工业过程数学模型

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1、第2章 被控过程的数学模型,目 录2.1 过程模型概述2.2 机理法建模2.3 测试法建模2.4 利用MATLAB建立过程模型,2.1 过程模型概述2.1.1 被控过程的动态特性 在过程控制中，被控对象内部所进行的物理、化学过程可以是各式各样的，但是从控制的观点看，它们在本质上有许多相似之处。 在生产过程中，控制作用能否有效地克服扰动对被控变量的影响，这就要对被控对象的动态特性进行研究。,1被控过程的分析,工业生产过程的数学模型有静态和动态之分 静态数学模型是过程输出变量和输入变量之间不随时间变化时的数学关系。 动态数学模型是过程输出变量和输入变量之间随时间变化时动态关系的数学描述。 过程控制

2、中通常采用动态数学模型，也称为动态特性。,2被控过程的特点,1）对象的动态特性是单调不振荡的 对象的阶跃响应通常是单调曲线，被控变量的变化比较缓慢(与机械系统、电系统相比)。 工业对象的幅频特性和相频特性，随着频率的增高都向下倾斜。2）大多被控对象属于慢过程 由于大多被控对象具有很大的储蓄容积，或者由多个容积组成，所以对象的时间常数比较大，变化过程较慢。,3）对象动态特性的迟延性 迟延的主要来源是多个容积的存在，容积的数目可能有几个直至几十个。容积愈大或数目愈多，容积迟延时间愈长。 有些被控对象还具有传输迟延。 由于迟延的存在，调节阀动作的效果往往需要经过一段迟延时间后才会在被控变量上表现出来

3、。,4）被控对象的自平衡与非自平衡特性 自平衡被控对象，当受到扰动作用致使原来的物料平衡关系遭到破坏后，无须外加任何控制作用，依靠对象本身，自动随着被控变量的变化，其不平衡量会愈来愈小，最后能够自动地稳定在新的平衡点上。 具有这种特性的被控过程称为自平衡过程。如图中的单容水槽,其阶跃响应如图所示。,非自平衡特性物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的被控过程称为非自平衡过程。 例如图中的单容积分水槽，当进水调节阀开度改变，其阶跃响应如图2-4所示,4）被控对象往往

4、具有非线性特性 严格来说，几乎所有被控对象的动态特性都呈现非线性特性，只是程度上不同而已。 除存在于对象内部的连续非线性特性外，在控制系统中还存有另一类非线性，如调节阀、继电器等元件的饱和、死区和滞环等典型的非线性特性。,2.1.2 数学模型的表达形式与要求 研究被控过程的特性，就是要建立描述被控过程特性的数学模型。 数学模型有静态模型和动态模型之分。 这里讨论工业过程的动态模型。 工业过程动态数学模型的表达方式很多，其复杂程度可以相差悬殊，对它们的要求也是各式各样的，这主要取决于建立数学模型的目的何在，以及它们将以何种方式加以利用。,1建立数学模型的目的(l) 设计过程控制系统和整定控制器的

5、参数(2) 控制器参数的整定和系统的调试(3) 利用数学模型进行仿真研究(4) 进行工业过程优化,2被控对象数学模型的利用方式 离线 过去被控对象数学模型只是在进行控制系统的设计研究时或在控制系统的调试整定阶段中发挥作用，这种利用方式是离线的。 在线 近十多年来，由于计算机的发展和普及，相继推出一类新型计算机控制系统，其特点是它要求把被控对象的数学模型作为一个组成部分砌入控制系统中，如预测控制系统。这种利用方式是在线的，它要求数学模型具有实时性。,3对被控对象数学模型的要求 工业过程数学模型的要求因其用途不同而不同，总的来说是既简单又准确可靠，但这并不意味着愈准确愈好，应根据实际应用情况提出适

6、当的要求。抓住主要因素，忽略次要因素。超过实际需要的准确性要求必然造成不必要的浪费。,4. 建立数学模型的依据 要想建立一个好的数学模型，要掌握好以下三类主要的信息源。 (1) 要确定明确的输入量与输出量 (2)要有先验知识 (3) 试验数据,5被控对象数学模型的表达形式(l ) 按系统的连续性划分为： 连续系统模型和离散系统模型。(2) 按模型的结构划分为： 输入输出模型和状态空间模型。(3) 输入输出模型又可按论域划分为： 时域表达（阶跃响应）和频域表达（传递函数）。,6. 被控过程传递函数的一般形式根据被控过程动态特性的特点，典型工业过程控制所涉及被控对象的传递函数一般具有下述几种形式：

