不动点理论及其应用

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1、不动点理论及其应用主要内容： 不动点理论压缩映像原理 不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在中学数学中的应用目录：一、 引言二、 压缩映像原理三、 在微分方程中的应用四、 在中学数学中的应用五、 其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。这个重合点就是一个不动点。函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数 在取值过程中, 如果有一个点 使 ,则 就是)(xf 0x0)(xf0一个不动点。二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理压缩映像原理）设 是一个完备的距离空间， 是 到其自

2、身的一个),(XT),(X压缩映射，则 在 上存在唯一的不动点。T这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。定义：（距离空间）设 是一个非空集合。 称为距离空间，XX是指在 上定义了一个双变量的实值函数 ， 满足下面三个X ),(yx条件：（1） 。 ， 而且 ， 当且仅当 ；0),(yx0),(yxyx（2） 。 ；),(（3） 。 ， （ ） 。),(),(zyxzX,zyx这里 叫做 上的一个距离，以 为距离的距离空间 XX记作 。),(定义：（完备的距离空间）距离空间 中的所有基本列都是收),(X敛列，则称该空间是完备的。定义：（压缩映射）称映射 是一个

3、压缩映射，),(),(:XT如果存在 ， 使得 成立。10a,yxa三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题.0)(,yxfd假设 在矩形区域,f byaxR|,|:00内连续，而且对 满足 Lipschitz 条件，则上述问题在区间y上有且仅有一个解，其中,0hxI.|),(|max,in),(yfMaRy（1） 。 传统的证明方法通常，我们分成四步来证明：a. 转换成等价的积分方程xdtyfy0),(b. 构造皮卡迭代序列c. 证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解d. 证明解唯一（2） 。压缩映像原理证明根据上面的理论，先定义 )(,0IChxCX然后， 给一个

4、度量 |)(|ma),(tyyxIt 由积分方程 ， 我们可以定义一个映射：xdtyfy0),(xtfTy0,)(我们要证明两点：a. 任意 ， 则 XxXTxb. 检验映射 是一个压缩映射),(),(:|)(,)(,|max2|),( 00 tyftfhddTyxIt txtIt 注意函数 对 满足 Lipschitz 条件：(y|,|),),(| 2121xLxtftf其中 是一个常数。容易得到),(2|)(,|max|)(,|),( 00yhLtyftf ddTyxIt txtIt因此，只要 取得适当小， 使得 ， 则映射 12hL是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点 ，),(),(:X

5、Ty使得xdtyfy0),(这样，存在与唯一性同时成立。四、 在中学数学中的应用例 1， 假设定义在 R 上的奇函数 的图像上存在有限个)(xf不动点，则不动点有奇数个。证明：函数 为奇函数，所以 ，)(xf )(xffR特别，取 ， 则 。因此 0 是一个不动点。0)0(f如果 是一个不动点，即 ， 那么 c cf cfcf)(说明 也是一个不动点， 而且 。或者说，奇函数的非零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。例 2， 给定函数 ， 为常数。bxaf3)(,（1） 。如果函数 有两个关于原点对称的不动点，求 应该满x ba,足的条件。（2） 。在（1）的条件下，取 的图像上 两

6、点)(,8xfya,A的横坐标是函数 的不动点， 为函数 图像上的另外一点，)(xfP而且其纵坐标大于 3，求点 到直线 距离的最小值，以及取得A最小值时点 的坐标。P解：设 是函数 图像上的不动点，则有0x)(xf003)(baf整理得 （*）2x由题意知方程（*）有两个根，而且绝对值相等，符号相反。由韦达定理得 03ab由此得 39)(,xf，故 。因此， 应该满足的条件是： 。9ab, 9,0a3b，（2） 。在（1）的条件下，取 则 ,8a38)(xf由 得函数 的两个不动点 ，x38)(xf 212故 ， )2,(A)2, A设 ， 则 。 由 ， 解得 yxP338x3x直线 的方

7、程为 。设点 到直线 的距离为 。 yPAd24621 631)(213)9(21|38| ）（ xxxyxd当且仅当 ， 即 时上式等号成立，此时，31x4x4,yx故点 到直线 距离的最小值为 ，此时点 的坐标为PA24P。)4,(五、 其它a. 还有很多其它不动点定理Brouwer 不动点定理 : n 维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质，即 如果 表示这个球， 是任意连续函数，则存在一个nSnSf:点 ， 使得 nSx0 0)(xf在经济均衡理论中的应用例如， 经典的 Leontieff 模型。假设每生产一个产品有 N 个生产者， NiP,.21,表示生产者 的全部产品， 表示 生产的产

8、品被iXiPijxi jP消耗的全部总数。定义 ijNiiXY1上式含义： 的全部产品数与由生产者 消耗的总数之i NP,.2差。称为商品 的“最后要求” 。iYi闭合的 Leontieff 模型假设 。NiYi,.21,0称为 “产品系数” 。ijijXxa如果 是常数， 那么 ， 其中 ，ij YXAI)( )(ijaA， 。),.(1N,.1NY一般情况下，假设 为正连续函数。ija称为 “要求函数”：表示当 的收益为 ， 而花费在由)(xfij iPx生产的产品 上的资本总数。显然， 。jPjG0)(fi现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式 （1）)

9、(xfNji 一般的经济规律认为， 生产者 的收益 按照这样的方式确iPix定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进产品的总值，用数学语言表示，有关系式（2）)(xfNijj现在，假设函数 是非线性连续函数，则可知存在点ijf),.(1Nx适合关系式（2） 。定理：假设函数 都是正的连续函数，满足条件（1） ，则存在ijf点 适合关系式（2） 。),.(1NxSchauder 不动点定理: Banach 空间中每个凸紧集，对于连续映射有不动点性质。b. 在偏微分方程的处理中有很多应用c. 引言中例子的证明我们把大照片抽象成矩形 ，小照片抽象成矩形 )(1ABCDK。而照片的叠

10、放可以看成是从 到 的连续)(2DCBAK 112K映射（由伸缩和旋转的连续形变） 。假设 那个不动点为 点， 见下图。O要证明的结论可以转化为：存在 点， 使得 与OAB相似。证明：延长 交 于点 ，然后过 三点作圆 ，过BAPPA, 1作圆 ， 记圆 和作圆 的另一个交点为 。PB, 2O12OO因为点 在圆 上， 所以 。, 2 B（因为 ）PBPPBA又因为点 在圆 上，所以 O, 1 OA因此， 与 相似。这就说明，在 点上，大小照片中的“景物”是相同的。思考题： 是定义在 2，4上而且满足如下条件的函数 组成A )(x的集合：（1） ，对任意的 ， 都有 ；（2） ，存在常数 4,

11、2x),1(x， 使得对任意 ， 都有)0(L,1 。|)2()| 211xLx（I） 。设 ， ， 证明： 。34,Ax)(（II ） 。设 ，如果存在 ， 使得 ，那么这Ax)( ),1(0x)2(00x样的 是唯一的。0（III） 。设 ，任取 ， 令 ， x)()2,(1x)(1nnx,.1证明：给定正整数 ， 对任意正整数 ， 成立不等式 kp.|1| 12xLxkpk（2006 年广东高考第 20 题）参考文献1 张恭庆， 林源渠， 泛函分析讲义，北京大学出版社，2004 年6 月。2 刘炳初，泛函分析，科学出版社，2005 年 1 月。3 杜珣，现代数学引论，北京大学出版社，1998 年 7 月。