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1、2012 数学建模国赛 B 题国家一等奖论文基于贪心算法的光伏电池最优铺设方案摘要本文研究光伏电池的最优铺设问题，根据逆变器型号及容量选择电池，得出最优阵 列，以贪心算法为原则结合二维装箱问题得出最优排布，并利用太阳辐射近似公式得出 最佳倾角与朝向。最后利用 lingo 软件进行数学规划得出小屋设计方案。对于问题 1，首先，根据太阳辐射得热公式计算出屋顶的太阳辐射强度；其次根据 逆变器的额定容量、电压的限制，穷举出所有匹配的光伏电池阵列，以贪心算法为原则 按照评价函数（单位年总电量费用/年总电量）排序，得出最优阵列，根据逆变器使用 率结合人工选择给出最优铺设方案。另外，将铺设阵列看作是二维装箱
2、问题，可给出某 种阵列的半自动最优铺设。最优铺设方案：35 年期内总发电量为 5.7 ?105 kwh ，经济效 益 6.2%，投资回收年限为 33 年。另外，本文对比了先选电池再选逆变器的方案，并且 实现了此方案的南墙最优铺设，两种方案差异很小。对于问题 2，本文仅考虑在屋顶上架空铺设光伏电池，根据已知数据库中的法向、 平面散射辐射量以及太阳辐射的近似计算公式，计算任意角度的平面接收的太阳辐射 量，以全年总辐射量最大为目标，在一定范围内通过步长逐步加密的搜索算法，搜索出 最佳的倾斜角度和壁面方位角组合，得出南方向屋顶最佳倾斜角 35.4 度，最佳壁面方 位角 218 度；北方向屋顶最佳倾斜角
3、 28.8 度，最佳壁面方位角 270 度。另外，本文对 比了真实数据和模型计算出的辐射强度，偏差在 4.6%以内，说明模型较为准确，同时本 文也对参数（倾角与方位角）给出了灵敏度分析。比较结果，发电量显著提高并且单位 发电费用下降明显，35 年内的发电总量提高 5%，投资回收年限缩短 3 年。对于问题 3，本文根据建造要求建立了数学规划模型，利用 Lingo 软件进行了计算， 得出的建造方案造型较为美观，吸收辐射能力较强，墙面有三个面有窗户，保证采光充 分。同时光伏电池组件的安装面积尽可能大却形状规则。建筑方位角为 218 度，屋顶最 高点距地面高度 5.4 米，室内使用空间最低净空高度距地
4、面高度 4 米，建筑总投影面积 74 平方米。南北向墙壁长度为 14.8 米，东西向墙壁长度为 5.0 米，南向屋顶的倾斜角 为 18.5 度，北向屋顶的倾斜角为 60 度。建筑采光为 0.21。另外，本文设计小屋的单位 面积接受到的辐射量与第一问中的建筑相比较，设计的小屋性能较问题 1 中有显著提高。关键词：最优电池阵列 贪心算法 二维装箱 逐步加密搜索1一、问题的重述在设计太阳能小屋时，需要在建筑物外表面（房顶及外墙）铺设光伏电池，通过逆 变器转换成 220V 交流电并接入电网供家庭使用。由于实际发电效率受诸多因素影响， 如太阳辐射强度、光线入射角、建筑物所处的地理纬度等，因此研究光伏电池
5、在小屋外 表面的优化铺设十分必要。分别考虑贴附和架空的安装方式，给出小屋外表面电池组件铺设分组阵列图形示意 图，要求使小屋的全年太阳能光伏发电量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并 计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益及投资回收年限。最后为大 同市重新设计一个小屋，并给出铺设光伏电池的优化方案。二、问题的分析对于问题 1，可先选择逆变器，根据逆变器的额定容量、最大电压、最大功率的限 制条件与电池组合进行匹配求得光伏电池阵列方案，并设置评价函数，对光伏电池阵列 进行排序。根据总发电量及单位发电量的费用，以及小屋的具体情况，人工进行排布， 在限制条件下选择评价高的阵列进行排
