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1、12015 全国高中数学联赛预赛模拟题 71. 定义集合运算 : .设 ， ，则集ByAxzBA,| 0,28,B合 的所有元素之和为_.解：集合 的元素： ， ， ，02116823z，故集合 的所有元素之和为 16. 084z2. 已知 是等比数列， ，则 的取na4,52aNnaa1321值范围是_.解: 设 的公比为 ，则 ，进而 .nq8253a2q所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列. 1na141.nnn 3241321显然， . 813212 naaa3. 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地
2、分成 4 小块地，在总共 8 小块地中，随机选 4 小块地种植品种甲，另外 4 小块地种植品种乙.在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，则 X 的数学期望 _.()EX解：X 的可能取值为 0,1,2,3,4.， ， ，481(0)7PC13485CP2481()35CPX，354()70即 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 来源:Zxxk.Com783183585170X 的数学期望是： . 270EX24设函数 定义在 上，给出下述三个命题：)(xfR满足条件 的函数图象关于点 对称；满足条件4)2()xf 2,的函数图象关于直线 对称； 函数 与2()(xfxf2)(x
3、f在同一坐标系中，其图象关于直线 对称.其中，真命题的个数是x_.解：用 代替 中的 ，得 .如果点2x4)2()(fxf 4)()xf在 的图象上，则 ，即点 关于点 的对称点y,)(xfyy,2,也在 的图象上.反之亦然，故是真命题.用 代替x4)(xfy x中的 ，得 .如果点 在 的图象上，2()(ff)4()xffy,)(f则 ，即点 关于点 的对称点 也在 的图象上，xyy,2x故是真命题.由是真命题，不难推知也是真命题.故三个命题都是真命题5. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 和 ， 、 分别为 、 的中点，每两条弦的两端都
4、在球面上运动，7234MNABCD有下面四个命题：弦 、 可能相交于点 弦 、 可能相交于点ABCDN 的最大值为 5 的最小值为 1MN其中真命题为_.解：假设 、 相交于点 ，则 、 共面，所以 、 、 、 四点共圆，ABCABCD而过圆的弦 的中点 的弦 的长度显然有 ，所以是错的容易证N明，当以 为直径的圆面与以 为直径的圆面平行且在球心两侧时， 最大为M，故对当以 为直径的圆面与以 为直径的圆面平行且在球心同侧时，ABD最小为 1，故对.显然是对的显然是对的.故MN6.设 , , , ,则)208sin(a)208sin(cob)208cos(in)208cos(d的大小关系是_.d
5、cb,解：因为 ，所以，01365； ；)si()si(0 )si()si(00b； 8con28no28co8cod又 ，故i.ab7. 设函数 ，且 ， ，则 _.1463)(2xxf 1)(af9)(bfba3A.2 B.1 C.0 D. 2解：由 ，令 ，则1031463)(2 xxxf yg3)(为奇函数且单调递增. yg而 , ,01aa1903)(bbf所以 , , ,从而 ,9)()(bg9)()(a即 ,故 .1b28在平面直角坐标系中，定义点 、 之间的“直角距离”为1,yxP2,yQ若 到点 、 的“直角距离”相等，.),(12yxQPdC3A,6B其中实数 、 满足 、
6、 ，则所有满足条件的点 的轨迹的长度y0C之和为解：由条件得 963yx当 时，化为 ，无解；91当 时，化为 ，无解；3y当 时，化为 12xy若 ，则 ，线段长度为；若 ，则 ，线段长度1x5.865.9y为 ；若 ，则 ，线段长度为综上可知，点 的轨迹的构成的线段2563C长度之和为 填 1459.多项式 的展开式在合并同类项后， 的系数为 02xx 150x.（用数字作答）解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程 的不超过 100rts的自然数解的组数.显然，方程的自然数解的组数为 .215C下面求方程的超过 100 自然数解的组数.因其和为 150，故只能有一个数超过100，不
