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1、12013 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题（2013 年 9 月 7 日上午 9：0011：30）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知数列 满足 ， （ ） ，则 的最小值为 na13212na*nNna。2对于函数 ， ，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得()yfxD1xD2xD，则称函数 在 上的几何平均数为 。已知 ，1()fxMf M32()1f，则函数 在 上的几何平均数 。， 321f，3若三个非零且互不相等的实数 、 、 满足 ，则称 、 、 是调和的；abcabcabc若满足 ，则称 、 、 是等差的。已知集合
2、 ，集合2acbabc2013xxZ，是集合 的三元子集，即 。若集合 中元素 、 、 既是调和的，又PMPM， ， Pabc是等差的，则称集合 为“好集” 。则不同的“好集”的个数为 。4已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 xy14xy1x()2y。5如图，在四面体 中， ， 是边长ABCDBCD平 面 为 3 的等边三角形。若 ，则四面体 外接球的面积为 2A。6在正十边形的 10 个顶点中，任取 4 个点，则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。7方程 在区间 内的所有实根之1sin2x02，和为 。 （符号 表示不超过 的最大整数） 。x8已知 为 上增函数，且对任意
3、，都有 ，则 ()fxRR()34xf(2)f。9已知集合 的元素都是整数，其中最小的为 1，最大的为 200。且除 1 以外， 中每A A一个数都等于 中某两个数（可以相同）的和。则 的最小值为 。 （符号A表示集合 中元素的个数）A10已知函数 ，则函数*()1xfqpqNpqp， 若 为 无 理 数， 若 ， 其 中 ， ， 且 、 互 质 ，在区间 上的最大值为 ()fx78()9， 。2二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）11将各项均为正数的数列 排成如下所示的三角形数阵（第 行有 个数，同一行nan中，下标小的数排在左边） 。 表示数阵中
4、，第 行、第 1 列的数。已知数列 为等比数bnnb列，且从第 3 行开始，各行均构成公差为 的等差数列（第 3 行的 3 个数构成公差为 的等d d差数列；第 4 行的 4 个数构成公差为 的等差数列，） ， ， ， 。1a1271834a（1）求数阵中第 行、第 列的数 （用 、 表示） 。 （2）求 的值；mn()Am， 20（3）2013 是否在该数阵中？并说明理由。12已知 、 为抛物线 ： 上的两个动点，点 在第一象限，点 在第四象ABC24yxAB限。 、 分别过点 、 且与抛物线 相切， 为 、 的交点。1l2 P1l2（1）若直线 过抛物线 的焦点 ，求证：动点 在一条定直线
5、上，并求此直线方F程；（2）设 、 为直线 、 与直线 的交点，求 面积的最小值。CD1l24xCD 12a3456a78910 313如图，在 中， ，它的内切圆分别与边 、 、 相切于点 、ABC 90BCAD、 ，连接 ，与内切圆相交于另一点 ，连接 、 、 、 、 。EFDPPEFE（1）求证： ；PE（2）若 ，求证： 。 F14已知 。1()2ln()()fxx（1）求 在区间 上的最小值；，（2）利用函数 的性质，求证： （ ，且()f 2(1)ln2l3ln *nN） ；n（3）求证： （ ，且 ） 。42223(1)ln1l3l *N415已知集合 。 ， 32776Pxab
6、cabc， 其 中 ， ， 为 不 超 过 的 正 整 数 1x， ， 为集合 中构成等差数列的 个元素。求 的最大值。2x3n nn52013 年福建省高中数学竞赛暨 2013 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2013 年 9 月 7 日上午 9：0011：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知数列 满足 ， （ ） ，则 的最小值为 na13212na*nNna。【答案】 3【解答】由 ， 知，12a12na， ， ， 。()n ()21a132a上述 个等式左右两边分别相加，得
7、。(3n ，又 时， ； 时， 。321na5na6n 时， 取最小值 。6n12对于函数 ， ，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得()yfxD1xD2xD，则称函数 在 上的几何平均数为 。已知 ，1()fxMf M32()1f，则函数 在 上的几何平均数 。， 321f，【答案】 5【解答】 当 时， ，x2()3(2)0fxx 在区间 上为增函数，其值域为 。32()fx， 15， 根据函数 几何平均数的定义知， 。()f3若三个非零且互不相等的实数 、 、 满足 ，则称 、 、 是调和的；abc2abcabc若满足 ，则称 、 、 是等差的。已知集合 ，集合2acbabc013MxxZ，
