《【全程复习方略】2013-2014版高中数学 课时提升卷(十九) 2.4.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用 新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】2013-2014版高中数学 课时提升卷(十九) 2.4.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用 新人教A版选修2-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -抛物线方程及性质 的应用（45 分钟 100 分）一、选择题(每小题 6 分,共 30 分)1.(2013安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线 y2=x 有且仅有一个公共点的直线有()A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条2.将两个顶点在抛物线 y2=2px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则()A.n=0 B.n=1C.n=2 D.n33.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为- ,那么|PF|=()3A.4 B.8 C.8 D.163 34.(2013长春高二检测)抛
2、物线 y=x2上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最小的点的坐标是()A.( , ) B.(1,1)1214C.( , ) D.(2,4)32945.(2013新课标全国卷)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程 为( )A.y=x-1 或 y=-x+1B.y= (x-1)或 y=- (x-1)33 33C.y= (x-1)或 y=- (x-1)3 3D.y= (x-1)或 y=- (x-1)22 22二、填空题(每小题 8 分,共 24 分)6.设已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点为 F(1,0),
3、直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为.7.(2012北京高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60,则- 2 -OAF 的面积为.8.(2013珠海高二检测)过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|0)相交于 B,C 两点,当直线 l 的斜率是 时, =4 .12 A A(1)求抛物线 G 的方程.(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取
4、值范围.答案解析1.【解析】选 C.点(-1,0)在抛物线 y2=x 的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为 x 轴.【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与 y2=x 只有一个公共点的直线有()A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【解析】选 B.因为点(1,1)在抛物线 y2=x 上,所以作与 y2=x 只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线.2.【解题指南】数形结合.【解析】选 C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线的倾斜角分别为 30和
5、 150,如图,所以正三角形的个数 n=2,所以选 C.- 3 -3.【解析】选 B.如图所示:直线 AF 的斜率为- ,3AFK=60,PAF=60.又|PA|=|PF|,APF 为等边三角形.在 RtAKF 中,|FK|=4,|AF|=8,|PF|=8.4.【解析】选 B.设抛物线 y=x2的切线 l 与 2x-y-4=0 平行.k l=2,设 l 方程为 y=2x+b.由 消去 y 得 x2-2x-b=0.y=2+,=2 由 =(-2) 2-41(-b)=4+4b=0 得 b=-1,而 b=-1 时,切点横坐标为 1,这时切点为(1,1).5.【解题指南】设出 A,B 点的坐标,利用抛物
6、线的定义表示出|AF|,|BF|,再利用|AF|=3|BF|,确立 l 的方程.【解析】选 C.抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1 ,0),准线方程为 x=-1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x 1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1),所以 x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,所以 x1=9x2,所以 x1=3,x2= .当 x1=3 时, =12,此时 y1= =2 ,若 y1=2 ,则13 y21 12 3 3A(3,2 ),B ,此时 kAB= ,此时直线方程为 y= (x-1).若 y1=-2 ,则 A(3,
7、-2 ),3 (13,233) 3 3 3 3B ,此时 kAB=- ,此时直线方程为 y=- (x-1).(13,233) 3 36.【解题指南】求出抛物线方程,利用点差法.【解析】由题意知抛物线的方程为 y2=4x,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x 2,y21=41,22=42,两式相减得, - =4(x1-x2),y21y22- 4 - = =1,y1212 41+2直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x.答案:y=x7.【解题指南】写出直线 l 的方程,再与抛物线方程联立,解出 A 点坐标,再求面积.【解析】抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),直线 l
8、:y= (x-1).由 解得3 y=3(1),2=4,A(3,2 ),B( ,- ).所以 SOAF = 12 = .313233 12 3 3答案: 3【变式备选】已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则cosAFB=.【解题指南】联立方程求出 A,B 两点后转化为解三角形问题.【解析】联立 消 y 得 x2-5x+4=0,解得 x=1 或 x=4.y2=4,=24,不妨设 A 在 x 轴上方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),又 F(1,0),可求|AB|=3 ,|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得 cosAFB=
9、 =-5|2+|2|22|.45答案:-458.【解析】抛物线 y2=2x 的焦点坐标为( ,0),准线方程为 x=- ,设 A,B 的坐标分别为12 12(x1,y1),(x2,y2),则 x1x2= = .p2414设|AF|=m,|BF|=n,则 x1=m- ,x2=n- ,12 12- 5 -所以有 解得 m= 或 n= ,(12)(12)=14,+=2512, 56 54所以|AF|= .56答案:569.【解析】设抛物线方程为 y2=-2px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得消元得 x2+(3+2p)x+ =0,判别式 =(3+2p) 2-9=4p2+12p0,解得 p0 或y
10、=+32,2=2, 94p0)中,得 y2=-2x.综上,所求抛物线方程为 y2=-2x.10.【解题指南】(1)利用定义建立方程求得 p 值.(2)利用“设而不求”的思想求解.【解析】(1)由题意设抛物线方程为 y2=2px(p0),其准线方程为 x=- .p2A(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离.4+ =6,p=4,p2此抛物线的方程为 y2=8x.(2)由 消去 y 得 k2x2-(4k+8)x+4=0.y2=8,=2,直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同两点 A,B,则有 k0,0,解得 k-1 且 k0,- 6 -AB 中点横坐标为 2,则有 = =2,x1+22 4+
11、822解得 k=2 或 k=-1(舍去).所求 k 的值为 2.【拓展提升】 “中点弦 ”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x 1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方 差”.将两方程作差 ,利用平方差公式.(3)得斜率.把 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x 0,y0)代入可得 ,即直线的斜率.y1212(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.11.【解析】(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时, l 的方程为 y= (x+4),1
12、2 12即 x=2y-4,由 得 2y2-(8+p)y+8=0,x2=2,=24,y12=4,1+2=8+2 ,又 =4 ,y 2=4y1,A A由这三个表达式及 p0 得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为 x2=4y.(2)由题意可设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x 0,y0).由 得 x2-4kx-16k=0,x2=4,=(+4),x 0=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=- (x-2k),1线段 BC 的中 垂线在 y 轴上的截距为 :b=2k2+4k+2=2(k+1)2,- 7 -由 =16k 2+64k0 得 k0 或 k-4.b(2,+).
