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1、用 心 爱 心 专 心高三数学第一轮总复习讲义 讲义 31直线的的方程、两条直线的位置关系一、基本 知识体系 ：1、 直线的倾 斜角、斜 率、方向 向量：1求直线 斜率的方 法 ： （ 1） 、定义 法： k=tan( 2)； 斜率公 式： k=y2-y1x2-x1(x1 x2） ； 当 x1=x2时 ， 斜率不 存在 。 直线的 方向向量 ： 直线 L的方向 向量为 m=（ a,b),则该直 线的斜率 为 k=ba2、 直线方程 的五种形 式 ：名称 方程的 形式 常数的 几何意义 适用范 围点斜式 y-y1=k(x-x1) (x1,y1)为直线 上的一个 定点，且 k存在 不垂直 于 x轴
2、的直 线斜截式 y=kx+b k是斜率 ， b是直线 在 y轴上的 截距 不垂直 于 x轴的直线两点式 y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1 x2,y1 y2 (x1,y1)、 (x2,y2)为直线 上的两个 定点， 不垂直 于 x轴 和 y轴的直线截距式 xa+yb=1(a,b 0) a是直线 在 x轴上的 非零截距， b是直线 在 y轴上的非零 截距 不垂直 于 x轴 和 y轴 ，且不过 原点的直 线一般式 Ax+By+C=0(A2+B2 0) 斜率为 -AB， 在 x轴上的 截距为 -CA， 在 y轴上的 截距为 -CB任何位 置的直线3、 判断两条 直线的位 置关系的 条件 ：
3、斜载式 ： y=k1x+b1y=k2x+b2 一般式 ： A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0相交 k1 k2 A1B2-A2B1 0垂直 k1 k2=-1 A1A2+B1B2=0平行 k1=k2且 b1 b2 A1B2-A2B1=0且 A1C2-A2C1 0重合 k1=k2且 b1=b2 A1B2-A2B1=A1C2-A2C1=B1C2-B2C1 0=04、 直线 L1到直线 L2的角的公 式 ： tan=k2-k11+k1k2(k1k2 -1)直线 L1与直线 L2的夹角公 式 ： tan=| k2-k11+k1k2|(k1k2 -1)5、 点到直线 的距离 ：点 P（ x0,
4、y0)到直线 Ax+By+C=0的距离 为 d=|Ax0+By0+C|A2+B2用 心 爱 心 专 心6、 两条平行 的直线之 间的距离 ：两条 平行线 Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0之间的 距 离d=|C1-C2|A2+B27、 直线系方 程 ： 、 过定点 P（ x0,y0)的直线 系方程 ： y-y0=k(x-x0)； 、 平行的 直线系方 程 ：y=kx+b； 、过两 直线 A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点 的直线系 方程为：A1x+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2） =08、对称 问题：点 关于点对 称、点关 于线对称 、线关于 线对称、
5、 线关于点 对称：二 、典例剖 析 ： 【例题 1】 、设函 数 （ x） =asinx-bcosx图象的 一条对称 轴方程为 x= 4,则直线 ax-by+c=0的倾斜 角为（ B）A 4 B34 C 3 D2 3 【 例题 2】 已知集 合 A=（ x,y)|x=cos且 y=sin, 0, ,B=(x,y)|y=kx+k+1,若 AB有两个 元素 ， 则 k的取值 范围是 _ 解 ： 画图可 知 ， 直线与 半圆有两 个交点 ， 则 -12,0) 【 例题 3】 已知直 线过点 P（ -1， 2） ,且与以 点 A（ -2， -3） 、 B（ 3， 0） 为端点 线段相交 ，则直线 L的
6、斜率 的取值范 围是 _(k 5,或 k -12)三、巩固 练习： 【题 1】 已知两 条直线 2yax=和 ( 2)1y a x=+ +互相垂 直，则 a等于（ A） 2 （ B） 1 （ C） 0 （ D） 1 解 ： 两条直 线 2yax=和 ( 2)1y a x=+ +互相垂 直 ， 则 ( 2)1aa+=， a= 1，选 D. 【 题 2】 已 知 过 点 ( )2A m， 和 ( )4Bm， 的 直 线 与 直 线 2 10xy+=平 行 ， 则 的 值 为( )A0 B8 C2 D10 解： (m +2) (-2)-1 (4-m )=0,m=-8, 选 (B) 【 题 3】 “
7、21=m” 是 “ 直线 03)2()2(013)2( =+=+ ymxmmyxm 与直线相互垂 直 ” 的 （ B） A 充分必 要条件 B 充分而 不必要条 件 C 必要而 不充分条件 D既不 充分也不 必要条件 【 详解 】 当 12m=时两直 线斜率乘 积为 1， 从而可 得两直线 垂直 ； 当 2m=时两直 线一条斜率 为 0， 一条斜率不存在 ,但两直线仍然垂直 ； 因此 12m=是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件 . 注意 ： 对于两 条直线垂 直的充要 条件 1 2,kk都存在 时 12. 1kk=； 1 2,kk中有一 个不存在另一 个为零；用 心 爱 心 专 心对
