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1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 1 - 页 共 14 页2008 年考研数学（三）真题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）(),0x0()()跳跃间断点. 可去间断点.A）曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分 等于（ (),曲边梯形 面积. 梯形 面积.积. 三角形 ）已知 ，则24(,)（A） ， 都存在 （B） 不存在， 存在0x(,)(0,)0,)C） 不存在， 不存在 （D） ， 都不存在(,)）设函数
2、 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则 （ ）f 2()(,)（A） （B） （C） （D）2()f()f（5）设 为阶非 0 矩阵 为阶单位矩阵若 ，则（ ）可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.A可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. ）设 则在实数域上域与 合同矩阵为（ ）12A. . . C）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ）,花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 2 - 页 共 14 页. .B . C21D1（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）0,4. .A2PB21P. . CD二、填空题：9题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置
3、上.（9）设函数 在 内连续，则 . 21,()(,)c（10）设 ，则 ()_（11）设 ，则 12（12）微分方程 满足条件 的解 ()（13）设 3 阶矩阵 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 4_（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 2三、解答题：1523 小题，共 94 明过程或演算步骤.(15) （本题满分 10 分）求极限 16) （本题满分 10 分）设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶导数且(,)2（1）求 ）记 ，求 .1,17) （本题满分 11 分）计算 其中 ),(,)0,218) （本题满分 10 分）梅花香自苦寒来，岁月共理
4、想，人生齐高飞！第 - 3 - 页 共 14 页设 是周期为 2 的连续函数，）证明对任意实数 ，有 ；t220（2）证明 是周期为 2 的周期函数0(19) （本题满分 10 分）设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ，221 1,1,0B（1）求证 ;1（2） 为何值，方程组有唯一解;a（3） 为何值，方程组有无穷多解.（21） （本题满分 10 分）设 为 3 阶矩阵， 为
5、 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，12,3证明（1） 线性无关；12,（2）令 ，求 .3,P1P（22） （本题满分 11 分）设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概率密度为1,03Y，记10其 它 （1）求 ；02（2）求 的概率密度Z（ 23） （本题满分 11 分）是总体为 ，12,2(,)N1221()梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 4 - 页 共 14 （1）证 是 2）当 时 ，求 月共理想，人生齐高飞！第 - 5 - 页 共 14 页2008 年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】 B【详解】 ，00 0()所以 是函数 的可去间
6、断点(2)【答案】 C【详解】 000 0()()()()()其中 是矩形 积， 为曲边梯形 面积，所以 为曲边三角形的0a 0()积(3)【答案】 B【详解】2400 0(,)(,)1(,)，00100故 不存在(,)2420 20 00(,)(,)1,y 所以 存在故选 .(,)(4)【答案】 A【详解】用极坐标得 22()2011, ()所以 (5)【答案】 C【详解】 ， )23()故 均可逆,(6)【答案】 D【详解】记 ，则 ，12 21142梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 6 - 页 共 14 页又 ，21142所以 和 有相同的特征多项式，所以 和 为同阶实对称
7、矩阵，所以 和 相似由于实对称矩阵相似必合同，故 )【答案】【详解】 .2 (8)【答案】 【详解】 用排除法. 设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、b10a得 (0,1)(,4)E所以 所以 . 排除 . 故选择 B空题(9)【答案】1【详解】由题设知 ，所以|0,()1,因为 ，22)2又因为 在 内连续， 必在 处连续(),(f所以 ，即 . 21c(10)【答案】 1解】 ，令 ，得22112所以 .22211(11)【答案】 4【详解】 2 221()利 用 函 数 奇 偶 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 7 - 页 共 14 页(12)【答案】 1详解】由 ，两
8、端积分得 ，所以 ，又 ，所以 (1)y13)【答案】3【详解】 的特征值为 ，所以 的特征值为 ，1A,2所以 的特征值为 ， ，14E43441所以 14)【答案】 12e【详解】由 ，得 ，又因为 服从参数为 1 的泊松分布，所以22()X，所以 ，所以 11！三、解答题(15) 【详解】方法一： 2200132000方法二： 2 2301 必 达 法 则201洛 必 达 法 则(16) 【详解】(I) 1z2211(由上一问可知 ，2,所以 1112,()()1梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 8 - 页 共 14 页所以 .2233(1)(1) (12)(12) (17
9、) 【详解】 曲线 将区域分成两 ，为了便于计算继续对1域分割，最后为 23122 1002519(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数 ，t20220t 令 ，则u 2 00t t 所以 202 20 0t t (由(1)知，对任意的 有 ，记 ，则2 所以，对任意的 ，0()2x20 0()()22xf 所以 是周期为 2 I) 设 ，由于 ，所以 为常数，从而有()()()2)(0()而 ，所以 ，即 .()0t20d0220(由(I) 知，对任意的 有 ，记 ，则t220 0 2 月共理想，人生齐高飞！第 - 9 - 页 共 14 页， 0()2 20()(2)由于对任意 ， ，(2)()(所以 ，从而 是常数0x 2x即有 ()()(所以 是周期为 2 的周期函数.x(19) 【详解】方法一：设 为用于第 年提取 万元的贴现值，则09)n()109)故 111110209()()()() 设 1(),因为 21()()(1,)(1)所以 (万元) (万元) ，即至少应存入 3980 法二：设第 年取款后的余款是 ，由题意知 满足方程即 (1)1()t )(1)对应的齐次方程 的通解为 )的通解为 ，代入(1)解得 ，*)的通解为 (.)39 ， 得 0yAt0AC故 至少为 3980 万元(20)
