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1、Section2.3：角动量守恒定律,2.3.1 刚体的定轴转动2.3.2 力矩 转动定律 转动惯量力矩转动定律转动惯量2.3.3 刚体转动定律及其应用2.3.4 转动中的功和能2.3.5 角动量及其守恒,引言：,物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两点之间的距离都保持不变刚体。,说明1) 理想化的力学模型；2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；3) 刚体可以看成是无数质点组成的质点系. 刚体可以看成一个包含有大量质点、而各个质点间距离保持不变的质点系。,若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .,2.3.1 刚体的定轴
2、转动,一、刚体运动,1. 平动：,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动.,非定轴转动,定轴转动,角位移,角坐标,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,二、刚体转动的角速度与角加速度,角加速度,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同；3） 运动描述仅需一个坐标 .,定轴转动的特点,刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示 .,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,三、匀变速转动公式,四、角量与线量的关系,例题： 一转动的轮子由于摩擦力矩的
3、作用，在5s内角速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。,解 根据题意，角加速度为恒量。,(1) 利用公式,(2) 利用公式,5秒内转过的圈数,(3) 再利用,2.3.2 力矩 转动定律 转动惯量,一、力矩,1、引入,外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。力通过转轴：转动状态不改变力离转轴远： 容易改变力离转轴近： 不易改变,2、力对点的力矩,3、力对转轴的力矩,情况1：力与轴平行，则M=0,力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩,情况2：刚体所受的外力F在垂直于转
4、轴的平面内力臂：转轴和力的作用线之间的距离d称为力对转轴的力臂。力矩：力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩。 M=Fd,4、合力矩,结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。,5、单位,Nm,二、转动定律,1、一个质点的情况,法向力 Fn=man，通过转轴，力矩为零切向力 Ft=mat=mr对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2质点的角加速度与质点所受的力矩成正比,2、内力矩,d,f,f ,两个内力的合力矩为零。推广：刚体的内力力矩之和为零。,3、刚体的情况,把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点i，假设它的质量为mi，所受的外力为Fi，内力为f i，则,其中Mi为外力矩和内力矩之和。,合
5、力矩外力矩之和内力矩之和=外力矩之和=M,定义转动惯量,转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,说明：1) 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2) 转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。,三、转动惯量,1、定义,刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。,2、说明,转动惯量是标量； 转动惯量有可加性； 单位：kgm2,3、转动惯量的计算,若质量连续分布,若质量离散分布,例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,例1、求长
6、为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,例2、求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,内半径为R1 外半径为R2 质量为m 的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量,例4、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量,在球面取一圆环带，半径,例5、质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,4、几种刚体的转动惯量,垂直于杆的轴通过杆的中心 J=M l 2/12垂直于杆的轴通过杆的端点 J=M l 2/3对通过盘心垂直盘面的转轴 J=MR 2/2,5、影响
7、刚体转动惯量的因素,刚体的总质量；刚体的质量分布；转轴位置。,四、平行轴定理,推广：过质心的转动惯量为JC, 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有平行轴定理 JJCm d 2。,说明：1)通过质心的轴线的转动惯量最小；2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。,2.3.3 刚体转动定律及其应用,题目类型已知两个物理量，求另一个：1.已知J和M，求2.已知J和 ，求M3.已知M和 ，求J,解题步骤1.确定研究对象；2.受力分析；3.选择参考系与坐标系；4.列运动方程；5.解方程；6.必要时进行讨论。,注意以下几点：1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2.要选定转轴
8、的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3. 系统中有转动和平动，转动物体转动定律平动物体牛顿定律,例、一个质量为M、半径为R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,解：,例2、一根长为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。 当棒处在下摆任意角时，重力矩为：,再求角速度,小结,刚体的概念刚体的平动和转动刚体转动的角速度和角加
9、速度,力矩,转动定律,转动惯量,几种刚体的转动惯量,垂直于杆的轴通过杆的中心 J=M l 2/12垂直于杆的轴通过杆的端点 J=M l 2/3对通过盘心垂直盘面的转轴 J=MR 2/2,2.3.4 转动中的功和能,一、力矩作功,外力F 角位移d力F 位移的大小ds=rd作功为,说明：力矩作功的实质仍然是力作功。对于刚体转动的情况，用力矩的角位移来表示。,二、力矩的功率,1、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功。,2、公式,3、意义表示力矩对刚体作功的快慢。,功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。,三、刚体的转动动能,刚体以角速度作定轴转动 质元mi，距转轴 ri，速度为vi=ri动
10、能为：,整个刚体的动能就是各个质元的动能之和,用转动惯量表示,刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。,四、刚体绕定轴转动的动能定理,设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为d，合外力矩对刚体所作的元功为,刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量。,例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。,解：圆盘和物体的受力如图，对于圆盘，根据转动动能定律,对于物体来说，由质点动能定理，得,由
11、牛顿第三定律,由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有,解上述方程，可得,2.3.5 角动量及其守恒,一、质点的角动量定理和角动量守恒定律,1、质点的角动量,大小：Lrmvsin,方向：右手螺旋定则判定,单位：kgm2/s 量纲：ML2T-1,质点质量m，速度v，位置矢量为 r，定义质点对坐标原点O的角动量L为该质点的位置矢量与动量的矢量积,说明,角动量是物理学的基本概念之一。角动量与质点的运动和参考点有关。作圆周运动的质点的角动量 Lmrv,质点作匀速直线运动时，质点的角动量L怎么变化？,2、质点的角动量定理,设质点的质量为m，在合力F 的作用下，运动方程,考虑到,得,所以,Mdt 叫作冲量矩,质点
12、的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。成立条件：惯性系,3、质点的角动量守恒定律,若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，,角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。,两种情况：a、质点所受的外力为零b、外力不为零，合力矩为零特例：在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的匀速直线运动。,二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1、刚体定轴转动的角动量,刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：,所以刚体绕此轴的角动量为：,刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积。,2、刚体定轴转动的
13、角动量定理,由转动定律,得,积分得,当转动惯量一定时,当转动惯量变化时,刚体的角动量定理：当转轴给定时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。,3、刚体定轴转动的角动量守恒定律,若刚体所受的合外力矩为零，即M=0,角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。,讨论：分两种情况：1) 如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。花样滑冰运动员的旋转表演,跳水运动员,茹可夫斯基凳,直升飞机,例1、如图所示,一质量为m的
14、子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M 。,解:以f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：,因 f = - f由两式得,例2、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。,解:碰撞前单摆摆锤的速度为,令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有,在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:,二式联立解得：,按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的
15、高度显然为,而杆的质心达到的高度满足,由此得,本小节回顾：,刚体转动惯量的计算刚体定轴转动的转动定律的应用质点的角动量刚体的角动量,作业：,2.3.5 经典力学的成就和局限性,一、经典力学的成就,是理论严密、体系完整、应用广泛的一门科学是经典电磁学和经典统计力学的基础促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技术奠定了基础是现代科学技术的基础,二、经典力学受到的三次严重挑战,1905年爱因斯坦建立的狭义相对论1925年前后建立的量子力学20世纪60年代发现的混沌现象,三、经典力学适用范围,经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，而不能用来处理高速运动问题 经典力学只适用于宏观物体，而一般不适用于微观粒子,四、狭义相对论的几个结论,速度,质量,动量,动能,质能关系,小结:,力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理力矩作功,力矩的功率,刚体的转动动能,刚体绕定轴转动的动能定理,刚体的平面运动,经典力学的成就和局限性,
