高中数学基础知识归类——献给2009年赣马高级中学高三考生

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1、高中数学基础知识归纳一.集合与简易逻辑、推理1.注意区分集合中元素的形式.如： 函数的定义域； 函数的值域。|lgxy|lgyx2.集合的性质：任何一个集合 是它本身的子集,记为 .AA空集是任何集合的子集,记为 .空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况，BA如： ,如果 ,求 的取值.(答： )012|xaRa0a含 个元素的集合的子集个数为 ；真子集(非空子集)个数为 ；非空真子集个数为n2n 21n.23.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ,使1)(4)( 22pxpxf ,c,求实数 的取值范

2、围.(答： )0)(cf 3(,若存在 a1，3，使得不等式 ax2（ a-2） x-20 成立，则实数 x 取值范围是 解：不等式即 ，设 .研究“任意 a1，3，恒有2()0xax2()2fa”.则 ，解得 。则实数 x 的取值范围是 .()0f10(3)f(,1,1,24.四种命题：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q；逆否命题：若 q 则p注：1。原命题与 等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其 的真假。2命题的否定是“P 命题的非 P 命题，也就是 不变，仅否定 所得命题”，但否命题是“既否定原命题的 ，又否定原命题的 ”。 命题

3、否pq定形式是 ；否命题是 .命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；“ 且 ”的pqpqpqpq否定是“ 或 ”.5.常见结论的否定形式6. 全称命题与特称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。原结论 否定 原结论 否定是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 n个 至多有 1n个小于 不小于 至多有 个 至少有 个对所有

4、x,成立 存在某 x,不成立 p或 qp且 q对任何 ,不成立 存在某 ,成立 且 或7对集合 ， “极端”情况： ；AB、 “极端”情况： ；8充要条件（1）定义法-正、反方向推理。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。；（2）集合解释， 满足条件 满足条件xA|pxB|q9命题真假“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”10.类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事

5、物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。注意: 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理;类比推理是特殊到特殊的推理。11. “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结 论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。12证明直接证明：综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法又叫逆推证法或执果

6、索因法。用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题 B 为真，只需要证明命题为真，从而有，这只需要证明命题为真，从而又有这只需要证明命题 A 为真，而已知 A 为真，故命题 B 必为真。综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理

7、论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论。二.函数函数概念函数图象函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）特殊函数图象与性质应用（内部应用、应用题）1. 映射映射 : 是： “一对一或多对一”的对应；fAB 中元素必有象且 中不同元素在 中可以有相同的象； 中元素不一定有原象(即象集 ).BBB一一映射 : ： “一对一”的对应； 中不同元素的象必不同, 中元素都有原象.A2.函数 : 是特殊的映射.特殊在定义域 和值域 都是非空数集！据此可知函

8、数图像与 轴的垂线至多有一f x个公共点,但与 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.y3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ;偶次根式被开方数非负;0对数真数 ,底数 且 ；如 的解集： ； 单调增区间 ；01lgx01xlnyx(0,)零指数幂的底数 ；实际问题有意义；若 定义域为 ,复合函数 定义域由 解出；若 定义域为()fxab()fg)agb(fgx,则 定义域相当于 时 的值域.ab()fx,()5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；导数法(一般适用于高次多项式函数)；换元法(特别注

9、意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法；单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组；()fx（4）坐标转移法。7.函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若 是偶函()fx数,那么 ；定义域含零的奇函数必过原点( )；()|)fxfx (0f判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 或 ；)(fx

10、)1xff注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如 定义域关于原点对称即可).)0fx奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法，以及图像法和特值法(用于小题)等；复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数 的单调递增区间是 .(答： )12log()yx_(1,2函数 的单调增区间是 .(答： 和 )你能画出图像吗？x_(,0)8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对 而言）；上下平移-“上加下减”(注意是针对x而

11、言).()f翻折变换： ； .()|fxf()|)fxf对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.函数 与 的图像关于原点成中心对称y函数 与 的图像关于直线 ( 轴)对称；函数 与函数 的图像关于直线()f()f 0y()yfx()yfx( 轴)对称；0x函数 对 时， 或 恒成立,则 图像关于直线 对称；Raxf(2fxaa若 对 时, 恒成立,则 图像关于直线 对称；()yfxR()()faxfb()yfx2abx函数 , 的图像关于直线 对称(由 确定)；y2ba9.函数的周期性：若 对 时 恒成立,则 的 周 期 为 ；()fR()fxf(

12、f|若 是偶函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ；()yfx x|a若 奇函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ；(4若 关于点 , 对称,则 的周期为 ；(0)ab()f2|b 对 时, 或 ,则 的周期为 ；()yfxRfxx1()fxa()yfx2|a10.对数： ；loglnaa(,10,nR对 数 恒 等 式 ；0)NN ；l()llog;llogl;loglnaaaaaaMMNM；对数换底公式 ；1ognlb(0,1,)b推论： .12113lll lnabcaaaan(以上 且 均不等于 )20,0,Nbc 2,n 111.方程 有解 ( 为 的值域)； 恒成立 ,

13、()kfxkDfx()fx()fx最 大 值恒成立 .)fx最 小 值12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题；1).恒成立问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于 ；fxA若不等式 在区间 上恒成立,等价于 。BmaxfB2).能成立问题若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；DAxfDmaxfA若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .x3).恰成立问题：恒成立最值法,如： ,则 恒成立. ,则 恒成立.()af最 大 值 ()afx()f最 小 值 ()fx若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解

14、集为 ；若不等式 在区间 上AfBD恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，BfD求最值问题用“两看法 ”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式： ；顶点式：2()(0)fxabc； 零点式： .2()(0)fxahka12)xa15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 、轴与区间关系、区间端点函数值符号;016.复合函数：复合函数定义域求法：若 的定义域为 ,其复合函数 的定义域可由不等式()f()fgx解出；若 的定义域为 ,求 的定义域，相当于 时,求 的值域；复合函数(

15、)gb()fgxabb()的单调性由“同增异减 ”判定.17. 函数 的图像是双曲线：两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线0,)abcdyc dc(由分子、分母中 的系数确定)；对称中心是点 ；acy (,)dac三. 不等式、线性规划、算法1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若 , ,则 .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.0ab1ab如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.取倒数: ； ；如 ，等价于 或001ab12x10x22.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对