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1、,一维势垒散射 2014.12.04,7.1波包的反射和透射系数公式7.1.1分波包的自相关7.1.2分波包在平面波上的投影7.2势垒散射的交叉相关函数公式和S-矩阵7.2.1波包的相关矩阵7.2.2S-矩阵7.3用本征态表示的散射理论7.3.1散射本征态的渐进行为7.3.2动量与能量归一本征态7.3.3反射与透射系数：通量守恒的方法7.4散射本征态的重叠积分7.4.1 和 之间的关系7.4.2S-矩阵7.5用散射本征态重组波包7.6共振与时间延迟,7.1.1分波包的自相关,7.1波包的反射和透射系数公式,考虑不对称的一维势，这给出了哈密顿量和势能函数,图7.1是波包分开的过程。A表示波包从左
2、边入射，在这里定义t趋向于负无穷时刻入射，这使得入射波包只含有动量大于零的成分。为了方便，书上把入射方向的称为反应物，把出射方向的成为生成物。在图7.1中，波包的平均能量要小于势垒能量的最大值。在经典力学中，入射粒子将会被完全反射，而在量子中，波包将会分开，一部分被反射，一部分被透射。b图是碰撞过程，碰撞之后波包分开，如图c所示。在这里我们定义碰撞之前即t=0时刻，入射波包接近势垒但只含有动量大于零的平面波成分。t=T时刻，波包完全被分开，定义在生成物这边的几率波幅为 ，在生成物这边的为 ，得到,下面这几幅是波包在动量表示中的图，和坐标表示一一对应。同理可得到,7.5式中的交叉项消失，我们可以
3、定性的理解为这些函数在坐标和动量空间处于不同的区域，它们没有重叠项。,我们把归一化的条件运用到7.2式，得到,通过分离透射和反射波包，构造它们各自的自相关函数，傅立叶变换，得到反射和透射波包的光谱,设,在上述推导中，第一步和最后一步用到了自相关函数的性质习题6.25,同样，这里的交叉项 。也就说即使 随时间向后扩散，它也不可能与 有重叠项。在出射时刻两个波包正交，不管以后波包怎样随时间演化，两个波包还是正交，同理，若入射时刻两个波包正交，则它们的正交性不变。,对7.7式两边进行傅立叶变换,上式两边同时除以 ，得到,这时 ，定义反射系数 和透射系数,7.9式也说明粒子要么反射要么透射，只有这两种
4、情况,a为入射波包，反射波包和透射波包的自相关函数b为三个波包的光谱图,7.1.2分波包在平面波上的投影,我们继续讨论波包分开的过程，根据波包在平面波上的投影给出反射和透射系数的另一种表达式。要做这个计算首先用到能量归一平面波。可以根据动量归一平面波得到能量归一平面波。现在我们从平面波的动量归一定义开始。 动量归一化与能量归一化平面波 既然有了自由粒子薛定谔方程，我们可以得出它们的解,方程的解已由表格7.1给出，满足归一化条件,利用 函数的性质,事实上，我们所说的动量归一化，是用k代替了p。为了得到光谱项的表达式，应该用能量表示,类似的，我们也可以得到势垒右边的能量归一化波函数。为了确定完整性
5、，在能量归一化波函数中，我们需要考虑处于能量E时，有两个动量+k,三个光谱的投影首先考虑入射波包的光谱公式,为入射波包， 是入射波包的能量光谱。这个式子中最重要的点是用 代替 。我们知道在散射过程中入射波包的自相关函数在有限的时间内一定会衰退为零，尽管有一些特例，比如共振，衰退时间会延长，但在散射过程中也是有限的。对于时间零点时刻的转换自相关函数不变。我们可以选取时间为负无穷远为时刻零点，这样在波包到达相互作用势之前入射波包的相关函数已衰退为零。借助这种时间变换，在反应物区域相关函数就已经完全被确定，因此在传播中可以用 代替 。应该指出对于入射波包，态 是完备的，得到，,这里，用到了7.14式
6、，而且入射波包在 态上没有投影。,现在考虑反射波包的能级光谱。它的导出与入射波包的能级光谱相似，我们也用 代替 ，这时候取T为波包分开后足够长时间的时刻。,最后考虑透射波包的能级光谱,反射和透射系数,现在，计算反射和透射系数。将上述得到的入射光谱，反射和透射光谱代入到反射和透射系数公式，得到,7.25中，反射系数和透射系数是渐进波包 和 在能量归一化的自由粒子本征态的投影，由入射波包 ，处于能量E的波函数进行归一化。根据在k归一本征态的投影比率，7.25式可表示成,上述公式用到了7.13式和 等。这些表达式给出了反射系数和透射系数的关系，以及 和 的关系，其中 是波包 和 在动量空间的表示，可
7、由傅立叶变换得到。在透射系数公式中出现了因子 ，我们也可以从物理的角度来理解，在能量E时，相应的态密度为 和,利用这个关系，7.26式也可表示成，,7.2势垒散射的交叉相关函数公式和S-矩阵,7.2.1波包的相关矩阵在上述过程，我们从入射波包的扩散得出反射和透射系数。如果入射波包从相反方向入射，那透射系数和反射系数还满足上述的简单关系吗？答案是肯定的。从两个方向入射时，透射系数仍相等，并且 也同样成立。所以反射系数公式也相等（对于在渐进区域能量处于一定的范围内的波包是成立的）为了推导出这个结果，在散射过程中可以引入更为对称的方法。我们定四个基本波包 和 ，其中 表示势垒左边的区域， 表示势垒右
