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1、概念讲解利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n) 模仿模拟滤波器的冲击响应 ha(t), 使 h(n)正好等于 ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT)T 为采样周期。如以 Ha(s)及 H（z）分别表示 ha(t)的拉氏变换及 h(n)的 z 变换，即Ha(s)=Lha(t)H(z)=Zh(n) 则根据采样序列 z 变换与模拟信号拉氏变换的关系，得:上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换
2、，正是以前讨论的拉氏变换到 Z 变换的标准变换关系，即首先对 Ha(s)作周期延拓，然后再经过 z=est 的映射关系映射到 Z 平面上。z=est 的映射关系表明， S 平面上每一条宽为 2/T 的横带部分，都将重叠地映射到 Z 平面的整个全部平面上。每一横带的左半部分映射到 Z 平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到 Z 平面单位圆以外，j 轴映射在单位圆上，但 j 轴上的每一段 2/T 都对应于绕单位圆一周，如下图所示：图 脉冲响应不变法的映射关系应当指出，Z=e st 的映射关系反映的是 Ha(s)的周期延拓与 H（z）的关系，而不是 Ha(s)本身与 H（z）的关系，因此，使用脉冲
3、响应不变法时，从 Ha(s)到 H(z)并没有一个由 S 平面到 Z 平面的简单代数映射关系，即没有一个 s=f(z)的代数关系式。另外，数字滤波器的频响也不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为 S=2/T=2fs，即正如第一章采样定理中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 S/2 以内，即Ha(j)=0 | /T这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内） | 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器
4、频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达的传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 NM，则可表达为部分分式形式： 其拉氏反变换为： 其中 u(t)为单位阶跃函数。对 ha(t)采样就得到数字滤波器的单位脉冲响应序列再对 h(n)取 Z 变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有 ，所以有 比较部分分式形式的 Ha(s)和上式 H(z)可以看到，S 平面上的极点 s=si,变换到 Z 平面上是极点 ,而 Ha(s)与 H(z)中部分分
5、式所对应的系数不变。如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 si 都在 S 左半平面，即 Resi0,那么变换后 H(z)的极点 也都在单位圆以内，即| |= 1，因此数字滤波器保持稳定。值得注意的是，这种 Ha(s)到 H(z)的对应变换关系，只有将 Ha(s)表达为部分分式形式才成立。 虽然脉冲响应不变法能保证 S 平面与 Z 平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个 S 平面与 Z 平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与 S 平面上的零点就没有一一对应关系，而是随着 Ha(s)的极点 si 与系数 Ai 的不同而不同。H(ej) 是 Ha(j)的周期延拓（周期
6、为 fs） ，因 Ha(j)并不是带限，即在超过 fs 频率部分并不为 0，所以就产生了混迭。当为低通或带通滤波器时，fs 越大，则 Ha(j)的下一周期相隔越远，混迭也就越小。当为带阻或高通滤波器时，Ha(j) 在超过 fs/2 频率部分全为通带，这样就不满足抽样定理，发生了完全的混迭，所以脉冲响应不变法不能设计带阻或高通滤波器。 小结 在要求时域脉冲响应能模仿模拟滤波器的场合，一般使用脉冲响应不变法。 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， 与 是线性关系。因此如果模拟滤波的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的
7、贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 如果 Ha(s)是稳定的，即其极点在 S 左半平面，映射到 H(Z)也是稳定的。 脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带限滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。所以用脉冲响应不变法实现高通和带限滤波器时，应增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带，然后再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，只有在一定需要频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。概念讲解
8、脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从 S 平面到 Z 平面的标准变换 ze sT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个 S 平面压缩到 S1 平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个 Z 平面上去。 由此建立 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。图 双线性变换的映射关系为了将 s 平面的 j 轴压缩到 s1 平面 j 轴上的-一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里 C 是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定 C，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。
9、经过这样的频率变换，当 1 由时 由 即映射了整个 j 轴。 将这一关系解析延拓至整个 s 平面，则得到 s 平面 平面的映射关系： 再将 s1 平面通过标准变换关系映射到 z 平面，即令 通常取 C=2/T 最后得 S 平面与 Z 平面的单值映射关系：现在我们再来看一看常数 C 的取值方法：双线性换法的主要优点是 S 平面与 Z 平面一一单值对应，S 平面的虚轴(整个 j)对应于Z 平面单位圆的一周，S 平面的 =0 处对应于 Z 平面的 =0 处， 对应 即数字滤波器的频率响应终 止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 上面讲到，用不同的方法确定待定常数 C，可以使模拟滤波器的频率
10、特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。也就是说，常数 C 可以调节频带间的对应关系。确定 C 的常用方法有两种：保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。此时两者在低频处有确切的对应关系，即因为 和 都比较小，所以有另外，根据归一化数字频率 与模拟频率 的关系， ，所以有=cT/2 ，所以， c=2/T保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率 ，与模拟滤波器的某一待定频率 c 严格对应，即当截止频率较低时，有 ， 所以一般取 。 现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S 平面到 Z 平面映射变换的二个基本要求： 当 时，代入即 S
11、 的虚轴映射到 Z 平面正好是单位圆。 代入 z 表达式，得当 时，z1 ，即 s 左半平面映射在单位圆内，s 右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。看前面双线性变换的映射关系图。小结： 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：靠频率的严重非线性关系得到 S平面与 Z 平面的单值一一对应关系，整个 j 轴单值对应于单位圆一周，这个关系就是式所表示的，其中 和 为非线性关系。如图图中看到，在零频率附近， 接近于线性关系， 进一步增加时， 增长变得缓慢， ( 终止于折叠频率处 )，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部
12、分去的现象。图 双线性变换的频率非线性关系 双线性变换法的缺点： 与 的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。若则 另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，滤波器就不再有线性相位特性。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为
13、的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于 s 与 z 之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。置换过程频响： 这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于 IIR 的设计，大多采用双线性变换。 例题分析例：，试用脉冲响应不变法及双线性变换法将以上模拟传递函数转变为数字传递函数 H(z)，采样周期 T=0.5。解：(1)脉冲响应不变法 Ha(s)的极点为 sp1=-1，s p2=-3由式 ，得(2)双线性变换法
