《2016年全国高中数学联合竞赛一试二试解答(A卷)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年全国高中数学联合竞赛一试二试解答(A卷)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分 1. 设实数a满足39 11a a aa =， 即21 9 11 1a=，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有2273C C 18=种取法
2、因此，所求的概率为22573 18 54 9=C C 10 21 35 5. 设P为一圆锥的顶点，,ABC是其底面圆周上的三点，满足90ABC ，M为AP的中点若1, 2, 2AB AC AP，则二面角M BC A的大小为 答案：2arctan3 解：由90ABC 知，AC为底面圆的直径 设底面中心为O，则PO 平面ABC易知112AO AC，进而221PO AP AO 设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点在底面中作HK BC于点K，则由三垂线定理知MK BC，从而MKH为二面角M BC A的平面角 因12MH AH，结合HK与AB平行知，34HK HCAB AC，即34HK ，这样2ta
3、n3MHMKHHK 故二面角M BC A的大小为2arctan3 6. 设函数44( ) sin cos10 10kx kxfx，其中k是一个正整数若对任意实数a，均有 () 1 ()fx a x a fx x R ，则k的最小值为 答案：16 解：由条件知，22 2 22( ) sin cos 2sin cos10 10 10 10kx kx kx kxfx 21 12 31 sin cos2 54 5 4kx kx ， 其中当且仅当5()mxmkZ时，()fx取到最大值根据条件知，任意一个长为1的开区间( , 1)aa至少包含一个最大值点，从而51k，即5k 反之，当5k 时，任意一个开区
4、间( , 1)aa均包含()fx的一个完整周期，此时 () 1 ()fx a x a fx x R 成立 综上可知，正整数k的最小值为 5 1 16 2 7. 双曲线C的方程为2213yx ，左、右焦点分别为1F、2F过点2F作一直线与双曲线C的右半支交于点,PQ，使得190F PQ ，则1F PQ的内切圆半径是 答案：71 解：由双曲线的性质知，122 13 4FF ，12 122PF PF QF QF 因190F PQ ，故22 21 2 12PF PF F F，因此 22 212 1 2 122( ) ( )PF PF PF PF PF PF 222 4 2 27 从而直角1F PQ的内
5、切圆半径是 1 1 12 1211( ) ( ) ( ) 712 22r F P PQ FQ PF PF QF QF 8. 设1234,aaaa是1, 2, ,100中的4个互不相同的数，满足 222222 21 2 3 2 3 4 12 23 34()()( )aaaaaa aaaaaa ， 则这样的有序数组1234(, , , )aaaa的个数为 答案：40 解：由柯西不等式知，222222 21 2 3 2 3 4 12 23 34()()( )aaaaaa aaaaaa ，等号成立的充分必要条件是312234aaaaaa，即1234,aaaa成等比数列于是问题等价于计算满足1234 ,
6、 , , 1, 2, 3, ,100aaaa 的等比数列1234,aaaa的个数设等比数列的公比1q ，且q为有理数记nqm，其中,mn为互素的正整数，且mn 先考虑nm的情况 此时331413annaamm ，注意到33,mn互素，故13alm为正整数相应地，1234,aaaa分别等于3 2 23,mlmnlmnlnl，它们均为正整数这表明，对任意给定的1nqm，满足条件并以q为公比的等比数列1234,aaaa的个数，即为满足不等式3100nl的正整数l的个数，即3100n 由于35 100，故仅需考虑342, 3, , 4,23q 这些情况，相应的等比数列的个数为100 100 100 1
7、00 10012 3 3 1 1 208 27 27 64 64 当nm时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列1234,aaaa 综上可知，共有40个满足条件的有序数组1234(, , , )aaaa 3 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）在ABC中，已知23AB AC BA BC CA CB 求sinC的最大值 解：由数量积的定义及余弦定理知，222cos2bcaAB AC cb A 同理得，2222acbBA BC ，2 222abcCA CB 故已知条件化为 222 222 222()3()bca acb abc ，
8、 即22223abc 8分 由余弦定理及基本不等式，得 22 2 22 221( 2)3cosab a babcCab ab 36abba2236 3abba ， 所以 27sin 1 cos3CC=， 12分 等号成立当且仅当: : 3: 6: 5abc因此sinC的最大值是73 16分 10.（本题满分20分）已知()fx是R上的奇函数，(1) 1f ，且对任意0x ，均有()1xf xf xx 求1 11 11 1 1(1)100 2 99 3 98 50 51ff f f f f f f 的值 解：设1( 1, 2, 3, )naf nn，则1(1) 1af 在()1xf xf xx中
9、取*1()xkkN ，注意到111111kkxk，及()fx为奇函数，可知 1 1 11 11f ffk k kkk ， 5分 即11kkaak从而11111111( 1)!nnknkkkaaaa kn 10分 因此 50 50 4910111 011( 1)! (100 )! ! (99 )!iiiaai i ii 4 9849 4999 9999 99 99001 1 1 11 2C CC 299! 99! 2 99! 2 99!i iiii 20分 11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点以F为焦点、O为顶点作抛物线C设P是第一象限内C上的一
10、点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且2PQ 圆12,CC均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切求点F的坐标，使圆1C与2C的面积之和取到最小值 解：设抛物线C的方程是22 ( 0)y px p，点Q的坐标为( , 0)( 0)aa，并设12,CC的圆心分别为11 1 2 2 2( , ), ( , )Ox y Ox y 设直线PQ的方程为( 0)x my a m ，将其与C的方程联立，消去x可知 22 20y pmy pa 因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为224 42 0p m pa ，解得2amp进而可知，点P的坐标为( , ) (, 2 )PPx y a pa于是
11、 221 0 1 2 2( 2)PaPQ m y pa a p ap 由2PQ 可得 242 4a pa 5分 注意到OP与圆12,CC相切于点P，所以12OP O O设圆12,CC与x轴分别相切于点,MN，则12,OO OO分别是,POM PON的平分线，故1290O OO 从而由射影定理知 212 1 2 1 2y y O M O N O P O P OP 2222PPx y a pa 结合，就有 22122 43y y a pa a 10分 由12,O PO共线，可得 1 1 11 12 22 2222PPy pa y y OP OM yy y PO O N ypa y ， 化简得 5
12、1 2 1222y y yypa 15分 令2212Ty y，则圆12,CC的面积之和为T根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况 根据、可知， 2 221 2 12 1 2 124( )2 22T y y yy y y yypa 2222 24 (4 3 )(2 )(4 3 ) 2(4 3 )44 1aaaa 作代换21ta由于24 44 2 0t a pa ，所以0t 于是 (3 1)( 1) 1 13 4 23 4 23 4ttT tttt 上式等号成立当且仅当33t ，此时1113at因此结合得， 21 312133 3313pa t ta ， 从而F的坐标为1,0 ,0233p 20分 6 2016年全国高中数学联合竞赛加试（A卷） 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、（本题满分40分）设实数1 2 2016, ,aa a满足219 11 ( 1, 2, , 2015)iia ai+= 求22 2 21 2 2 3 2015 2016 2016 1( )( ) ( )( )aa aa a a a a 的最大值 解 令22 2 21 2 2 3 2015