8、边的区域，角标+表示t小于零时刻波包的入射，角标-表示t大于零时刻波包从势垒的出射。因此，这四个基本波包分别表示从左边入射到左区域，出射到左区域，从右边入射入射到有区域和出射到右区域的波包，如图7.4,7.28式说明入射波包和出射波包是归一化的。7.29式说明两个入射波包正交，两个出射波包正交。严格的证明在后面会讲到。现在，我们可以通过图7.5进行简单的解释。,图7.5是一维势的等电位能量轮廓的相空间图。在维格纳表象中，图中的轮廓为四个基本波包的相空间等振幅曲线。在t 趋近于负无穷时，两入射波包不仅在坐标空间中相距无限远，而且动量符号相反，所以没有重叠项。类似的，在t趋向于正无穷时，两个出射波
9、包不仅在坐标空间被分开，动量方向也相反，即两出射波包也没有重叠项。这也就说明了7.29式。,但是，从图上看入射波包与出射波包存在重叠项。我们可以定义一个2 2 的相关函数矩阵。,注意，这个相关矩阵是对称的,7.34是时间反演对称的表达式：从 到 的变换等于从 到 的变换。,7.2.2 S-矩阵,假定，我们只考虑在特定能量E时从 的跃迁振幅。这种振幅跃迁应该由从 入射的波包与从 出射的波包的交叉项 确定。因为反应物波包和生成物波包能量取值有一定的范围，当我们计算某一时刻的交叉项时,是对所有的能量取平均。但是当前考虑的是在特定能量时振幅的跃迁，因此我们希望从时间到能量的傅立叶变换，只存在对应振幅变
10、换时的特定能量。现在引入S矩阵，S-矩阵是衡量在能量E时，从 的跃迁振幅。我们可以认为它的矩阵元是由交叉相关函数矩阵的傅立叶变换得到的。波包傅立叶变换:散射本征态在求S-矩阵之前，我们需要了解一下散射本征态。在7.3.1节会详细讨论散射本征态。散射本征态是含时薛定谔方程的解 。可以先看一下书上图7.7，给出了基本散射本征态的示意图。在第六章，从一个波包到本征态的转变利用的是光谱的方法。在一维势垒散射中对于每一个E都存在本征态。波包的边界条件决定了本征态的的边界条件，它们是相互对应的，,由左边入射的波包，在能量为E时的傅里叶变换得到相应的本征态,相应的，本征态 是完备的，可以对 展开,为 在 的
11、展开式中的系数。把7.37代入7.36，得到,类似的，我们也可得到,S-矩阵元为散射本征态的交叉项,S-矩阵元由+本征态和-本征态的重叠项积分决定。例如,类似的，我们可以定义 和 。一般情况下，由于散射本征态是发散的而非归一化的，所以两个散射态的交叉项也是发散的。于是，上式出现了 因子。这时，可以定义发散的交叉项积分的系数是有限的，这就是S-矩阵元。,通过代换和积分，得到,该式与7.42比较，得到,从7.45可以看出S-矩阵的矩阵元是相关函数矩阵中相应的矩阵元的傅立叶变换。,现在，得到S-矩阵,其中，,反射与透射系数S-矩阵中的矩阵元与反射和透射系数相关，得到从左边入射的波包的反射与透射系数为
12、,从右边入射的波包的反射和透射系数,由7.31式 ，知道 与 相等，即从左边入射波包的透射系数与从右边的透射系数相等，又因为透射系数反射系数和仍为1， ，所以从左边入射波包的反射系数与从右边入射波包的反射系数相等。但应注意，一般 ，只是它们绝对值的平方相等。,图7.6给出了交叉相关项，它们的傅立叶变换项，以及反射和透射系数图形,7.3用本征态表示的散射理论7.3.1散射本征态的渐进行为现在我们回到散射哈密顿量的本征态，它满足,如图7.7，在I区域，V=0,这时本征态的行为类似于 ，E= ;在III区域，V=V0，本征态的行为类似于 ，这时 。既然本征态都由同一个能量E表征，所以,在区域II势能
13、发生改变，本征态没有简单的形式；它们由含时薛定谔方程和在该处的 与 的边界条件确定。,由7.7，我们可以得到散射的本征态，,复共轭的作用效果就是 和 。既然k决定了动量，改变符号就相当于时间反演。 态可以这样解释，在t小于零时刻的反射和透射波形成了t大于零时刻的出射波，它继续向势垒左边运动，这也就是 的时间反演过程。在量子力学中取复共轭就等于时间反演,因为本征态是简并的，可以选取两个本征态的任意线性组合，在E处仍为含时薛定谔的解。 和 的复共轭就是 和,这样，我们就得到四个基本散射本征态，如图表格7.2,7.3.2动量与能量的归一化本征态这四个基本散射态与平面波一一对应，其中平面波为表格7.1
14、,对应关系如下：,观察图7.7，这种对应关系可以这样理解：标有 的散射态与 的含时薛定谔的解相联系，标有 的散射态与 的含时薛定谔的解相联系。在 区域散射态上标的+表示向左运动或向右运动的自由粒子的解 ；在 区域表示向右运动或向左运动的自由粒子的解 。与平面波的动量归一化条件一样，散射态本征态类似于平面波的归一化公式，,因此，上式也称为动量归一散射本征态。,散射本征函数也满足类似于平面波的正交性定理，,在7.1.2节，我们讨论了平面波的能量归一化，可以类比得到能量归一化的散射本征态,与 满足归一化条件,7.3.3反射和透射系数:通量守恒法在这一节，我们将会给出在散射态中振幅r与t的关系，以及反射与透射系数，,
