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1、第 6 期1997 年 11 月 光 学 技 术O PT ICAL T ECHNOLO GY N o. 6N ov. 1997运 动 目 标 空 间 位 置 坐 标 激 光跟 踪 测 量 的 数 学 模 型 X刘 永 东 王 佳 梁 晋 文(清 华 大 学 精 密 仪 器 及 机 械 系 , 北 京 100084)摘 要 : 运 动 目 标 空 间 位 置 激 光 跟 踪 测 量 是 国 际 计 量 测 试 领 域 的 前 沿 课 题 , 该 测 量 系 统 集 激 光 干 涉测 距 、 精 密 机 械 、 计 算 机 及 控 制 系 统 和 现 代 数 值 计 算 于 一 体 , 对 空 间
2、 运 动 目 标 进 行 跟 踪 并 实 时 测 量 其 坐标 和 姿 态 。 它 的 测 量 范 围 为 1 5m , 测 量 精 度 为 50Lm m。 它 的 测 量 原 理 主 要 是 干 涉 法 和 三 角 法 。 在 干涉 法 中 , 根 据 跟 踪 测 量 机 构 数 量 的 多 少 又 可 分 为 一 站 法 和 多 站 法 。 一 站 法 采 用 球 坐 标 测 量 法 , 多 站 法 通过 解 最 小 二 乘 方 程 组 计 算 出 被 测 点 的 坐 标 。 文 中 对 各 种 测 量 方 法 的 数 学 理 论 模 型 进 行 了 较 为 详 细 地 论述 。关 键 词
3、 : 激 光 跟 踪 , 干 涉 法 , 三 角 法 , 数 学 模 型 。M athematical m odel of laser track ing system for m easur ingspatial position and altitude of m ov ing targetsL iu Yongdong W a ng J ia L ia ng J inw e n(T singhua U niversity, Beijing 100084)Abstract: T he laser track ing and m easuring of spatial moving targe
4、ts is a new ly2developed aspectand frontier in international m etro logy. T he m easuring system is m ade up of the techniques of laser in2terferom etry, p recision m echanism , computer, contro l and moden num erical computation. T he movingtargets are tracked and its spatial po sition and attitude
5、 m easured in real tim e. It has a m easuring rangeof one to ten m eters and an accuracy of fifty m icrons per m eter. T he m easurem ent p ricip le can be divid2ed into interferom etry and triangulation. T he interferom etry can be further subdivided into single2sta2tion and m ultistation m ethods
6、based on the num ber of track ing and m easuring m echanism. T he single2station m easuring system determ ines the po sition of targets by spherical coo rdinate, w h ile the m ultista2tion m easuring system by so lving the least2square equations. T h is article discusses the m athem aticaltheo ry mo
7、dels of all k inds of m easuring m ethods in considerable detail.Keywords: laser track ing, interferom etry, triangulation, m athem atical model.一 、 概 述空 间 位 置 坐 标 测 量 仪 器 种 类 繁 多 , 原 理 和精 度 差 别 很 大 。 目 前 测 量 精 度 最 高 的 是 采 用 激光 跟 踪 动 态 测 量 。 运 动 目 标 空 间 位 置 激 光 跟 踪动 态 测 量 是 计 量 测 试 的 一 个 新 的 发 展 方 向
8、 , 是激 光 技 术 在 测 试 领 域 的 最 新 应 用 。 测 量 精 度 要求 高 (微 米 量 级 ) , 动 态 跟 踪 测 量 难 度 大 , 计 算 过程 繁 琐 , 测 量 系 统 复 杂 。 它 可 以 测 量 大 型 零 部件 、 组 装 件 的 整 体 外 形 几 何 参 数 和 形 位 误 差 以及 加 工 现 场 在 位 测 量 , 适 合 于 运 动 目 标 (如 机 器人 臂 ) 等 空 间 运 动 轨 迹 , 姿 态 的 监 测 和 标 定 , 与其 他 数 控 系 统 (如 数 控 机 器 人 , 数 控 加 工 中 心 )结 合 能 够 组 成 测 控
