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1、基于 SINMULINK 的倒立摆系统的 PID 控制专 业：电子与通信工程年 级：2015 级指导教师：李鹏姓 名：姚永宪学 号：1201300231621倒立摆简介倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节
2、直线倒立摆和两节旋转倒立摆。倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用
3、开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。2倒立摆应用实例32.1 系统组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力 F（ N） ， 是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角 （rad）和小车的位移 x（m） 。实际倒立摆系统的模型参数：M ：小车的质量，0.5k
4、g；m ：摆杆的质量，0.2kg；b ：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.3mJ ：摆杆对重心的转动惯量，0.006kgm 2；T ：采样周期，0.005 秒；2.2 设计指标：摆的角度小于 0.02 rad，响应时间小于 2 秒3.倒立摆系统的数学模型MxmF4应用牛顿欧拉法对倒立摆进行数学建模。3.1 小车的运动方程对小车进行受力分析，如图 1 所示。图中 P 和 N 分别表示摆杆运动在水平方向和垂直方向上对小车的作用力(N)，f v 是小车的摩擦力，等于 。xb图 1 小车的受力分析图根据牛顿定律，小车水平方向上的力平衡方程为：(1)2tdxMP
5、xbF3.2 摆的运动方程摆的运动由水平方向、铅直方向以及旋转方向的运动构成。以小车与摆的节点为坐标原点取坐标系，对摆杆进行受力分析，如图 2 所示。图 2 摆的受力分析图摆杆水平方向上的力平衡方程如下(2)sincos)()sin(22mLxmtdLxPMxF fvPNmgNP5将式(2)代入式 (1)就得到系统的第一个运动方程(3)xbmLFlxmMsincos)( 2摆杆垂直方向上的力平衡方程如下 )sinco()2LtdgN即 )sinco(2mLgN(4)由定轴转动定律： JdtM得摆杆的转矩平衡方程式为(5)JPLNcossin将式(2)(4)代入式(5)，约去 P 和 N ，得到
6、系统的第二个方程：(6)sin)(c2mgxm由式(3)与式(6)联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组(7) xbLFLxMJ sincos)()(s22因 ，故可假设 和 ，并忽略 项，得倒立摆系统线性方程o5sin1(8)xbmLxgJ)(2对方程(8)进行 Laplace 变换得到：(9)()()(22 sXLsgsJ(10)FbXM由式(9)可得(11)()(22sgmLJs将式(11)代入式 (10)，整理得摆角的 传函为： 6= - (12)(sFsqbmgLsqMsqJmLb23242其中 。22JmLMq将式(12)代入式 (11)，得小车位移的传函为：(13)qbmgLsqM
7、sqJmLbsFX232)(4.倒立摆系统设计与仿真4.1 系统的开环特性将实际系统参数 M =0.5、m =0.2、b=0.1、L=0.3、 J=0.006 代入式(12) 和式(13)，并用 u 来代表被控对象的输入力，从而得到倒立摆系统的数学模型为(14)s45.18.3.0s54)( 24 sssG当 时，对应的响应曲线如下：)(tu7图 3 开环脉冲响应可见，响应发散，系统不稳定，故需要进行闭环控制系统设计。4.2 系统 PID 控制器设计当被控对象的结构和参数不能被完全掌握,或得不到精确的数学模型时,应用 PID控制技术最为方便。PID 控制器就是根据设定值与实际值的误差,利用比例
8、(P)、积分(I)、微分(D) 等基本控制规律 ,或者把它们适当配合形成有 PI、PD 和 PID 等的复合控制规律,使控制系统满足性能指标要求。控制系统大多都有储能元件,这就使系统对外界的响应有一定的惯性,且能量和信息在传输和转化的过程中,由于管道、距离等原因也会造成时间上的延迟,所以,按偏差进行比例调节,很难取得理想的控制效果,因此引入偏差的积分(PI)调节以提高精度,引入偏差的微分(PD)来消除系统惯性的影响。这就形成了按偏差的 PID 调节系统。图 4 是典型 PID 控制系统结构图。在 PID 调节器作用下,对误差信号分别进行比例、积分、微分组合控制。调节器8的输出作为被控对象的输入
9、控制量。控制最主要的问题是参数整定问题,在 PID参数进行整定时,若有理论方法确定 PID 参数当然最为理想,但实际应用中,更多的是通过试凑法来确定 PID 的参数。而利用 MATLAB 强大的仿真工具箱的功能,可以方便地解决参数整定问题。图 4典型 PID 控制系统结构图4.3 PID 控制器的 SIMULINK 仿真倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆保持竖直向上的稳定,故在 MATLAB 中建立PID 控制的。Simulink 仿真模型并仿真 ,如图 5。在 Simulink 环境下对 PID 参数进行整定,非常直观,完全可视化操作,省去了编程的工作量。利用 Simulink 的控制模块很容
10、易对系统进行建模校正,按下仿真按钮启动对系统的仿真,可以随意改变仿真参数,完成对系统的校正。9图 5 PID 控制的 Simulink 仿真结构图PID 控制器系数取为 Kp=1、K i=1、K d=1 时，脉冲响应曲线如图 6图 6 系统在 Kp=1、K i=1、K d=1 时，脉冲响应曲线从系统响应曲线可以看出,系统响应是不稳定的,不能满足要求,需要调整 K d 、10K i 、K d ,直到获得满意的控制结果。 首先增加比例系数 K p ,取 K p=80，K i=1，K d =1 脉冲响应曲线如图 7 所示 图 7 系统在 Kp=80、K i=1、K d=1 时，脉冲响应曲线由系统响应
11、曲线可以看出,系统稳定,且系统的调节时间约为 2 秒,满足要求。由于此时稳态误差为零,所以不需要改变积分环节。系统响应的超调量较大,调整时间较长,为了减小超调,加快响应速度,增加微分系数 K d ,取 K d =30,脉冲响应曲线如下图 11图 8 系统在 Kp=80、K i=1、K d=30 时，脉冲响应曲线此时系统响应满足指标要求 5.结语本文从倒立摆系统的动力学微分方程入手,建立了传递函数模型,并在此基础上,在 MATLAB 的 Simulink 环境下对系统进行 PID 控制,结果说明了这种方法步骤简单,工作量小,行之有效。 不过在仿真过程中也遇到了一些困难，比如在力学分析、模型的简历
12、以、脉冲参数得选择以及控制系数的选择，整定过花费了不少时间和精力，功夫不负有心人，在自己的坚持和同学的帮助下，最后顺利完成，在此我要特别感谢我们班许珺同学，他在仿真过程中给了我不少帮助。通过这次时间我对控制工程这门课有了更加深入的认识，复习了 simulink 的相关应用，提高了学习兴趣。参考文献:1白金,韩俊伟 .基于 MATLAB / Simulink 环境下的 PID 参数整定J. 哈尔滨商业大学学报,2007,23(11):673-681.2何东健,刘忠超 ,范灵燕.基于 MATLAB 的 PID 控制器参数整定及仿真 J.西安科技大学学报,2006,26(4):512-514.3张静.MATLAB 在控制系统中的应用 M.北京:电子工业出版社,2007:128.4田玉平.自动控制原理 M.北京:电子工业出版社,2002:206.60
