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1、1期末考试试卷（A 卷）2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 三题号 一 二1 2 3 4 5 6 四 总分得分评阅人一、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1. 用计算机求 时，应按照 从小到大的顺序相加。 （ 10nn）2. 为了减少误差,应将表达式 改写为 进行计算。 （ 20192019）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）4. 采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。 （ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
2、 （ ）二、填空题（每空 2 分，共 36 分） 1. 已知数 a 的有效数为 0.01，则它的绝对误差限为_，相对误差限为_.2. 设 则 _， _， _.100,5,31Ax1A2xAx3. 已知 则 , .5()24,fx,0f 3,1,f4. 为使求积公式 的代数精度尽量高，应使11233()()()()fdxAffAf， ， ，此时公式具有 次的代数精度。1A2325. 阶方阵 A 的谱半径 与它的任意一种范数 的关系是 . n()A6. 用迭代法解线性方程组 时，使迭代公式XB产生的向量序列 收敛的充分必要条件是 .(1)()0,12)kkXMN ()kX7. 使用消元法解线性方程
3、组 时，系数矩阵 可以分解为下三角矩阵 和上三角AAL矩阵 的乘积，即 若采用高斯消元法解 ，其中 ，则U.LUB421A_， _；若使用克劳特消元法解 ，L XB则 _；若使用平方根方法解 ，则 与 的大小关系为_（选1uAX1lu填：，=，不一定） 。8. 以步长为 1 的二阶泰勒级数法求解初值问题 的数值解，其迭代公式为(0)yx_.三、计算题（第 13 、6 小题每题 8 分，第 4、5 小题每题 7 分，共 46 分）1. 以 为初值用牛顿迭代法求方程 在区间 内的根，要求02x3()10fx(,2)（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出
4、这个根（只需计算 计算结12,x果取到小数点后 4 位） 。32. 给定线性方程组 1230.4.18.xx（1） 分别写出用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3. 已知函数 在如下节点处的函数值()yfx-1 0 1 21 4 3 0（1） 建立以上数据的差分表；4（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式 ，并计算 的近似值；2()Px(1.)y（3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数） 。4. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x -1 0 1 2y
5、1 2 5 055. 已知函数 在以下节点处的函数值，利用差商表求 和 的近似值。()yfx (3)f6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。 2(01,0.2)(0)yxxhx 1 3 4y 2 1 86四、 （8 分）已知 n+1 个数据点 ，请用多种方法建立这些数据点之(,)0,12,)ixyn间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。7期末考试答案及评分标准（A 卷）2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析一、判断题：（每小题 2 分，共 10 分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空题：（每空 2 分，共 36 分）1.
6、 或 ， 0.5.10.52. ,63. 24. 1,035. ()A6. M7. 1042,128. 或1()()2nnnyxyxy1.52.0.5,12nnnxy三、解答题（第 14 小题每题 8 分，第 5、6 小题每题 7 分，共 46 分）1. （1）证明： ，由于3()1fxa) 0,2,fb) ()3(,2)xxc) 即 在 上不变号，61f (fx1,2)8d) 对于初值 ，满足02x()20,f所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。4 分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为 31 2()1nnnfxxx 2 分取初值 进行迭代，得02x1.89,x1 分2.751 分2. 解：（1
7、）Jacobi 迭代公式为2 分(1)()()2321()()()320.4.18.kkkxxGauss-Seidel 迭代公式为2 分(1)()()2312()()(1)3 20.4.8.kkkxx（2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为 ，展开得04.8，即 30.96.250，从而得 (8)(4.)(.40.5)， （或由单调性易判断必有一个大于 1 的特征123-.,298根， ）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于 1，所以 Jacobi 迭代法发散。 2 分9Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为 ，展开得0.4.8.，解得 迭代矩阵的谱半径2(0.83.12)0123,06,.
8、204,小于 1，所以 Gauss-Seidel 迭代法收敛。2 分3. 解：（1）建立差分表 xyy2y3y0121430314222 分（2）建立牛顿后插公式为 2232114()()()!Pxx则所求近似值为 2179(.)P3 分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为 122431()()()!xx则 1268().P根据事后误差估计法 1222091()()(.xR故截断误差 27680471.(.)(.).3 分104. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为 根据已知数据，得2201().Pxax1210,5240MAYa2 分则 682,481MY 1 分建立法方程组为 01246
9、284a2 分解得 0123.5,.,1.5aa1 分从而得所求一次最小平方逼近多项式为 21()3.Pxx1 分5. 解：设 为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：2()Pxy一阶差商 二阶差商143281(3)P273,254,3P2 分因为二次多项式的二阶差商为常数，又 是 的插值函数，故有2()xf2254,3,3P112 分而，223,754,4P因此得，293,1 分由于，1()!,knkfxPx从而得 293(),f25!,.P2 分6. 解：前进欧拉公式： 1 分221(,)0.nnnnnyhfxyxy后退欧拉公式： 1 分11 预估时采用欧拉公式 *2210.nnn
10、yxy1 分校正时采用后退欧拉公式 22*1110.nnnyxy1 分由初值 知，节点分别为02,.xh.,(,34,5)ii当 1.2*221000.,yxy，118*.121 分当 20.4,x*2221110.0.6,yxy.224*.1 分当 30.6,x*22320.0.74,yxy.331*.1 分当 40.8,x*2243330.0.187,yxy.44*.1 分当 51.0,x*2254440.0.38,yxy.557*.四、 （8 分）答：1、可以建立插值函数：（1）Newton 基本差商公式 0010012101()(),(), n nPxfxfxfxf1 分（2）Lagrange 插值多项式 01()()()()() n iinLxaffxafxafx13其中 .01101()()()(),(,) iiniii ixxxa in 1 分这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。2 分2、可以建立拟合函数： 201() mmPxaxa1 分其中系数 满足法方程组 ,012,na MAY200000111112 (),()mmnnnafxyxxMf 1 分拟合函数的适用条件是：n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。2 分
