《2006—数三真题、标准答案及解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006—数三真题、标准答案及解析（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 1 - 页 共 19 页2006 年考研数学（三）真题一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1）（2）设函数 在 的某邻域内可导,且 ， ，则()21（3）设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分u10f 241,）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 （5）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则 0,3（6）设总体 的概率密度为 为总体 的简单随机样本，其121,2x 样本方差为 ，择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合
2、题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量，()0,()x0点 处对应的增量与微分，若 ，则d与 0(A) . (B) C) . (D) . 0（8）设函数 在 处连续，且 ，则20(A) 存在 (B) 存在且 0且(C) 存在 (D) 存在 0且 1且（9）若级数 收敛，则级数1(A) 收敛 . （B ） 1()(C) 收敛. (D) 收敛. 1 12n梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 2 - 页 共 19 页（10）设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任意常数，则该方程的()12(),） . （） . 12()
3、112()()（） . （） 1）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约束条件(,)(,) (,)00(,)(,)列选项正确的是(,)0(A) 若 ，则 . 0(,)0(,)(B) 若 ，则 . (C) 若 ，则 . 0(,)0(,)D) 若 ，则 . （12）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是12,s A) 若 线性相关，则 线性相关. s 12,s(B) 若 线性相关，则 线性无关. 12,s s(C) 若 线性无关，则 线性相关 . s 12,D) 若 线性无关，则 线性无关. 12,s s（13）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的
4、 倍加到第 2 列得 ，记，则01P（） . （） 1（） . （） . T T（14）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且)N)N12则必有(A) (B) 1212梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 3 - 页 共 19 页(C) (D) 1212三 、解答题：1523 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 7 分）设 ,求1,0() ；() 16） （本题满分 7 分） 计算二重积分 ，其中 是由直线 D,1017） （本题满分 10 分）证明：当 时，0. （18） （本题满分 8 分）在 坐标平面上，连续曲线 过点
5、，其上任意点 处的切线斜率与直线1,0M,0斜率之差等于 （常数 ）() 求 的方程；L() 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 3a（19） （本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数 .12()0） （本题满分 13 分）设 4 维向量组 ,2,3，问 为何值时 线性相关?当 线性相关时,求其一个极大线T,134124性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21） （本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3,向量 是线性方程组A0,1)求 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 ；Q月共理想，人生齐高飞！第 - 4 - 页
6、 共 19 页（）求 及 ，其中 为 3 （22） （本题满分 13 分）设随机变量 的概率密度为X，1,02,4 其 他令 为二维随机变量 的分布函数.2,)求 的概率密度 ；) ；X() 2F（23） （本题满分 13 分）设总体 的概率密度为X,01,;12,其 他 ,其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值0 ）求 的矩估计；（）求 的最大似然估计梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 5 - 页 共 19 页2006 年考研数学（三）真题解析二、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1）【分析】将其对数恒等化 解】
7、，(1)1 1而数列 有界， ，所以 .()故 .10（2）设函数 在 的某邻域内可导,且 ， ，则()21【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知， ，两边对 求导得，2()边再对 求导得 ，又 ，x23()21f故 .323()（3）设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分()241,【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为 ，2(1,2) (1,2)8，2(1,2) (1,2)4所以 .1,21,21,2方法二：对 微分得4花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 6 - 页 共 19 页，222d(4)d()(4)8故 .1,208d
8、（4）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 2 B【分析】 将矩阵方程改写为 的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行 或计算即可.【详解】 由题设，有()2是有 ，而 ，所以 22B（5）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则0,3.P9【分析】 利用 解】 由题设知， ()30 其 他则 11.220【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 7 - 页 共 19 页则 .1,9阴（6）设总体 的概率密度为 为总体 的简单随机样本，其12,2x 分析】利用样本方差的性质 解】因为 ，()222 2200，0所以 ，又
9、因 是 的无偏估计量，22择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量，()0,()x0点 处对应的增量与微分，若 ，则d与 0(A) . (B) C) . (D) . d 0 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由 知，函数 单调增加，曲线()0,()()函数 的图形如右图所示，显然当 时，()y0，故应选(). 00d()()（8）设函数 在 处连续，且 ，则f20梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 8 - 页 共 19 页(A) 存在 (B) 存在0且 01且(C) 存在 (D) 存在 C 且 01且【分析】从 入手计算 ，利用导数的左右导数定义判定 ()f (0),f【详解】由 知， 处连续，则2020()() ，则 200()1所以 存在，故本题选（C）.()f（9）若级数 收敛，则级数1(A) 收敛 . （ B） 1()(C) 收敛. (D) 收敛. 1 112n【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由 收敛知 收敛，所以级数 收敛，故应选()1 112或利用排除法：取 ，则可排除选项（） ， （） ；() ，则可排除选项（）10）设非齐次线性微分方程 有两
