第七章 微分方程教案辅导

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1、1第七章 微分方程微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系

2、. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节 微分方程的基本概念例 1：一曲线通过点（1，2） ，且在该曲线上任一点 处的切线的斜率为(,)Mxy，求这曲线的方程。x解：设曲线 ，则有 ，两边同时积分，得 。()yx2dyx2C因曲线通过点（1，2） ，故 ，故曲线方程为 。11C1yx例 2：列车在平直线路上以 20m/s（相当于 72km/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度 ，问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段20.4/ms时间里行驶了多少路程？解：设列车制动后 t 秒时行驶了 s 米，列车的运动规律的函数为 ，(

3、)st则有 ，未知函数 还满足 t=0 时，s=0 ，20.4dst()t20dvt两边同时积分，有 （1） ，再积分，有10.4dstCt（2）210.StC把 时， 代入（1） ，故 。svdt120.420C把 t=0 时， s=0，代入（ 2） ，得 ，所以 。.St2当车停住时， ，代入（1）式，有 ，此时，0dsvt0.4250()tts。20.55()sm1、定义：含有自变量，未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程。2、定义：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。一般形式： ；()(,0nFxy标准形式： 。) (1)nf

4、y3、定义：微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶。如： 三阶微分方程240xyxy五阶微分方程(5)1sin注： 阶微分方程形式： 是 个变量的函数，n()(,0nFy 2其中 必须出现，其它变量可以不出现。()y4、定义：设 在区间 I 上有 n 阶连续导数，若在 I 上有()x成立,(),0nFx则函数 叫做微分方程 在 I 上的解。y()(,0nFxy5 定义：若微分方程的解中含任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，称此解为微分方程的通解。如：例 1 中 是方程 的通解。2yxC2yx例 2 中 是方程 的通解。10.st0.4S6 定义：确定微分方程通解中

5、 n 个任意常数的条件称为初始条件，形如 。(1)(1)000(),(),nyxyxy一阶方程： ，或时 0二阶方程： ， 或 ，00时 0x0xy7 定义：确定了通解中任意常数以后的解叫微分方程的特解。如：例 1 中 。2yx3例 2 中 。20.st8 定义：求微分方程 满足初始条件， 的特解，这样的问题(,)yfx 0xy叫一阶微分方程的初值问题，记为： 。0(,)xyf二阶微分方程的初值问题： 00(,),xxyfy9 定义：微分方程的每个解的图形是一条曲线称为微分方程的积分曲线。注：一阶微分方程初值问题 的几何意义：0(,)xyf是求微分方程的通过点 的那条积分曲线。0(,)二阶微分

6、方程的初值问题： 的几何意义：00(,),xxyfy是求微分方程通过点 且在该点处的切线斜率为 的那条积分曲线。0(,) 0y10 验证一个函数 是某微分方程 的解，只须将y()(,nF代入方程，方程恒成立即可。()yx例 3：已知 ，当 时是方程 的通解，求满12cosinktt0k20dxkt足初始条件 的特解。00,ttdxA解：将 代入 式，得 ； 代入（1）式，得t1cA0tdx所以 是方程的特解。20kcosxkt4第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分

7、方程以及一些可以化为这类方程的微分方程。一阶微分方程具有对称形式： (,)(,)0PxydQxy1、定义：一般地，形如： 的一阶微分方程()gffgy或或经变形后可以写成如上形式的方程称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.分离变量法：分离变量 ，()()gydfx两边同时积分 ，得()GyFxC(),(),GFyfx 分 别 为 g的 原 函 数即为原方程的隐式通解。证：设 ，则 ，故 即()()()gxdf()()xdfx，即 是解，即两边同时积分，解不变()gydfy反之，设 ， 也是方程的解， 是由 确0()()y()GyFC定的隐函数，则 记 ，有()0G

8、FxC()Mx，满足 ，所以()()yMdfxgy ()gdfx方程的解，叫隐式解，又此式中含任意常数，故此解为隐式通y解。例 1：求微分方程 的通解.2dxy解：分离变量： ，两边积分：2 2dyx通解为： ,xCy5例 2：求微分方程 的通解.2dyx解：分离变量： ，两边积分： 2dyx得： 21lnyxC22211xCxxyee通解为： 2xe例 3：放射性元素铀衰变时，衰变速度与当时未衰变的原子含量 成正比，已M知 时铀的含量为 ，求在衰变过程中铀含量 随时间 变化的规律。0t0M()tt解：由铀衰变时， 随 增加单调减少，()t故设微分方程 （ 为常数，叫衰变系数） ，dt0初始条

