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1、逻辑代数的基本公式和常用公式 一基本定义与运算代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域。这些都是大家耳熟能详的概念。如或 ；当自变量的取值（定义域）只有 0 和 1（非 0 即 1）函数的取值也只有 0 和 1（非 0 即 1）两个数这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数。逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于 1849 年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生 100多年后才发现其应用和价值。其规定：1所有可能出现的数只有 0 和 1 两个。2基本运算只有“与
2、”、“或”、“非”三种。与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为（ 为与运算符，后用 代替）0 00 0 10 1 00 1 11 或0 00 0 10 1 00 1 11或运算（逻辑或、逻辑加）定义为（ 为或运算符，后用代替）0 00 0 11 1 01 1 11 或000 011 101 111非运算（取反）定义为：至此布尔代数宣告诞生。二、基本公式如果用字母来代替数（字母的取值非 0 即 1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：A AA A+A=AA 00 A+0=AA 1A A+1=1= + =上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式
3、即告成立。现以 = + 为例进行证明。对 A、B 两个逻辑变量，其所有可能的取值为00、01、10、11 四种（不可能有第五种情况）列表如下：由此可知：= +成立。用上述方法读者很容易证明：三、常用公式1左边 右边2左边 右边例题：将下列函数化为最简与或表达式。（公式 1： ）= (公式 2： )（ ） 练习题：3异或运算和同或运算（放到最小项卡诺图中讲） 四、逻辑函数1定义：如果有若干个逻辑变量（如 A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式 L。对逻辑变量的任意一组取值（如 0000、0001、0010 ）L 有唯一的值与之对应，则称 L 为逻辑函数。逻辑变量 A、
4、B、C、D 的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)2真值表：在举重比赛中，通常设三名裁判：一名为主裁，另两名为副裁。竞赛规则规定运动员每次试举必须获得主裁及至少一名副裁的认可，方算成功。裁判员的态度只能同意和不同意两种；运动员的试举也只有成功与失败两种情况。举重问题可用逻辑代数加以描述：用 A、B、C 三个逻辑变量表示主副三裁判：取值 1 表示同意（成功），取值 0 表示不同意（失败）。举重运动员用 L 表示，取值 1 表示成功，0 表示失败。显然，L 由 A、B、C 决定。L 为 A、B、C的逻辑函数。列表如下：A B C L0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0
5、0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1该表称为逻辑函数 L 的真值表。注意：真值表必须列出逻辑变量所有可能的取值所对应的函数值，不能有遗漏。（二个变量有 22=4，三个逻辑变量有 238，四个变量有 2416 种可能的取值）3由真值表写出逻辑表达式：从真值表可看出 L 取值为 1 只有三项，A、B、C 的取值分别为 101、110、和 111 三种情况L 才等于 1。 、 、 三项与上述三种取值对应。 练习：1.已知函数 Y=C(D+E)列出其真值表。2.写出与下列真值表相对应的逻辑表达式并化简：A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0例：三个开关控制一个灯的电路如下图所示。试用逻辑代数（数学）对该电路进行描述。解：如果规定开关合上用 1 表示，断开用 0 表示；灯亮用 1 表示，灯灭用 0 表示。显然该问题是一个逻辑问题。L 是 K1、K 2、K 3三变量的逻辑函数，所以可以直接写出L= K1(K2+K3)我们也可以列出真值表：显然这就是举重裁判的控制电路。并联的开关可用或运算，串联的开关可用与运算来描述。