6、布。另外，可利用贪心算法进行光伏阵列的半自 动化排布。对于问题 2，可仅考虑屋顶以架空方式铺设光伏电池，进行逐步加密的搜索，即规 定倾角和朝向的变动步长，倾角一定搜索最佳朝向，朝向一定搜索最佳倾角；改变步长 再进行搜索。并且，可利用数据及经验验证算法结果的正确性。对于问题 3，可采用 lingo 软件进行数学规划，并自行设置一些符合实际的约束条 件，可运行出最优的小屋参数。三、模型假设1、一个逆变器只能串并联一种类型的光伏电池，且阵列为矩形2、光伏电池阵列布局原则为四邻域延伸3、外墙及屋顶受到的太阳辐射由直射和天空散射两部分组成，忽略地面反射辐射4、将天空散射部分简化成水平太阳散射的二分之一5
7、、架空方式只可在屋顶实现6、贴现率为 5%四、符号说明n光伏电池阵列的组数xi第 i 种电池使用的个数y j第 j 种逆变器使用的个数ki第 i 个光伏电池阵列的并联个数li第 i 个光伏电池阵列的逆变器的类型fi第 i 个光伏电池年发电量gi第 i 个光伏电池的价格hj第 j 个逆变器的价格?逆变器的逆变效率1?2光伏电池的转换效率2?单位面积光伏电池受到的辐射量wm第 m 种光伏电池的组件功率Ui第 i 种逆变器的额定电压U i第 i 种逆变器的允许输入电压Ii第 i 种逆变器的额定电流p民用电价五、问题一的解答5.1.总体思路太阳能电池布局最佳方案非常难解，为了能更好地解决问题，我们在建
8、立详细的数 学模型表示出目标函数和约束条件的基础上将问题 1 分解为两个步骤。首先，我们根据逆变器求出最优电池阵列，再利用计算机结合人工的方式对各个面 进行最优铺设。5.2 最优铺设模型5.2.0 模型的准备一个方案设计 F 用三元组 ( X , Y , Z ) 表示:X ? ( x1 , x2x24 ) 是 24 维向量， xi表示第 i 种电池使用的个数Y ? ( y1 , y2y18 ) 是 18 维向量， y j表示第 j 种逆变器使用的个数? k1l1m1?k 2l 2m2?Z 是一个结构数组?， ki 表示第 i 个光伏电池阵列的并联个数， li 表示第 i 个? k nlnmn
9、? a ( i )a( i )?1,11,2?光伏电池阵列的逆变器的类型，mi ? ?，a?( i )( i )?aki ,1?aki ,2 ?( i ) j ,1表示第 j 个并联串中电池的型号，a( i ) 表示第 j 个并联串中光伏电池的个数，f表示第 i 个光伏电池年发电量，g表示第 i 个j ,2ii光伏电池的价格， hj ：表示第 j 个逆变器的价格。5.2.1 目标分析1、全年发电量最大24max ?xifii?12、费用最小?1824? y j h j ? ?xi gimin ?j ?1i?1?3、目标整合：利润最大2435pe year ?xifi?1824?max ?i?1
10、? y j h j ? ?xi gi ?1? r?yearyear ?1?j ?1i?1? p 表示民用电价， eyear 表示年发电量的衰减系数（1-10 年 100%，10 年-25 年 90%，25 年后为 80%） ， r 为贴现率35.2.2 约束分析1、电路约束 （1）逆变器输入电压的峰值小于允许输入电压范围的最大值max U (i , j ) ? max U (i , li )U (i , j) 表示第 i 个光伏阵列的第 j 并联串的电压，U (i , li ) 表示第 i 个光伏阵列的 li 型号逆变器的允许输入电压。 （2）光伏电池组的输出功率小于等于逆变器的输入容量max