7、妨设 .将方程化为10s 49)10(ts记 ，则方程 的自然数解的组数为 rt .251因此， 的系数为 .填 7651.5x765213215C10.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第 棵树种植在k点 处，其中 ，当 时，kyP,yk.521;1kyxkk其中， 表示实数 的整数部分，例如 ， 按此方案，第 2008 棵a6.20.树种植点的坐标为 .解：令 ，则51)(kkf45121212() ()55kkkkkf f故 是周期为 5 的函数. 计算可知： ； ； ； ； . 所以，0)2(f)3(f0)4(f)(f)6(f； ；810728x 2712607
8、x.以上各式叠加，得 )08()3(51208 ffx3)(451 f；37x同理可得 .208y所以，第 2008 棵树的种植点为 .填 .402,311. 如图，在 中, , 的内切圆 分别切边 于点 ,直ABC6ABCI,ABCDE线 分别与直线 相交于点 , 证明： DEI， FG， 12证法一：分别连接 ,IDEI， ， ， ，则 四点共圆.、 、 、所以 ,12IA从而 ,90BF又 ,1182ICCA（ ） =所以 .DI又 ,得 .所以 .BIFBDI又由 ,得 ,所以 , 从而IFCBF.1302FCGA同理 ，所以 四点共圆，由此 ，BCG、 、 、 sinG所以 .证法二
9、：因为 ，1()2IB又因为 ，801()2ABDGEBC所以 四点共圆，因此 .I、 、 、 90GDIACFGIE5同理 ，所以 四点共圆. 90CFBCFG、 、 、又 ，所以190()302GBIBC.1sin212. 在数列 中， ，a113nna（1）求证：数列 为等差数列，并求 的通项；n（2）若 对任意 的整数恒成立，求实数 的取值范围；1na2（3）设数列 ， 的前 项和为 ，求证： nbnnT231n解：（1）由 得：11021na又 ，数列 是首项为 1，公差为 3 的等差数列1ana ，即：3()2n2n（2） 对任意 的整数恒成立，即 恒成立1a31n 对任意 的整数
10、恒成立()3nn设 ，则2()nc221413()343413n nnn当 时， 为递增数列 2nc28nc所以 的取值范围为：8(,3（3）由 ，得nba1222(31)1n nn所以， 2nT4703 6231n13.已知函数 在区间 上的最小值为 ，令xxfl)(Nn,0nb， ，nnbal kapk242131求证： .21 nn解：（1）因为 ，所以函数的定义域为xxfl)( ,1又 .1当 时， ，即 在 上是减函数，故n,00)(f)(fNn,0.l)(nfb.ll1ban 因为 ,所以1422kk.1221675345322 kk又容易证明 ，所以112kk， Nkkapkk
11、124534231np23n.1nna即 .2114.过直线 上的点 作椭圆 的切线 、 ，切点075:yxl P925yxPMN分别为 、 ，联结MN.（I）当点 在直线 上运动时，证明：直线 恒过定点 ；Pl MNQ（2）当 时，定点 平分线段Q.证明：设 、 、 . 则椭圆过点 、 的切线方程分别为0,yx1,yx2,yx， .951925因为两切线都过点 ，则有 ， .P101 192502yx这表明 、 均在直线MN7上.由两点决定一条直线知，式就是直线 的方程，其中19250yx MN满足直线 的方程.,l（1）当点 在直线 上运动时，可理解为 取遍一切实数，相应的 为P0x0y.070xy代入消去 得 对一切 恒成立. 1637520yxRx0变形可得 对一切 恒成立.90yx故有 .19,6352y由此解得直线 恒过定点 .MN109,425Q（2）当 时，由式知 解得l .701635x.53470x代入，得此时 的方程为 5y将此方程与椭圆方程联立，消去 得 .12862x由此可得，此时 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点 的横坐标，即MN09,4Q.1523721x代入式可得弦中点纵坐标恰好为点 的纵坐标，即09,4Q.1092531357145y这就是说，点 平分线段 .09,2QMN
