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1、第十章 电路的计算机辅助分析,10.1 概 论10.2 元器件及特性10.3 电路的拓扑描述10.4 线性电路的直流和正弦交流稳态分析10.5 非线性电阻电路的直流分析10.6 电路的动态分析10.7 灵敏度与容差分析10.8 电路的最优化设计,10.1 概 论,1. CAA的一般步骤用CAA对电路性能进行分析的一般步骤如下。(1) 建立电路元器件的数学模型(2) 选择算法，编制程序(3) 输入和输出结果,2.程序编制的基本要求(1) 易读性(2) 效率高(3) 通用性(4) 使用方便，界面友好,10.2 元器件及特性,1.电阻(或电导)(1) 线性电阻(2) 流控型非线性电阻(3) 压控型非
2、线性电阻,2.电容(1) 线性时不变电容(2) 荷控型非线性电容(3) 压控型非线性电容,3.电感(1) 线性时不变电感(2) 磁控型非线性电感(3) 流控型非线性电感,4.独立电压源和独立电流源(1) 独立电压源(2) 独立电流源,5.受控源(1) 电压控电流源(2) 电压控电压源(3) 电流控电流源(4) 电流控电压源,6.互感线圈7.理想变压器8.零泛器(1) 零器(Nullator)(2) 泛器(Norator),10.3 电路的拓扑描述,1.网络图论的基本概念(1) 有向线段任意二端元件(或二端支路)在图论中均由一条带有方向的线段表示，其方向表示该元件(或支路)的电流或电压的参考方向
3、，这样带方向的线段称为有向线段(可为直线或弧线，但不能为折线)。,(2) 节点及节点集合(3) 支路、支路集合(4) 线图(也称拓扑图)、子图(5) 有向图与无向图(6) 连通图(7) 树、树支(8) 回路及基本回路(9) 割集与基本割集,2.电路的拓扑矩阵前已指出，一个网络可以抽象成由节点和支路表示成的拓扑结构。图的关联性有节点与支路，支路与回路，支路与割集等。它们均可用矩阵的形式来表示，这些矩阵被称为网络的拓扑矩阵。下面着重介绍有向图的三个拓扑矩阵，即关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵。,(1) 关联矩阵关联矩阵Aa可以用来说明拓扑图中每个节点连接哪几条支路，以及所连接的支路相对于该节点
4、的方向。(2) 基本回路矩阵基本回路为单连支回路，因此规定连支的方向为基本回路的方向。这样，基本回路矩阵Bf=(bij)(b-n)b,(3) 基本割集矩阵基本割集为单树支割集，因此规定树支的方向为方割集的方向，基本割集矩阵用Qf表示，定义为Qf=(qij)nbn和b的含义同上。,3.拓扑约束关系的矩阵形式KCL和KVL为电路的拓扑约束，只与电路的有向拓扑结构有关。在已知电路拓扑矩阵的情况下，KCL和KVL可用矩阵形式表示。(1) KCL的矩阵形式 用关联矩阵A表示：AIb=0 用基本割集矩阵Qf表示：QfIb=0 用基本回路矩阵Bf表示：Ib=BfTIl,(2) KVL的矩阵形式 用基本回路矩
5、阵B表示：BfUb=0 用关联矩阵A表示：Ub=ATUn 用基本割集矩阵Qf表示：Ub=QfTUt,10.4 线性电路的直流和正弦交流稳态分析,10.4.1 线性电路方程组的建立电路方程组的建立方法一般有拓扑矩阵法和元件贡献直接添加法。,1.建立线性电路方程组的拓扑矩阵法拓扑矩阵法的基本思路：由电路的两类约束出发，对不同的分析法，消去相应的非自变量。(1) 支路伏安关系在电路的计算机分析中，为了减少电路中支路和节点的数目，同时将有源器件和无源元件合在一个支路中处理，引入了“组合支路”的概念，如图10-8所示。,(2) 电路的拓扑方程 支路电流法 支路电压法 基本回路方程 基本割集方程 节点电位
6、方程, 改进节点法在改进节点法中，将网络元件分为可用导纳描述和不可用导纳描述两类，前者以节点电压作自变量，后者以支路电流为自变量。,2.用元件贡献直接添加法建立电路方程元件贡献直接添加法的关键在于找出各种元件对节点方程的贡献。为便于理解，先分别讨论电路中出现某一类元件的情况。(1) 导纳型支路(2) 理想电压源,(3) 理想变压器(4) 互感线圈(5) VCCS(6) VCVS(7) CCCS(8) CCVS,10.4.2 线性方程组的求解1.高斯(Gauss)消元法高斯消元法是一种古老的方法。我们在中学学过消元法，高斯消元法就是它的标准化的适合在计算机上自动计算的一种方法。(1) 高斯消元法
7、的基本思想将方程AXb通过消元化为等价的三角方程组，然后回代解之。,(2) 高斯消元法公式记AXb为A (1)Xb (1)，A (1) 和b(1)的元素记为a (1) ij和b (1) i，i，j1，2n。,2.列主元高斯消元法(1) 基本思想对第k次消元，从第k行到第n行选出第k列中绝对值为最大的元素akq k，作为第k次消元主元，交换第k行和第q行，然后按高斯消元法进行消元。回代与高斯消元法一样。(2) 数学公式,3.LU分解法对高斯消元法，当AXb中A不变而b向量不断改变时，则对应每一组向量b就要作一次高斯消元运算，这显然很不经济。(1) 基本思路对矩阵方程AXb，将A化为两个三角矩阵的