8、是集合 的三元子集，即 。若集合 中元素 、 、 既是调和的，又PMP， ， Pabc是等差的，则称集合 为“好集” 。则不同的“好集”的个数为 。【答案】 10066【解答】若 、 、 既是调和的，又是等差的，则 ， ， 。abc 12abcb4c即“好集”为形如 （ ）的集合。24b， ， 0由“好集”是集合 的三元子集知， ， ，且 。M21340Z0 ， ，且 。符合条件的 可取 1006 个值。503bZb “好集”的个数为 1006。4已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 xy14xyx(1)2y。【答案】 27【解答】由 知， 。14xy41xy 。3()2()2()xx设
9、 ，则 ，1xt0。3(1)()1() 6()1527ty tx当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立。tt27y 的最小值为 27。(1)2xy5如图，在四面体 中， ， 是边长ABCDBCD平 面 为 3 的等边三角形。若 ，则四面体 外接球的面积为 A。【答案】 16【解答】如图，设正 的中心为 ，四面体 外接球B 1OB的球心为 。则 ，O1CD平 面， 。1AB 23取 中点 。E由 知， ， ， 。AB1OE 1EB于是， 。2O 四面体 外接球半径为 2，其面积为 。CD676在正十边形的 10 个顶点中，任取 4 个点，则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。【答案】 27
10、【解答】设正十边形为 。则120A以 为底边的梯形有 、 、 共 3 个。同理分别以 、12A31249A1258 23A、 、 、 为底边的梯形各有 3 个。这样，合计有 30 个梯形。3459101以 为底边的梯形有 、 共 2 个。同理分别以 、133401359 24、 、 、 、 为底边的梯形各有 2 个。这样，合计有 20 个梯形。35469102A以 为底边的梯形只有 1 个。同理分别以 、 、 、 、1A145025A3647A92为底边的梯形各有 1 个。这样，合计有 10 个梯形。03所以，所求的概率 。41037PC7方程 在区间 内的所有实根之和为 sin2x2，。 （
11、符号 表示不超过 的最大整数） 。x【答案】 12【解答】设 ，则对任意实数 ， 。2xx012原方程化为 。1sin2 若 ，则 ， （ ） 。02xsi 0xxkZ （ ） 。结合 知， ，1，2，3，4，5，6。kZ02，经检验， ，2，4，6 符合要求。x 若 ，则 ， （ ） 。1sinx12xkkZ （ ） 。结合 知， ， ， 。2xkZ02， 59经检验， ， ， 均不符合要求。1592 符合条件的 为 0，2，4，6，它们的和为 12。x8已知 为 上增函数，且对任意 ，都有 ，则 ()fRxR()34xf(2)f。8【答案】 10【解答】依题意， 为常数。设 ，则 ， 。(
12、)3xf()3xfm()4f()3xfm ， 。易知方程 有唯一解 。34m0m401 ， 。()1xf 21f9已知集合 的元素都是整数，其中最小的为 1，最大的为 200。且除 1 以外， 中每A A一个数都等于 中某两个数（可以相同）的和。则 的最小值为 。 （符号A表示集合 中元素的个数）A【答案】 10【解答】易知集合 符合要求。此时，12350481602A， ， ， ， ， ， ， ， ，。10下面说明 不符合要求。9假设集合 ， 符合要求。1234567xx， ， ， ， ， ， ， ， 1234567xxx则 ， ， ， ， ， ， 。1x2384567128由于 ，因此，
13、， 。674890720x70同理，由 ，知， ， 。56361x 6165x由 ，知， ， 。45x65x52由 ，知， ， 与 为整数矛盾。38124542x44 不符合要求， 。同理， 也不符合要求。9A9A8A因此， 的最小值为 10。10已知函数 ，则函数*()1xfqpqNpqp， 若 为 无 理 数， 若 ， 其 中 ， ， 且 、 互 质 ，在区间 上的最大值为 。()fx78()9，【答案】 16【解答】若 为有理数，且 。设 （ ， ） ，x78()9x， 78()9ax， a*N由 知， ， 。789aa当 时， 不存在；1当 时，存在唯一的 ，此时 ， 。215a157
14、x6()fx9当 时，设 ，其中 ，且 ，此时 。37am1*mN71()8mfx ，1619()(817)078(8) 若 为有理数，则 时， 取最大值 。x57x(fx6又 为无理数，且 时， 。8()9， 81)97f综合以上可知， 在区间 上的最大值为 。fx7， 6二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）11将各项均为正数的数列 排成如下所示的三角形数阵（第 行有 个数，同一行nan中，下标小的数排在左边） 。 表示数阵中，第 行、第 1 列的数。已知数列 为等比数bnnb列，且从第 3 行开始，各行均构成公差为 的等差数列（第 3 行的 3 个数构成公差为 的等d
