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1、1用不动点法求递推数列 (a2+c20)的通项dtcbatnn1储炳南（安徽省岳西中学 246600）1通项的求法为了求出递推数列 的通项，我们先给出如下两个定义：dtcbatnn1定义 1：若数列 满足 ，则称 为数列 的特征函数.nt)(1f)(xfnt定义 2:方程 =x 称为函数 的不动点方程，其根称为函数 的不)(xfx )(xf动点.下面分两种情况给出递推数列 通项的求解通法.dtcbatnn1(1)当 c=0,时,由 ,dtcbatnn1 dbtatnn1记 , ，则有 （k0）,kdctktnn1数列 的特征函数为 =kx+c,nt )(xf由 kx+c=x x= ,则kc1c
2、tktnn1 )1(1kctkctnn数列 是公比为 k 的等比数列,tn .11)(nckc11)(nktkt(2)当 c0 时,数列 的特征函数为： =nt )(xfdcba2由 xdcba 0)(2bxadc设方程 的两根为 x1,x2,则有:)(2,011bxacx 0)(2badcx (1)2)(1db(2)22xcx又设 (其中,nN *,k 为待定常数).2121tktnn由 2121xtkxtnn2121xtkxdtcbatnnn(3)2121tkdxtcbat nnn将(1)、 （2）式代入(3)式得: 212211 xtkaxtcxt nnn 212211)(ttann21
3、cxak数列 是公比为 (易证 )的等比数列.21xtn21cxa021 =21tn2121nt3.1221122121nnncxattxt2应用举例例 1：已知数列a n中，a 1=2， ，求a n的通项。311nna解：因为a n的特征函数为： ,2)(xf由 ,132)(xxf 11nna)(321nna数列a n-1是公比为 的等比数列,a n-1= an=1+ .11)32(a1)32(n例 2 已知数列a n中，a 1=3， ，求a n的通项。41n解：因为a n的特征函数为： ,2)(xf由 103124)( 22 xxxf设 21nnak214nnnak423nnk1)(3nn
4、k即 ,211nnaa4数列 是公比为 的等比数列.21na2311nna 1=3, .123nna123na例 3 已知数列a n中，a 1=2， ，求a n的通项。nn1解：因为a n的特征函数为： ,xf)(由 xxf1)( ii2120设 iakinn1iakinnn1ikinnn ikiinn)(即 ,ik1iaiann1数列 是公比为 的等比数列.ini11nniaia 1=2,12nnii12niia.1)(nniia5例 4 已知数列a n的前 n 项和为 ， ， ，求a n的nS21a)1(2naSn通项。解： )1(2aSn nn1-得： )1()()(212 na)2(1nna2n因为a n的特征函数为： ,)(xf由 x=1.xxf2)(设 ， nnba11na1nba将代入得： 2)(nnb2121 ，13421nn 211ab )(5bn 。)1(nan6
