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1、一、 填空题1.若 ，则 212121 3)( xxxf )(xf， .2f2.设 连续可微且 ，若向量 满足 ，则它是 在 处的一0)(xfdfx个下降方向。3.向量 关于 3 阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 .T),21(4. 设 二次可微，则 在 处的牛顿方向为 . Rfn: fx5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题： 0)(1.min21xghtsf的 K-K-T 条件为：.7.以下约束优化问题： 1.)(min212xtsf的外点罚函数为（取罚参数为 ） .二、证明题（7 分+8 分）1.设 和 都是线性函数，证明下1,2,:miRgni m
2、iRhni ,1,:面的约束问题： ,1,0)(,.)(i12mEjxhIigtsfjink 是凸规划问题。2.设 连续可微， ， ， ，考察如下的约束条件问题：Rf2: niRaii,2,1,02.)(minmEibxaItsfiTiii 设 是问题d 1|,0.)(ndiaItsfTii的解，求证： 是 在 处的一个可行方向。dfx三、计算题（每小题 12 分）1.取初始点 .采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题Tx)1,()0（迭代 2 步）： 21)(minxf2.采用精确搜索的 BFGS 算法求解下面的无约束问题： 2121)(ixf3.用有效集法求解下面的二次规划问
3、题： .0,1. 4)(min21 212xtsxf4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或 Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为 ,计算到 即可)：)0()x2(x.0,3. 221)(min1 121xts xf参考答案一、填空题1. 342121x422. 0)(dfT3. ， （答案不唯一） 。,T)1,(4. )2xff5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）6. 0)(,0,12),(2122 1xxxLx7. 2121)(F二、证明题1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。一方面，由于 二次连续可微， 正定，根据凸函数等价条件可知
4、目标函f Ixf)(2数是凸函数。另一方面，约束条件均为线性函数，若任意 可行域，则Dy,Eihxhyxh Igggjjj iii 0)(1()1(故 ，从而可行域是凸集。D2.证明：要证 是 在 处的一个可行方向，即证当 ， 时， ，使得dfxDxnRd0，x,0(当 时， ， ，故 ；IiiTibxa0daTi )( dabxxaTiiTiiTi 当 时， ， ，故 .Eii i 0diiiii因此， 是 在 处的一个可行方向。dfx三、计算题1.解： 221)()()() dxdxf 令 得 ；0(21214f第一次迭代： ， ， )(0xf 42)(0)0(xfd，令 ，求得 ；()0
5、()dxf18/50第二次迭代： ， ，914)0()0()1( 92)(1xf，928)(1)1(xfd，令 ，求得 ，故 ，由)()1()dxf0)(2/10)1()1()2(dx于 ，故 为最优解。0)(2f)2(k)(kx)(kxf)(kdk0 T1, T4,2T4,218/51 )9/4()9/8()9/8(22 T0,2.解：取 Tx)1,()0IB012)(f第一步迭代：，10)(xf 10)(10)(xfBd，令 ，求得 ；2)()0(f 0)(2/10第二步迭代：， ，21)0()0()1(dx021)(xf 21)0()1()(xs1)()(01)0( xffy 21/32
6、/011B， ，令 ，求得 。)1(d41)(1xf )()1()dxf0)(21故 ，由于 ，故 为最优解。0)1()1()2(dx0)(2xf)2(xk)(kx)(kxf)(kdk0 T1, T1,0T1,01/21 )2/()2/()4/2(22 T0,3. 解：取初始可行点 求解等式约束子问题(0) (0)0,2,3.xAx2112min4.,ddst得解和相应的 Lagrange 乘子 (0)(1)(0)10,(2,4),32TTdxA故 得转入第二次迭代。求解等式约束子问题2112min4.0ddst得解 (1) (1) (1)(1)1,2min,302T TTi iT ibaxb
7、axiaddd计 算令(2)(1)(1)210,TxA转入第三次迭代。求解等式约束子问题2112min.,ddst得解和相应的 Lagrange 乘子(2)0,(,0)TTd由于 ，故得所求二次规划问题的最优解为(2)0，(2)0,1Tx相应的 Lagrange 乘子为(,)T4.解：计算梯度得 Txxf )2,()11当 时， ， . 是下面线性规划问题的解：0k)0,()xT0,)(y.0,3.2)(min2110ytsxf解此线性规划（作图法）得 ，于是 .由线性搜Ty)/()0 Txyd)0,3/2()0)()(索 ttxft 3492)(min0()10 得 .因此， .重复以上计算过程得下表：10t Tdx,3/)()()1(k)(k)(kxf)(ky)(kdkt0 T0,T0,2T0,/2T,3/11 )3/2( )3/()()2(52 T5,16