8、乘积。其中一个为单位下三角阵，另一个为上三角阵，即ALU,10.5 非线性电阻电路的直流分析,10.5.1非线性电路非线性电路分析在电路分析中是一个很重要的组成部分，因为实际电路中广泛地应用着各种非线性器件。,10.5.2非线性电阻电路方程组的建立1.节点电位方程组若电路中仅含有线性电阻、独立电源和电压控制型非线性电阻，受线性或非线性电阻元件上电压控制的电流源(VCCS)，受线性或非线性元件中电流控制的电流源(CCCS)，且不含有零电阻支路，则这类电路可用节点法来分析。,2.混合型方程组(改进节点法)方程组变量由节点电位向量、独立电压源支路电流向量及非线性电阻上的电流向量组成。,(1) 先将电
9、路中支路进行分类仅讨论含以下4种元件的情况： 线性支路(复合支路)； 纯独立电压源支路； 电流控制型非线性电阻(复合支路)； 受上述支路电流控制的线性CCCS支路。,10.5.3 非线性代数方程组的求解1.单变量非线性方程根的数值解(1) 一般迭代(2) Newton迭代 一般迭代法的加速 Newton迭代法,2.多变量非线性方程组的Newton迭代当含n个变量时，非线性方程组的一般形式为Fi=(x1，x2，xn)=0i=1，2，n,10.6 电路的动态分析,10.6.1 概述含电感、电容的电路称为动态电路。由于电感、电容的VAR出现微分，电路方程不再像电阻电路那样是代数方程，而是微分方程。一
10、方面，如果微分方程的阶次很高，激励又是一般的激励的情况下，解微分方程是相当因难的，有的甚至没有解析解。,10.6.2 状态方程的建立状态方程的建立方法可分为两大类型：直接法与间接法。下面我们重点介绍拓扑矩阵法和常规的直观偏写法。1.拓扑矩阵法拓扑矩阵法通过拓扑矩阵利用计算机自动编写电路方程。,(1) 选规范树，支路分类，编号(2) KCL，KVL约束(3) VCR约束(4) 状态方程,2.直观编写法对不太复杂的电路，可用直观编写法建立电路的状态方程。一般步骤： 选取独立电感电流和独立电容电压为状态变量； 对含有独立电感的独立回路列写KVL方程；, 对接有独立电容的独立节点列写KCL方程； 将K
11、VL和KCL方程中不是状态变量的量列写出由状态变量表示的约束关系式； 消去非状态变量，把方程写为状态方程矩阵形式的标准表示式。,10.6.3 常微分方程初值问题的数值解常微分方程数值解法的基本原理：对求解区间进行剖分，然后把微分方程离散成在节点上的近似公式或近似方程，最后结合定解条件求出近似解。下面介绍几种常用的数值解法。,1.欧拉方法(1) 前向欧拉法(2) 欧拉隐式公式和欧拉中点公式(3) 梯形公式和预估校正法,2.龙格库塔法(R-K法)欧拉法使用方便，但精度较低。下面介绍一种比较适用的算法龙格库塔法。由于算法导出较为复杂，只给出算法公式。(1) 二阶R-K法(2) 四阶RK法,10.7
12、灵敏度与容差分析,10.7.1 灵敏度分析1.灵敏度的定义,2.灵敏度的计算计算灵敏度的方法很多，有导数法、差商法、符号网络函数法、增量网络法、伴随网络法以及转置法等。下面将着重介绍增量网络法和伴随网络法，而且只涉及线性系统的灵敏度分析。,(1) 增量网络法 增量网络的形成对线性网络N，在网络的激励和拓扑结构一定的条件下，支路阻抗(或导纳)的微小变化必然会使支路电压和电流也有相应的微小变化。(a) 阻抗支路(b) 导纳支路(c) 独立源(d) 受控源,(2) 伴随网络法伴随网络法的基础是特勒根(Te llegen)定理。该定理叙述了在具有相同拓扑结构的两个网络中，对应支路电流与电压之间的特定关
13、系。 特勒根定理 伴随网络的构成, 用伴随网络法计算灵敏度(a) 形成端口网络(b) 灵敏度的计算,10.7.2 容差分析容差分析通常包括最坏情况分析和统计分析。1.最坏情况分析2.统计分析容差的统计分析方法有两种：蒙特卡罗(Monte-Carlo)分析法和矩量法(Moment Method)。,10.8 电路的最优化设计,电路的最优化设计利用数学中最优化理论与方法，以计算机为手段，对电路进行辅助设计。目前电路的最优化设计过程一般是先根据所需的电路性能指标要求，设计者给出初始方案(包括电路的结构和元件参数)；然后由计算机进行分析，求出初始电路的各项响应，并与指标要求相比较；若不能满足要求，则自
14、动修改电路参数和结构， 经过反复计算、修改，直至满足性能要求为止。,1.目标函数电路的最优化设计，实际上是在一定约束条件下求函数极值的问题。在有约束条件的情况下，它的数学描述可以是minF(P)qi(P)0i=1，2，mhjP=0j=1，2，n,其中P(p1，p2，pn)为设计变量，在电路设计中一般为元件参数向量。qi(P)和hj(P)为设计变量的约束方程。F(P)称为目标函数。2.最优化基本原理当目标函数建立之后，最优化设计问题就转为求变化元件参数向量P，使F(P)为最小的问题，即求函数的极值问题。,3.最速下降法在电路设计中，目标函数中的可调电路参数往往不止一个，属于多变量函数。使用计算机分析时，一般采用迭代法，即用迭代法一步一步地把目标函数引向最小的方法。,4.最佳步长确定由于在每步迭代时需要确定P，以确保F(P)逐渐减小，最速下降法指出F(P)的负梯度方向作为P的方向。于是在每步迭代中，目标函数只是步长的函数，对第j1步迭代有F(P(j1)=F(P(j)P(j)=F(P(j)(j)S(j),(1) 用外推法确定*所在的区间(2) 用黄金分割法确定*,