9、件 。0t方程改写为 ，两边同时积分 ，有Mdt ()dMt，其中111lntCtttee1Ce由 ，得 ，所以 为所求。0t 00例 4：设降落伞从降落塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（ ）速度为 0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。t解：设降落伞下落速度为 阻力 ，vt(0)fkv阻由牛顿第二运动定律， ，Fmag阻又 ，得 ，2dsvatdkvt分离变量， ，dtgkg积分得 且11lnmvtC故0tv 1llnlntgmgkvmgk或 。(1)tme6例 4：有高为 1m 的半球形容器，水从它底部小孔流出，小孔横截面积 ，21cm开始容器内盛满水，求水从小孔

10、流出过程中容器里水面高度 （水面与孔口中心h间的距离）随时间 变化的规律，并求水流完流完所需要的时间。t7第三节 齐次方程一、齐次方程形如 的一阶微分方程称为齐次方程。(,)(dyyfx解法：先将方程写成 ，()dyx令 ，则由 ，得 ，yuudux所以 ，()dx两边同时积分，再用 代替 ，便得所给方程通解。yxu例 1：解 。2dyx解： ，令 ，则 ，22()1ydxxyux,dyuux，故 ，2u1()dx两端积分，得 ，lnuC即 是原方程的通解。l lyyxx例 2: 探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状由 面上的一条曲0xy线 绕 轴旋转而成。按性能的要求，在其旋转轴 轴

11、上一点 处发出的一切光线，L xo经它反射后都与旋转轴平行，求曲线 的方程。L8例 3：求解微分方程 满足初始条件 的特解.tandyyxx16xy解：设 ，则由 ，得yuxudu代入原方程，得 tandx分离变量，并积分： 得：1cotuxlsinluxC即 ，将 回代，通解为：sinuCxyiy将初始条件 代入通解中，16x 12C故所求的特解为： sin2yx9二、可化为齐次方程的方程对方程 （1）11dyaxbc1）当 时， ，为齐次方程，令 可解。10c1yadxbyux2）当（1）不是非齐次方程时，将其化为齐次方程，步骤：令 ，则 ，,(,)xXhyYk为 待 定 常 数 ,dxX

12、ydY（1） 式为 ，11111)()dahbYkcabhkc（2） 由 ，110kc 当 时，可以解出 h,k，使（1）成为齐次方程 ，ab 1dYaXb解后代回 。,xy 当 时，可令 ， （1）式为 ，1ab1ab1()yxycdab令 ，则 ，则此式为 ，vxydvyx1v成为可分离变量的方程。注：此方法可应用于更一般的方程 。11()dyaxbycf例 4：解 。(24)(1)0xydx解： ，令 ，故 ，d,XhyYk,dxXydY所以 。()()42(4)11YhkXk10令 ， ，令 ，则240312hkhk1YdXu，故 ，故,dYuuXX2ud2 212 ln(1)ln1X

13、uXC，即 2Cu 22()CYY2()(3)38yxyxxyxy （C 为任意常数） 。11第四节一阶线性微分方程一、线性方程1、定义：形如 （1）的方程称为一阶线性微分方程。()dypxQ当 时， （2）是它对应的一阶线性齐次微分方程。0()0yx当 时 （1）为一阶线性非齐次微分方程()xdp方程（1）解法：法一：先求（1）对应的齐次微分方程（2）的通解：即令 ，有()0Qx，得 ，()dypx )1ln()pdypxdCye使用常数变易法：令（1）的解为 ，则()pxdCe，()() () ()pxd pxdpxddye ecex 代入（1）式，有 。() () ()pxdeCCQ 故

14、 ，() ()pxd pxdCeQe 积分， ，()2pxde得方程（1）的通解 （3）()()pxdxyeC法二：公式法方程： 的通解为（3）式，()dypxQ分析：即 ，第一项对应齐次方程通解，()()()pxdxdCee第二项对应非齐次方程一个特解例 1：求 的通解。52(1)yxd12解：先求对应的齐次方程的通解：，2011dydyxxlny212l(1)xCyx用常数变易法：令 是原方程通解，则()C，2()yCxdx，故522()11()1()x12(),Cx，所以 是非齐次方程的通解。32()32yx例 2：解 。sinxy令 ，则 。1i(),()pxQx11sin(cos)dxdxyeeCx例 3: 求方程 的通解.32()0yd解：将 看作 的函数：方程 为一阶线性非齐次微分方程x321dxy对应的齐次方程为 320xy分离变量，并积分 ，即dy12xCy利用常数变易法：令 代入原方程得：2()x 1()y积分得： ()lnCy故，原方程的通解为： 21(ln)xyC例 4： 利用变量代换法求方程 的通解.2()dyx13解：令 ，则 代入原方程中，xyu1dyux21dux分离变量，积分 ，得：2xarctn