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1、 2 n 与 5n 的倍数特点及证明对于倍数的特点我们早在小学五年级就学了一些。比如：2，3，5，9 的倍数特点。上高中之后我慢慢的对数学感兴趣了。于是对自己提问：我们只学了这几个数的倍数特点，其他的数的倍数又有什么特点？这几个数的倍数的特点是怎么知道的呢？有什么理由说它们一定都是这样的呢？记得一个数学老师曾经说过：“要说这个命题是对的，就要给出证明;如果要说这个命题是错的，只需要例举一个反例”！所以它们都得有个证明才行呀？于是我开始对它们亲密起来。想方法去证明它们。现在我们先来看看几个数的倍数特点，2 的倍数特点：尾数是 0，2，4，6，8 的数。3 的倍数特点：组成这个数的各位数字之和是
2、3 的倍数。5 的倍数特点：尾数是 0 或 5。9 的倍数特点：组成这个数的各位数之和是 9 的倍数11 的倍数特点：这个数的奇位上数字之和与偶位上数字之和的差能被 11 整除。其他的一些数的倍数有什么特点呢？我最先开始对它们的倍数进行观察。先来看看 4 的倍数的尾数有什么特点：04，08，12，16，20， 24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，我们发现：前面是偶数后面就是 0，。前面是奇数后面就是，。所以我当时就来了一句顺词：前奇为，。前偶0，。发现这个规律是一九九八年冬。过后我在另一本书上看到是末尾两位数能被 4 整除这个数就能被 4 整除。当时我马上就把 4 和
3、2 联系起来了，也许是考虑的量多了的好处。量变到质变嘛！我是这样想的：2 的倍数特点：末尾一位数能被 2 整除。4 的倍数特点：末尾两位数能被 4 整除。我马上就猜想到：8 的倍数特点：末尾三位数能被 8 整除。 （8=2 3）16 的倍数特点：末尾四位数能被 16 整除。 （16=2 4）32 的倍数特点：末尾五位数能被 32 整除。 （32=2 5）2n 的倍数特点：末尾 n 位数能被 2n 整除。对于这个猜想是笔者在一九九九年春发现的。但还是检验了很了，是对的。当时我很高兴，但并不知道怎么去证明它，一直困饶着我。终于在一个月后的一天，当时灵感突然来了。是多么的高兴。这个问题的规律对于我来
4、说是一个惊人的猜想。一般地我们都会把 2，4，这样的倍数分开来考虑的。或者会想到把 2，4，与 6，8，10 一起联系起来。当时我并不是这样的思考的，所以我们对一个问题要深思熟虑。我们自己就是一本百科全书 ，要充分的运用我们现有的宝贵资源（我们的大脑），不要到处去寻找怎么样才能得到智慧！知识需要量变，量变多了，质变自然就来了，到时候就由不得你质变了！灵感不是说来就会来的。我想牛顿发现万有引力定律，瓦特发明蒸汽机，鲁班发明锯子，大诗人李白酒后诗百篇。都是知识积累到一定的程度，才能达到连他们自己都难以想象到的成就！当然我比起他们来说我还是一个小将。还得多些努力。知识如沙滩，数学只是沙滩里的一些小石
5、子，我只是一个在沙滩上拾着小石子玩耍的小孩。我们来看看这个猜想是怎样证明的：证明：任意自然数 N 都可以表示为：K10n+An （KN，A n是自然数 N 的末尾 n 位数）很显然 K10n是 2n 的倍数。关键看 An是不是 2n 的倍数。若是，则该数就是 2n 的倍数。证毕！我们从上面的证明中可以看到：K10n/2n= K5n我们就不是可以得到 5n的倍数特点了吗？回想一下，5 的倍数特点：尾数是 0 或 5。5 的倍数特点不就是末尾一位数能被 5 整除吗？这正是吻合的嘛！于是就可以猜想：5 的倍数特点：末尾一位数能被 5 整除。 (5=51)25 的倍数特点：末尾两位数能被 25 整除。
6、 （25=5 2）125 的倍数特点：末尾三位数能被 125 整除。 （125=5 3）625 的倍数特点：末尾四位数能被 625 整除。 （625=5 4）2n 的倍数特点：末尾 n 位数能被 2n 整除。证明：任意自然数 N 都可以表示为：K10n+An （KN，A n是自然数 N 的末尾 n 位数）很显然 K10n是 5n 的倍数。关键看 An是不是 5n 的倍数。若是，则该数就是 5n 的倍数。证毕！一九九九年春作于瓮安二中 3 与 9 的倍数特点及证明我们大家都知道： 3 的倍数特点：组成这个数的各数字之和是 3 的倍数。9 的倍数特点：组成这个数的各数字之和是 9 的倍数它们有着想