11、 Pn ?U j I jPi 表示第 i 个光伏阵列的输出功率，U i Ii 表示第 i 个光伏阵列逆变器的额定电压与额 定电流 2、面积约束小屋共由六个面组成，以每个面左下角顶点为原点建立坐标系 xoy ，每个光伏电池 阵列的左下角坐标为 ( xk , yk ) ，第 i 组光伏电池阵列的长为 ak ，宽为 bk ，则第 i 组光伏电 池阵列内部可表示为：N i ( xi , yi ) ? ?(u , w) ? R 2 n xi ? ui ? xi ? ai , yi ? wi ? yi ? bi ?东面不可铺设光伏电池的区域可表示为：east ? ?(u , w) ? R 2 n 3400
12、 ? u ? 4500,0 ? w ? 2500?南面不可铺设光伏电池的区域可表示为：south ? (u , w) ? R 2 n?3500 ? u ? 7100,0 ? w ? 2500?7800 ? u ? 8900,900 ? w ? 2300?2 ? ( w ?1700) 2? (u , w) ? R 2 n?u ?1750? 9002?北面不可铺设光伏电池的区域可表示为：north ? (u , w) ? R 2 n?550 ? u ? 2150,0 ? w ? 2100?4450 ? u ? 5550,1100 ? w ?1610? (u , w) ? R 2 n8050 ? u
13、 ? 8450,1100 ? w ?1800?面积较大的屋顶不可铺设光伏电池的区域可表示为：top ? (u , w) ? R 2 n3700 ? u ? 7300,3357.51 ? w ? 4741.21?则面积约束可表示为：? N i ( xi , yi ) ? east ?( xi , yi ) ? south ?N is.t .?N i( xi , yi ) ? north ? N i ( xi , yi ) ?top ?5.2.3 最优铺设模型2435pe year ?xi fimax ?i?11? r?yearyear ?1?1824? y j h j? ?xi gi ?j ?1
14、i?1?4?max Pn? U j I j?max Pn? U j I j? N i ( xi , yi ) ? east ?s.t .?N i ( xi , yi ) ? south ?N i ( xi , yi ) ? north ?N( x , y ) ?top ?i?ii5.3 模型的求解 5.3.1 太阳辐射量的计算（1）太阳入射角 cos ? ：cos ? ? cos ? sinh ?sin ? cosh cos(?)?1?其中，? 为壁面倾角（东南西北四个墙的壁面倾角为 90 ，面积较大的屋顶为 10.62 ） ， 在本问题中，大屋顶的? 为 10.62 ，小屋顶的? 为 59
15、， h 是太阳高度角， ? 为壁面太阳方 位角（ ? ? ? ? ，? 是太阳方位角， ? 为壁面方位角）（2）太阳直射辐射：Qd ? Qdn cos ?2?其中 Qdn 为法向直射辐射强度 （3）天空散射辐射：Q f ? cos2 ? QH ?3? 2其中 QH 为水平面散射强度 则光伏电池阵列单位面积受太阳总辐射可表示为：?4?Q ? Qd ? Qf5.3.2 年总发电量的计算?8759624?x S ?(1, ij ) ? ij j ( t , i )?t ?0 i ?1 j ?1?i 表示小屋的六个面（东南西北大屋顶小屋顶） ， j 表示光伏电池的类型，S j 表示第 j 个光伏电池的面积，?( t , i ) 表示第 i 个面在时间 t 所受到的单位太阳辐射量，?(1, ij ) 表示光伏电 池的效率。5.3.3 求解最优阵列的算法程序见附录一5输入墙编号选择逆变器SN=1根据逆变器最大容量限制 计算光伏电池最大个数 t对所有可能的串并联情况进行枚举SN=SN+1t=t-1是否满足模型约束t=1 NYN SN=18 Y 踢出劣解依据评价函数排序算法说明1、 剔除劣解的标准：面积约束2、 评价函数：单位发电量