7、 一阶惯性加纯迟延,(2-1) 二阶惯性环节加纯迟延,(2-2), n阶惯性环节加纯迟延,(2-3), 用有理分式表示的传递函数,(2-4)上述4个公式只适用于自衡过程。对于非自衡过程，其传递函数应含有一个积分环节，即,(2-5)和,(2-6),2.1.3 建立过程数学模型的基本方法 机理法和测试法 1机理法建模 用机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种有关的平衡方程以及反映流体流动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动方程；物性参数方程和某些设备的特性方程等，从中获得所需的数学模型。 如：物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡方程；相平衡方程。,2测试法建模 测试法一般只用于

8、建立输入输出模型。 它是根据工业过程的输入和输出的实测数据进行某种数学处理后得到的模型。主要特点：是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述它的动态性质，因此不需要深入掌握其内部机理。 为了有效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程内部的机理有明确的定性了解，例如究竟有哪些主要因素在起作用，它们之间的因果关系如何等等。 比较： 用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省力，尤其是对于那些复杂的工业过程更为明显。,2.2 机理法建模2.2.1 单容对象的传递函数 在不同的生产部门中被控对象千差万别，但最终都是可以由微分方程来表示的。微分方程阶次的高低是由被控对象中储能部件的多少

9、决定的。 最简单的一种形式，是仅有一个储能部件的单容对象。,1单容水槽 单容水槽如下图所示。不断有水流入槽内，同时也有水不断由槽中流出。水流入量 由调节阀开度 加以控制，流出量 则由用户根据需要通过负载阀来改变。被控变量为水位H，它反映水的流入量与流出量之间的平衡关系。现在分析水位在调节阀开度扰动下的动态特性。,图2-5 单容水槽,对于上述水槽而言，在起始稳定平衡工况下，有 ， 。在流出侧负载阀开度不变的情况下，当进水阀开度发生阶跃变化 时，若进水流量和出水流量的变化量分别为 则在任何时刻液位的变化 均满足下述物料平衡方程： (2-7),F为水槽的横截面积,当进水阀前后压差不变时， 与 成正比

10、关系，即 (2-8) 对于流出侧的负载阀，其流量与水槽的水位高度有关，即 (2-9) 式(2-9)是一个非线性微分方程。这个非线性给下一步的分析带来很大的困难，应该在条件允许的情况下尽量避免。如果水位始终保持在其稳态值附近很小的范围内变化，那就可以将上式加以线性化。,如考虑水位只在其稳态值附近的小范围内变化，故由式(2-9)可以近似认为 则 (2-10)将式(2-8)和式(2-10)代入式(2-7)中得或 (2-11),如果假设系统的稳定平衡工况在原点，即各变量都以自己的零值（ ）为平衡点，则可去掉上式中的增量符号，直接写成 (2-12) 根据式(2-12)可得水位变化与阀门开度变化之间的传递

11、函数为 (2-13)其中 ， ，,式(2-13)是最常见的一阶惯性系统，它的阶跃响应是指数曲线，如图2-6所示。,图2-6 单容水槽水位的阶跃响应,2. 具有纯迟延的单容水槽 对于如图2-9所示的单容水槽，它与图2-5不同是进水调节阀距入槽有一段较长的距离。因此该调节阀开度 变化所引起的流入量 变化，需要经过一段传输时间 才能对水槽液位产生影响。,图2-9 具有纯迟延的单容水槽,参照式（2-11）的推导关系式，可得具有纯迟延的单容水槽的微分方程为 (2-16)其中， 为纯迟延时间；其它参数定义同上。 对应式(2-16)的传递函数为 (2-17)与式(2-13)相比多了一个纯迟延环节 。,3单容

12、积分水槽 单容积分水槽如图2-10所示，它与图2-5中的单容水槽只有一个区别。在它的流出侧装有一只排水泵。 在图2-10中，水泵的排水量仍然可以用负载阀R来改变，但排水量并不随水位高低而变化。这样，当负载阀开度固定不变时，水槽的流出量也不变，因而在式(2-10)中有Q。=0。由此可以得到水位在调节阀开度扰动下的变化规律为 或,图2-10 单容积分水槽,根据上式可得水位变化与阀门开度变化之间的传递函数为 (2-18)式(2-18)代表一个积分环节，它的阶跃响应 (2-19)为一条直线，如图2-11所示。,图2-11 单容积分水槽水位的阶跃响应,2.2.2 多容对象的传递函数 以上讨论的是只有一个储能部件的对象，实际对控过程往往要复杂一些，即具有一个以上的储能部件。1双容水槽 对于如图2-12所示的双容水槽。,图2-12 双容水槽,根据图2-12可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为 水槽1： (2-20)水槽2： (2-21) 假设调节阀均采用线性阀，则有 ； ； (2-22),将式(2-22) 代入式(2-20)和式(2-21)中，消去中间变量后可得 (2-23)其中， ； ； 对应式(2-23)的传递函数为 由式可知，双容水槽为一个二阶系统，其阶跃响应如图2-13所示。,