7、同之处。我们来看看怎么证明，任意一个自然数 An（表示一个 n 位数） 。An=a110n-1+a210n-2+a310n-3+a410n-4+an-110+ an=（99999 9a1+a1）+ （99999a 2+a2）+（9999a 3+a3）+（999a 4+a4）+（9a n-1+an-1）+ an=（99999 9a1）+ （99999a 2）+（9999a 3）+（999a 4）+9a n-1+（a 1+a2+a3+a4+an-1 +an） 前面画线部分显然是 9 的倍数， （当然也是 3 的倍数）关键是 a1+a2+a3+a4+an-1 +an是不是 9 和 3 的倍数。a1+
8、a2+a3+a4+an-1 +an 不就是组成这个数 An 的各个数字之和吗？证毕！一九九八年十一月二十一日作于瓮安二中 11 的倍数特点探索及证明自然数 M=A1+10A2+102A3+103A4+10n-2An-1+10n-1An= A1+10A2+（99A 3+A3）+（990A 4+10A4）+（9999A 5+A5）+（9999OA 2k+A2k）+（9999A 2k+1+A2k+1）=（99A 3+990A4+9999A5+9999OA2+9999A2k+1）+ （A 1+10A2+A3+10A4+A5+A2k +A2k+1）=11N+A1+10A2+A3+10A4+A5+10A6
9、+A7+10A2k+A2k+1=11M+（A 1-A2+A3-A4+A5-A6+A7-A8+-A2k+A2k+1）显然：组成这个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差是否是 11 的倍数！如果是，则这个数就是 11 的倍数！例如：问 312 345 367 是否是 11 的倍数？ （3+2+4+3+7）-（1+3+5+6）=4 ， 4 不 11 的倍数， 所以 312 345 367 不是 11 的倍数。问 7 565 235 678 是否是 11 的倍数？ （7+6+2+5+7）-（5+5+3+6+8）=0 ， 0 是 11 的倍数， 所以 7 565 235 678 是 11 的倍数。
10、注：并且组成这个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差除以 11 与这个数除以 11 的余数相同。证明就在上面的式子中。2000 年 10 月 6 日早作于白沙（家中）n 个连续 N 之积必定能被 n 整除2 个连续 N 之积必定能被 2 整除3 个连续 N 之积必定能被 3 整除4 个连续 N 之积必定能被 4 整除n 个连续 N 之积必定能被 n 整除推广:k 个连续自然数之积必定能被 n 整除 (kn)证法一:设最小的一自然数为 t+1,则有:t+1、t+2、t+3、t+n、在 nqn（q+1）中有 n-1 个数,而 t+1、t+2、t+3 、t+n 中有 n个数， t+1、t+2、
11、t+3、t+n 中必有一个数是 nq 或 n（q+1）的倍数！也可以怎么描述：1n，n2n，2n3n，tn（t+1）n，每段中只有 n-1 个数不是 n 的倍数，而现在有连续的 n 个 N，所以这连续 n 个数必定有一个（有且只有一个）是 tn，证法二：（一）当：1t+1n 时，则有： nt+n2n-1 显然 t+1t+n 中必定有等于 n（二）当：t+1=qn 时，成立。（三）当：qnt+1（q+1）n 时，则有：（q+1）n-1t+n（q+2）n-1 显然 t+1t+n 中必定有等于（q+1）n3 个连续 N 之和必定能被 3 整除5 个连续 N 之和必定能被 5 整除7 个连续 N 之和
12、必定能被 7 整除9 个连续 N 之和必定能被 9 整除猜想：2n+1 个连续 N 之和必定能被 2n+1 整除证明：设这 2n+1 个数的中间个数为 k，则有：（k-n）+（k-n+1）+（k-2）+（k-1）+k+（k+1）+（k+2）+（k+n-1）+（k+n）=（2n+1） k显然是 2n+1 的倍数！ 零四年十二月二十二日作于洛阳 xn+yn,n 为正奇数,能被 x+y 整除. n3+5n (nN), 能被 6 整除. 34n+2+52n+1, (nN),能被 14 整除. 3n+2+42n+1, (nN), 能被 13 整除. 62n-1+1, (nN),能被 7 整除. 三个连续 N 的立方和能被 9 整除.