9、一 体 化 系 统 。本 文 根 据 测 量 原 理 , 将 其 分 为 干 涉 法 和 三03X 收 稿 日 期 : 1997 年 4 月 2 日角 法 。 在 干 涉 中 , 根 据 跟 踪 测 量 机 构 的 数 量 分 为一 站 法 和 多 站 法 。 干 涉 法 和 三 角 法 跟 踪 测 量 的数 学 模 型 差 别 很 大 。 在 干 涉 法 中 , 一 站 法 使 用 长度 量 和 角 度 量 来 计 算 靶 镜 位 置 ; 多 站 法 仅 测 量长 度 的 变 动 量 而 确 定 靶 镜 位 置 ; 三 角 法 则 是 通过 测 量 角 度 量 实 现 靶 镜 位 置 的 跟
10、 踪 测 量 。二 、 激 光 干 涉 法 跟 踪 测 量 的 数 学 模 型图 1 一 站 法 激 光 跟 踪 测 量 系 统在 激 光 干 涉 法 中 , 使 用 一 个 跟 踪 机 构 跟 踪被 测 靶 镜 称 为 一 站 法 测 量 系 统 , 使 用 两 个 或 多个 跟 踪 机 构 跟 踪 被 测 靶 镜 称 为 多 站 法 测 量 系统 。 一 站 法 测 量 系 统 的 测 量 原 理 如 图 1 所示 1 2 , 光 束 被 固 定 在 一 个 精 密 驱 动 单 元 上 的平 面 镜 反 射 后 , 射 向 安 装 在 机 器 人 终 端 执 行 器的 靶 镜 后 光 束
11、平 行 返 回 , 返 回 光 束 被 平 面 镜 又一 次 反 射 后 , 部 分 光 束 经 过 分 离 器 后 射 向 一 个位 敏 二 极 管 (PSD )。 PSD 测 量 入 射 和 反 射 光 之间 的 平 行 位 移 形 成 跟 踪 误 差 信 号 , 控 制 器 控 制驱 动 单 元 轴 的 转 速 , 使 跟 踪 误 差 最 小 。 靶 镜 坐 标测 量 的 数 学 模 型 见 图 2。图 2 一 站 法 测 量 的 数 学 模 型11 一 站 法 跟 踪 测 量 的 数 学 模 型跟 踪 器 的 旋 转 中 心 为 O 点 , 被 测 靶 镜 的 中心 为 P 点 。 用
12、 两 个 角 度 编 码 器 分 别 测 量 出 P 点的 垂 直 方 位 角 (V ) 和 水 平 方 位 角 (H z ) , 用 激 光干 涉 仪 测 量 O 点 到 P 点 的 距 离 d , P 点 坐 标(X , Y , Z ) 很 容 易 地 由 (V 、 H z 和 d ) 计 算 得 出 ,并 且 可 以 通 过 空 间 齐 次 坐 标 变 换 , 将 P 点 的 坐标 转 换 到 用 户 自 定 义 的 坐 标 系 中 。 为 了 测 量 d ,需 预 先 标 定 一 个 参 考 点 到 O 点 的 距 离 。21 多 站 法 跟 踪 测 量 的 数 学模 型普 通 激 光
13、 干 涉 仪 是 增 量 式 传感 器 , 需 要 已 知 一 个 参 考 点 来 确定 靶 镜 的 位 移 , 如 果 参 考 点 的 位置 坐 标 不 能 精 确 地 得 到 , 需 要 采用 多 站 法 , 通 过 测 相 对 位 移 , 进 而推 算 出 被 测 点 的 空 间 坐 标 3 5 。仅 使 用 长 度 量 来 计 算 空 间 一 点 坐标 , 至 少 需 要 三 个 跟 踪 器 。 已 知 三 个 跟 踪 器 的 位置 , 再 根 据 三 个 被 测 长 度 量 , 可 推 算 出 靶 镜 的 坐标 。 图 3 中 假 定 点 A 、 B、 C 分 别 为 三 个 跟 踪
14、 镜 的中 心 , P 为 靶 镜 中 心 点 。 A 、 B、 C 的 坐 标 (分 别 表示 为 rs1、 rs2、 rs3)已 知 , 而 且 A 、 B、 C 与 P 的 相 对位 移 (分 别 表 示 为 l1、 l2、 l3) 也 测 量 出 来 , 则 被 测点 P 的 位 置 坐 标 (用 rp 表 示 )可 用 下 式 推 算 出 :(rp - rsj ) (rp - rsj ) = l2jj = 1, 2, 3 (1)图 3 三 站 激 光 测 量 系 统使 用 三 个 长 度 量 (三 站 法 )可 唯 一 确 定 空 间靶 镜 的 坐 标 , 增 加 一 个 长 度 量
15、 (四 站 法 ) 对 测 试点 造 成 过 定 位 , 可 使 用 最 小 二 乘 法 估 算 该 点 的坐 标 , 估 算 的 残 差 取 决 于 跟 踪 镜 和 参 考 点 的 测13第 6 期 刘 永 东 等 : 运 动 目 标 空 间 位 置 坐 标 激 光 跟 踪 测 量 的 数 学 模 型量 不 确 定 度 。 采 用 四 站 法 测 量 同 一 靶 镜 在 空 间多 个 位 置 点 的 位 移 变 动 量 , 可 用 最 小 二 乘 法 算出 跟 踪 器 的 所 有 几 何 参 数 以 及 靶 镜 的 空 间 位置 。 如 图 4 所 示 , 四 站 法 的 基 本 方 程 如
16、 下 :(ri - rsj ) (ri - rsj ) = (loj + $ lj i) 2j = 1, 2, 3, 4; i = 1, 2, ,m (2)式 中 m 是 测 量 的 点 数 , ri 表 示 第 i 个 被 测 点 的坐 标 , loj表 示 第 j 个 跟 踪 器 中 心 和 参 考 点 之 间的 距 离 , $ lj i表 示 由 第 j 个 跟 踪 器 测 得 的 第 i 个被 测 点 与 跟 踪 器 之 间 的 相 对 位 移 。 定 义 残 差 e为e = (r i - rsj ) (r i - rsj ) - (loj + $ lj i) 2j = 1, 2, 3, 4; i = 1, 2, ,m (3)式 中 , r i 为 ri 的 估 计 值 , 如 果 ri 值 确 知 的 话 , 残差 为 0
