《2013年北京市中学生数学竞赛高一初赛真题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年北京市中学生数学竞赛高一初赛真题及答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 5 页2 0 1 3 年 北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答 选 择 题 答 案1 2 3 4 5 6D B B A C A填 空 题 答 案1 2 3 4 5 6 7 813 2 119 1024 4 128 1 1 63 1979, 1985, 1991, 2003 2 222( )m nm n+一 、 选择题 （ 满分 36 分 ， 每小题只有一个正确答案 ， 请将正确答案的英文字母代号填入第 1 页指定地方，答对得 6 分，答错 或不答均计 0 分）1 已知集合 A = 1, 2, 3, 4, 5 ， B = 2, 3, 4, 5, 6 ，则集合C = ( a
2、, b )| a A , b B , 且关于 x 的方程 x 2 + 2 ax + b 2 = 0 有实根 的元素个数为 （ A ） 7 （ B ） 8 （ C ） 9 （ D ） 1 0 解 当 a 0 ， b 0 时， x 2 + 2 ax + b 2 = 0 有实根的充要条件为 a b .设集合 D = ( a , b )| a A , b B ， D 的元素个数为 5 5= 25 个 ， 而 C 是 D 的子 集 ， 因此 ，集合 C 的元素如下面的整点图中的黑点所示：因此 , C 的元素个数等于 10 2 已知 2 4 8 2a a = ，则 24 a + 8 a 等于（ A ） 7
3、 （ B ） 8 （ C ） 9 （ D ） 1 0 解 ( ) ( )2 22 4 8 2 4 82 4 8 822 4 8a aa a a a + = = = 3 如图所示 ， 矩形 A B C D 的对角线 B D 经过坐标原点 O ，矩形的边分别平行于坐标轴 ， 点 C 在反比例函数 3 1ky x += 的图像上，若 A 点的坐标为 ( 2, 2 ) ， 则 k 等于（ A ） 2 （ B ） 1 （ C ） 0 （ D ） 1 解 因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以 矩形 C H O G 的面积 = 矩形 O F A E 的面积 = | 2 | | 2 | = 4 即 3 k +
4、 1= O G G C = 4 ，因此 k = 1 4 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ，满足 f ( x + 1 ) = f ( x ) ，且在区间 1, 0 上递增，则（ A ） (3 ) ( 3 ) ( 2 )f f f （ B ） ( 2 ) (3 ) ( 3 )f f f y = 3 1k x +ABF GDEO H C xy 1 2 3 4 5 xy6 5 4 3 2 1 y = x 第 2 页 共 5 页（ C ） (3 ) ( 2 ) ( 3 )f f f （ D ） ( 2 ) ( 3 ) (3 )f f f 解 根据题意 f ( x ) = f ( x + 1 )
5、= f ( x + 2) = f ( x + 2) ， 因为 f ( x ) 是偶函数 ， 即 f ( a ) = f ( a ) ，则 ( 3 ) ( 1 ) ( 1 )f f f= = ， ( 2 ) ( 0 )f f= ， ( 3 ) ( 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 )f f f f= = = 而 1 3 2 0 ， f ( x ) 在区间 1, 0 上递增， 所以 (3 ) ( 3 ) ( 2 )f f f 5 由 1 开始的连续 n 个正整数相乘，简记为 n ! = 1 2 n ， 如 3 ! = 1 2 3= 6 ，10 ! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=
6、3628800 等等，则 1 2 3 4 5 6 72 ! 3! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 !+ + + + + + 等于（ A ） 719720 （ B ） 50395040 （ C ） 4031940320 （ D ） 4032140320 解 因为 1 1 1 1! ! ! ( 1 ) ! !n nn n n n n = = ， 所以1 2 3 4 5 6 72 ! 3! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 !+ + + + + +2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 12 ! 2 ! 3! 3! 4 ! 4 ! 5 ! 5 ! 6 ! 6 ! 7 ! 7 ! 8
