分布律为或者这个分布称为两点分布 (0-1分布 )。2011/9/10 西安交通大学 理学院 11预备知识事件 在一次试验中发生的概率为 ，随机变量 表示 在 n重伯努利试验中发生的次数，则 且n 二项分布施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安：西安交通大学出版社 , 2003.均值与方差2011/9/10 西安交通大学 理学院 12预备知识n 泊松 (Poisson)分布若随机变量 的概
5、率函数为则称 。施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安：西安交通大学出版社 , 2003.均值与方差2011/9/10 西安交通大学 理学院 13预备知识 若连续型随机变量 具有概率密度则称 服从区间 上的均匀分布 ,记为 n 均匀分布均值与方差2011/9/10 西安交通大学 理学院 14预备知识n 正态 (Gauss)分布 若连续型随机变量 具有概率密度其中 为常数，则称 服从参数为 的正态分布，记为 。 均值与方差2011/9/10 西安交通大学 理学院 15预备知识 在正态分布中，若 ，则称 服从标准正态分布 N(0,1)，其密度函数和分布函数分别为n 标准正态分布分布函数密度函
6、数重要性质若 ，则2011/9/10 西安交通大学 理学院 16预备知识n 泊松定理在 n重伯努利试验中，若事件 在每次试验中发生的概率为 (与试验次数 n有关 )，如果当时， ( 0为常数 )，则有作用： 对二项分布 (n 、 很大， 很小 )作近似计算施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安：西安交通大学出版社 , 2003.2011/9/10 西安交通大学 理学院 17预备知识n De Moivre-Laplace中心极限定理在 n重伯努利试验中，事件 在每次试验中出现的概率为 ( )， 为 n次试验中 出现的次数，则作用： 对二项分布 (n很大 )作近似计算施雨，李耀武 . 概率论
7、与数理统计 . 西安：西安交通大学出版社 , 2003.2011/9/10 西安交通大学 理学院 18预备知识n 置信度 (置信水平 )总体参数落在样本统计值某一区间内的概率，或区间估计的可靠程度。特定个体对待定命题真实性相信的程度。施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安：西安交通大学出版社 , 2003.2011/9/10 西安交通大学 理学院 19预备知识 设 、 为随机试验 中的事件， 表示在事件 发生的条件下 发生的概率，且有n 贝叶斯分析n 为 n个互不相容的事件，且n ，则 是样本空间 S的一个划分n 对任意事件 ，由全概率公式，有施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安
8、：西安交通大学出版社 , 2003.2011/9/10 西安交通大学 理学院 20预备知识 贝叶斯公式n 贝叶斯定理n 为随机事件的结果或观测值；n 为 先验概率分布 ；n 为 后验概率分布 .施雨，李耀武 . 概率论与数理统计 . 西安：西安交通大学出版社 , 2003.2011/9/10 西安交通大学 理学院 21决策分析简介n 定义研究不确定性决策问题的一种系统分析方法，其目的是改进决策过程，从一系列方案中找出一个能满足一定目标的合适方案。 - 中国大百科全书 决策是从一组备选方案中选择所偏爱的方案或行动路线的过程，它渗透到生活的每个方面。决策通常涉及外部世界的不确定性以及个人偏爱的冲突
9、，通常从信息的集聚开始，通过主观概率的估计和审议直到选定最终行动 - 认知科学百科全书 2011/9/10 西安交通大学 理学院 22决策分析发展简史 1738年， Bernoulli提出了效用和期望效用的概念； 1950年， Wald用对策论的定理解决了统计决策中的一些基本问题； 1954年， Blackwell和 Girshick将主观概率和效用理论整合成一个求解统计决策问题的清晰过程； 1954年， Savage建立了具有理论体系并形成具有严格的哲学基础和公理框架的统计决策理论； 随后，形成以 Bayes分析为基础的统计决策理论； 今天，决策分析已形成工业、商业和政府部门制定决策所使用的
10、重要方法。2011/9/10 西安交通大学 理学院 23决策问题示例 一投资者有笔资金要投资，有两个方向供他选择 ：购买股票，根据市场情况，可净赚 5000元，但也可能亏损 10000元； ：存银行：不论市场情况如何，总可以赚 1000元n 例 1 (投资问题 )5000 1000-10000 1000收益矩阵2011/9/10 西安交通大学 理学院 24决策问题示例n 例 2 (双人博弈问题 )3 -2 01 4 -3-4 -1 2甲的得分矩阵n 甲乙两人玩一种游戏，双方各自独立出牌n 甲：三张牌，分别记为 ， ， n 乙：三张牌，分别记为 ， ， n 按下表计算甲的得分与乙的失分2011/
11、9/10 西安交通大学 理学院 25决策问题示例 课题组负责人获悉，某一单位有个科研项目要招标，他感到课题组有能力承接该项目，因为研究方向相符，并有一定的研究基础；但其他几个单位也准备投标，而且不乏竞争力。 参加投标并中标： 耗费相当数量的人力物力，但也有收益； 参加投标未中标： 耗费相当数量的人力物力，无收益； 不参加投标： 没有耗费，也无收益 .n 例 3 (项目申请问题 )2011/9/10 西安交通大学 理学院 26决策问题的分类 确定型决策： 可提供方案的条件已确定 不确定型决策 (随机决策 )： 决策时条件不确定 对抗型决策： 包含两个或以上人之间的竞争，决策人不能直接控制所有决策
12、，需考虑对手的决策 。n 按决策问题所处条件不同风险决策： 已知各种情况出现概率，可综合考虑完全不确定型决策： 未知任何信息例 2为对抗型决策，例 1和例 3均为不确定型决策2011/9/10 西安交通大学 理学院 27随机决策问题示例 (1) 为保证某种设备正常工作，需配备适量的维修工。 假设n 现有同类设备 300台，它们之间工作相互独立；n 每台设备出故障概率均为 0.01；n 一台设备的故障由一人处理 . 问题n 至少需配备多少工人，才能保证设备发生故障但不能得到及时维修的概率小于 0.01？n 例 4 (合理配备工人问题 )2011/9/10 西安交通大学 理学院 28例 4(续 )
13、 求解过程： 设需要配备工人数为 ，在同一时刻设备发生故障的台数为 ，则 ，问题是找到最小的 使得 ，由泊松定理，即查找泊松分布表，可得 。2011/9/10 西安交通大学 理学院 29随机决策问题示例 (2) 顾客缴纳月费成为会员，享受 DVD租赁服务。会员只需对感兴趣的 DVD在网上提交订单，网站会以快递的方式尽可能满足其要求。 会员提交的订单包括多张 DVD，基于其偏爱程度排序。网站根据手头的 DVD数量和会员的订单进行分发。 每个会员每月租赁次数不超过 2次，每次可租 3张DVD。看完之后，只需将 DVD放进网站提供的信封寄回 (邮费网站承担 )，即可进行下次租赁。n 例 5 (DVD在线租赁问题 )2011/9/10 西安交通大学 理学院 30例 5(续 )DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5人数 200 100 50 25 10n 网站准备购买一批新的 DVD，通过问卷调查 1000个会员，得到想看这些 DVD的人数 (如下表所示 )n 基本假设n 60%会员每月租赁 DVD两次，而另外 40%只租一次；n