8、于 这种情 况多数考 生容易忽 略 . 【 题 4】 若三点 A（ 2， 2） ， B（ a， 0） ， C（ 0， b） （ 0,b） (ab0)共线 ， 则 , 11ab+的值等于 _1/2 【题 5】 已知 两条直 线1 2: 3 30, :4 6 10.l axy l x y+= +=若 1 2/l l，则 a=_. 解 ： 已 知两条直 线1 2: 3 30, :4 6 10.l axy l x y+= +=若 1 2/l l， 23 3a=， 则a=2. 【题 6】已知圆 2x 4x 4 2y 0的圆心是点 P，则点 P到直线 x y 1 0的距离是 解：由 已知得圆 心为： (2
9、,0)P ，由点 到直线距 离公式得 ： |201| 2211d = =+ ； 【题 7】过点（ 1， 2）的直线 l将圆 (x 2)2 y2 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时， 直线 l的斜率 k 22 【题 8】 直线 1xy+=与圆2 2 2 0(0)x y aya+ = 没有公 共点，则 a的取值 范围是A (0, 21) B (21, 21) + C ( 21, 21) + D (0, 21)+ 解：由 圆 2 2 2 0(0)x y aya+ = 的圆心 (0, )a到直线 1xy+=大于 a，且 0a，选 A。 【 题 9】 若圆 0104422 =+ yxyx 上至少 有
10、三个不 同的点到 直线 0: =+byaxl 的距 离 为 22 ,则 直 线 l的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 ： A 412 ， B 12512 ， C36 ， D 20 ， 解 ： 圆 0104422 =+ yxyx 整理为 2 2 2( 2)( 2)(32)x y + = ， 圆心坐 标为 (2，2)，半径为 32，要求圆 上至少有三个不同的点到直线 0: =+byaxl 的距离为 22 ，则圆心到 直线的距 离应小于 等于 2，2 2|2 2| 2a bab+ ， 2() 4() 1a ab b+ + 0， 2 3 () 2 3ab + ，()ak b= ， 2 3 2 3
11、+ k ， 直线 l的倾斜 角的取值 范围是 12512 ， ，选 B. 【题 10】 7圆 0104422 =+ yxyx 上的点到直线 014=+yx 的最大距离与最小距离的差是用 心 爱 心 专 心A 36 B.18 C.26 D. 25 解 ： 圆 0104422 =+ yxyx 的圆心 为 (2， 2)， 半径为 32， 圆心到 到直线 014=+yx的 距 离 为 |2214| 252+ = 32， 圆 上 的 点 到 直 线 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是 2R=62，选 C. 【题 1】 设直线 过点 (0， a)，其斜 率为 1， 且与圆 x2+y2=2相
12、切， 则 a的值为 ( )A 2 B 2 B 22 D 4 解 ； 直线过 点 (0， a)， 其斜率 为 1， 且与圆 x2+y2=2相切 ， 设直线 方程为 yxa=+， 圆心(0， 0)道直线 的距离等 于半径 2， | | 22a= ， a的值 2，选 B 【题 12】如图 ， l1、 l2、 l3是同一 平面内的 三条平行 直线， l1与 l2间的距 离是 1，l2与 l3间的距 离是 2，正三 角形 ABC的三顶 点分别在 l1、 l2、 l3上，则 ABC的边长 是 (D):（ A） 32 （ B）364 （ C） 4173 （ D） 3212 【题 13】 如图，三定点 A(2
13、， 1)， B(0， 1)， C( 2， 1);三动点 D， E， M满足 AD=tAB， BE=tBC， DM=tDE， t 0， 1 ( )求动直 线 DE斜率的变化 范围 ;( )求动点 M的轨迹 方程 解 ： 如图 ， ( )设 D(x0， y0)， E(xE， yE)， M(x， y) 由 AD=tAB， BE=tBC， 知 (xD 2， yD 1)=t( 2， 2) xD= 2t+2yD= 2t+1同理 xE= 2tyE=2t 1 kDE=yE yDxE xD=2t 1 ( 2t+1) 2t ( 2t+2)=1 2t t 0， 1， kDE 1， 1( ) DM=tDE (x+2t
14、 2， y+2t 1)=t( 2t+2t 2， 2t 1+2t 1)=t( 2， 4t 2)=( 2t，4t2 2t) x=2(1 2t)y=(1 2t)2 ， y=x24， 即 x2=4y t 0， 1， x=2(1 2t) 2，2即所求 轨迹方程 为 :x2=4y， x 2， 2 【题 14】已知 圆 M： （ x cos） 2（ y sin） 2 1，直线 l： y kx，下面 四个命题 ：（ A） 对任意 实数 k与 ， 直线 l和圆 M相切 ； （ B） 对任意 实数 k与 ， 直线 l和圆 M有公共点 ；（ C） 对任意 实数 ， 必存在 实数 k， 使得直 线 l与和圆 M相切
15、； （ D） 对任意 实数 k， 必存在实 数 ，使 得直线 l与和 圆 M相切 ；其中真 命题的代 号是 _（写 出所有真 命题的代 号）yxOMDABC 1 1 2 1 2E用 心 爱 心 专 心 解 ： 圆心坐 标为 （ cos， sin） d 22 2| kcossin| 1k|sin |1k 1k|sin | 1 （ ） （ ） ;故选（ B） （ D） 【题 15】在平 面直角坐 标系中， 已知矩形 ABCD的长为 ，宽为 ， AB、 AD边分别在 x轴、 y轴的正半轴上， A点与坐标原点重合（如图所示 ） 将矩形折叠，使 A点落在线段 DC上 （ ）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折 痕所在直 线的方程 ； （ ）求折 痕的长的 最大值 解 ： （ ） (i)当 0=k 时 ,此时 A点与