7、 ! 8 ! = + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 ! 2 ! 3! 3! 4 ! 4 ! 5 ! 5 ! 6 ! 6 ! 7 ! 7 ! 8 ! = + + + + + + 1 1 403191 18 ! 40320 40320= = = 6 如图 ， 正方形 A B C D 内接于 O ， P 为劣弧 C D 上一点 ， P A交 B D 于 点 M ， P B 交 A C 于 点 N ， 记 P A C = ， 若 M N P A ， 则2c os 2 t a n 的值等于（ A ） 1 （ B ） 22 （ C ） 12 （ D ） 24
8、 解 四边形 A B C D 是正方形， A C B = 45 ， D B A C ， A P B = A C B = 45 ， M N P A ， M N P = A P B = 45 ， M P = M N A C 为圆的直径 ， A P C = 90 ， P 、 M 、 O 、 C 四点共圆 A M A P = A O A C 因此2c os2 t a n 222 A O M NA M A M= 2 22 A O A M M NA M =2A O A C A M M NA M = 2A M A P A M M NA M =A P M NA M= 1A P P MA M= = PDA BC
9、NM O第 3 页 共 5 页二、 填空题 （ 满分 64 分，每小题 8 分，请将答案填入第 1 页指定地方 ）1 求 2 2 2 2 2 2 23 5 7 5 3s i n 3 0 s i n 3 5 s i n 4 0 s i n 4 5 s i n 5 0 s i n 5 5 s i n 6 0t a n 3 6 t a n 3 9 t a n 4 2 t a n 4 5 t a n 4 8 t a n 5 1 t a n 5 4+ + + + + + 的值 解 注意到 s i n 2 + s i n 2 ( 90 ) = s i n 2 + c os 2 = 1 ， s i n 2
10、45 = 12 ，n 为正整数时， t a nn t a n n ( 90 ) = t a n n c o t n = ( t a n c o t ) n = 1 ， t a n45 = 1 ，则 2 2 2 2 2 2 23 5 7 5 3s i n 30 s i n 35 s i n 40 s i n 45 s i n 50 s i n 55 s i n 60t a n 36 t a n 39 t a n 42 t a n 45 t a n 48 t a n 51 t a n 54+ + + + + + 3 . 5= 2 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x 0 时 ， f
11、 ( x ) = 2x + 2 x + b ( b 为常数 ) ， 求 f ( 10 )的值 解 因为 f ( x ) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 所 以 f ( 0 ) = 0 ， 即 2 0 + 20 + b = 0 ， 得 b = 1 由奇函数的性质 f ( x ) = f ( x ) ，有若 x 0 ，即 x 0 ，则 f ( x ) = f ( x ) = 2 x 2 x 1 ， 即 f ( x ) = 2 x + 2 x + 1 ( x 0 ) 所以 f ( 10) = 2 1 0 2 10+ 1= 1 119 191024 1024 = 3 若实数 x , y ,
12、 z 满足方程 9 7 44x y zx x + + + + = ， 试确定 ( 5 x + 3 y 3 z ) 2 0 1 3 的末位数字 解 易 见 x 7 ， 则 9 7x x+ + 4 ， 而 4x y z+ 0 ， 又 x , y , z 满 足 方 程9 7 44x y zx x + + + + = ，所以 9 7x x+ + = 4 ，且 4x y z+ = 0 所以 x = 7 ， x + y z = 0 ， ( 5 x + 3 y 3 z ) 2 0 1 3 = 14 2 0 1 3 ，这个数的末位数字为 4 4 如右图 ， 正方形 A B C D 被分成了面积相等的 8 个
13、三角形 ，如果 A G = 50 ，求正方形 A B C D 面积的值 解 过 F 作 K L / / D C ，取 A B 的中点 N ，延长 G N 交 A H 于 P ，设正方形 A B C D 的边长为 a ，由 于 D C I 、 A B H 的 面积都是正方形 A B C D 面 积的 18 ， 所以 C I = B H = 14 B C = 4a 由 A D F 的面积 = D C L 的面积的 2 倍，得 A BCD E FG IHA BCD E FP I HLK GN第 4 页 共 5 页1 122 2A D K F C D C I = 所以 K F = 2 C I 1 .2
14、 a= 所以 F 为 D I 中点 易 见 ， E 是 A F 的 中 点 ， 由 F A G 、 F H G 的 面 积 相 等 ， 可 得 A P = P H ， 即 F P 为 F A H 的一条中线，因此 F 、 P ， N 是一条直线 同理可证， H G 的延长线必过 A E 的中点 E ，所以 H E 为 F A H 的另一条中线，中 线F P 与 H E 的交点 G 为 F A H 的重心， 12G P F G= 注意 F P 为梯形 A H I D 的中位线 ， F P / / B C ， 所以 1 322 2 4a aH I A D aF P += = = ， 所以13 4aG P F P= = ，所以 34 8 8a a
