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1、第二讲椭圆、双曲线与抛物线,一、主干知识1.圆锥曲线的定义:,2.圆锥曲线的标准方程:,y2=2px,x2=2py,二、重要性质1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系：(1)在椭圆中：_；离心率为_.(2)在双曲线中：_；离心率为_.,a2=b2+c2,c2=b2+a2,2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标:(1)双曲线 (a0,b0)的渐近线方程为_;焦点F1_,F2 _.(2)双曲线 (a0,b0)的渐近线方程为_,焦点坐标F1 _,F2 _.,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),3.抛物线的焦点坐标与准线方程:(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为_,准线方程为_.(2
2、)抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标为_,准线方程为_.,(2013广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 则C的方程是_.【解析】设C的方程为 (ab0)，则c=1, C的方程是答案：,2.(2012湖南高考改编)已知双曲线C： 的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为_.【解析】由焦距为10，知2c=10，c=5.将P(2,1)代入得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为答案：,3.(2013济南模拟)抛物线y2=-12x的准线与双曲线 的两渐近线围成的三角形的面积为_.【解析】抛物线y2=-12
3、x的准线为x=3,双曲线 的两渐近线为 和 令x=3，分别解得所以三角形的底为 高为3，所以三角形的面积为答案：,4.(2013江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为 (a0,b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若 则椭圆C的离心率为_.【解析】由原点到直线BF的距离为d1得 因F到l的距离为d2故又 所以又 解得答案：,5.(2013宿迁模拟)已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线的斜率为 且右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为_.【解析】因为 的焦点为所以a2+b2=3.所以双曲线方程为答案：,热点
4、考向 1 圆锥曲线的定义、标准方程与性质 【典例1】(1)(2013天津模拟)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为_.(2)(2013北京模拟)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是_.,(3)(2013长沙模拟)椭圆C: (ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是_.【解题探究】(1)圆M方程的求解思路：据点M到其焦点F的距离为5，由抛物线的定义得p=_.根据点M
5、(1,m)(m0)在抛物线y2=2px上，得点M_.根据圆M与y轴相切得圆M的半径为r=_.,8,(1,4),1,(2)根据线段PF1的中点坐标为(0,2)能得到什么?提示:得P点坐标( 4),且P与另一焦点连线垂直于x轴,从而求得PF1,PF2的值,进而据定义得2a.(3)求椭圆C离心率的关键是什么?提示:关键是据题设条件构建关于a,c的不等式,进而得到关于e的不等式求解.【解析】(1)由抛物线的定义得 解得p=8,所以抛物线的方程为y2=16x,又点M(1,m)在此抛物线上,所以有m2=16,且m0,得m=4,即M(1,4),又圆M与y轴相切,故其半径为r=1,所以圆的方程为(x-1)2+
6、(y-4)2=1.答案:(x-1)2+(y-4)2=1,(2)由双曲线的焦点可知c= 线段PF1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上,所以 所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为答案:,(3)当点P位于椭圆的两个短轴端点时，F1F2P为等腰三角形，此时有2个.若点P不在短轴的端点时，要使F1F2P为等腰三角形，则有PF1=F1F2=2c(或PF2=F1F2=2c).此时PF2=2a-2c.所以有PF1+F1F2PF2,即2c+2c2a-2c,所以3ca,即,又此时点P不在短轴上，所以PF
7、1BF1,即2ca,所以所以椭圆的离心率满足答案：,【方法总结】1.圆锥曲线定义的应用(1)已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解.(2)灵活应用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.2.求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法.(2)待定系数法.,顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay(a0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义.中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为双曲线方程可设为这样可以避免讨论和烦琐的计算.3.求椭圆、双曲线离心率的思路根据已知条件先确定a,b,c的等量关
8、系,然后把b用a,c代换,得到关于 的齐次方程,再求 的值;在双曲线中由于 故双曲线的渐近线的斜率与离心率密切相关.,4.双曲线的渐近线(1)求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得.(2)用法：可得 的值.利用渐近线方程设所求双曲线的方程.,【变式训练】(2013四川高考改编)从椭圆(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率为_.【解题提示】解题时要注意两个条件的应用，一是PF1与x轴垂直，二是ABOP.【解析】根据题意可知点P(-c,y0)，代入椭圆的方程可得 根据ABOP，
9、可知解得答案：,热点考向 2 圆锥曲线中点、线、参数等的存在性问题【典例2】(2013枣庄模拟)已知椭圆C:O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是O上的动点.(1)若P(-1, ),PA是O的切线,求椭圆C的方程.(2)是否存在这样的椭圆C,使得 恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果不存在,说明理由.,【解题探究】(1)求椭圆C的方程的思路：由点P(-1, )在O上得b2=_.由PA是O的切线，那么kPA= 得a=_.(2)求解存在性问题的三个步骤：列式：先假设存在，根据题设条件由点P在x轴上的特殊位置得 _. 求解：解此方程.方程中含有绝对值，此时正
10、确的处理方式为:_.结论：得出椭圆C_.(填“存在”“不存在”),4,4,分类讨论,存在,【解析】(1)由P(-1, )在O：x2+y2=b2上，得b2=1+3=4.直线PA的斜率kPA= 而直线PA的斜率所以 解得a=4.所以a2=16,椭圆C的方程为,(2)假设存在椭圆C，使得 恒为常数，椭圆C的半焦距为c.当P(-b,0)时，则有当P(b,0)时，依假设有当c-b0时，有所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b)，化简整理得a=c,这是不可能的.,当c-bb0)过点(2， )，且它的离心率 直线l:y=kx+t与椭圆C1交于M，N两点.(1)求椭圆的标准方程.(2)当 时，求证：M，
11、N两点的横坐标的平方和为定值.(3)若直线l与圆C2：(x-1)2+y2=1相切，椭圆上一点P满足 (0)，求实数的取值范围.,【解析】(1)椭圆的标准方程为 (ab0),由已知得：所以椭圆的标准方程为,设M(x1,y1),N(x2,y2),则为定值.,(3)因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切，所以把y=kx+t代入 并整理得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2= y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=因为 =(x1+x2,y1+y2)，所以,又因为点P在椭圆上，所以因为t20,所以所以
12、02b0),由 得_,进而由M(4,1)在椭圆上，得a2=_,b2=_.(2)求m的取值范围的关键是：_.(3)要证该结论成立，只需证明直线MA，MB的斜率的和为_即可.,a2=4b2,20,5,直线与椭圆方程联立消元所得,一元二次方程的判别式0,0,【解析】(1)设椭圆的方程为 (ab0),因为 所以a2=4b2.又因为M(4,1)在椭圆上,所以解得b2=5,a2=20.故椭圆方程为,(2)将y=x+m代入 并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,=(8m)2-20(4m2-20)0,解得-5m5.(3)设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= x1x2=k1+k2=上式分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)所以直线MA,MB的斜率互为相反数.,
